Uncategorized

অংশায়ন সূত্রের সাহায্যে যোগজীকরণ

Supported by Matador Stationary

\(\int x^{2}sinxdx\)

উপরের যোগজীকরণটিতে দেখা যাচ্ছে দুটি ফাংশন গুণাকারে আছে। এরকম দুটি ফাংশন গুণাকারে থাকলে তাদের সহজে যোগজীকরণ করার জন্যে অংশায়ন সূত্র নামে একটি সূত্র আছে। চলো এবার আমরা জেনে নিই অংশায়ন সূত্রটি কি এবং এটি কাজে লাগিয়ে কীভাবে গুণাকারে থাকা দুটি ফাংশনকে যোগজীকরণ করা যায়।

অংশায়ন সূত্র


যদি u ও v উভয়ই x এর ফাংশন হয়, তাহলে \(\int uvdx = u \int vdx – \int\left\{\frac{du}{dx} \int vdx\right\}dx\)

অর্থাৎ দুটি ফাংশনের গুণফলের যোগজ = ১ম ফাংশন × (২য় ফাংশনের যোগজ) – { ১ম ফাংশনের অন্তরজ × (২য় ফাংশনের যোগজ)} এর যোগজ

প্রমাণ:
মনে করি, u এবং w দুটি ফাংশনই x এর ফাংশন ও দুটিই অন্তরীকরণযোগ্য।
তাহলে দুটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরজ থেকে আমরা জানি,
\( \frac{d}{du} (uw)=u\frac{dw}{dx}+w \frac{du}{dx}\)… (i)
(i) নং এর উভয়পক্ষকে x এর স্বাপেক্ষে যোগজীকরণ করে পাই,
\(uw= \int (u \frac{dw}{dx})dx + \int (w \frac{du}{dx})dx\)
বা, \(\int (u \frac{dw}{dx})dx =uw – \int (w \frac{du}{dx})dx\)… (ii)
ধরি,
\(\frac {dw}{dx}=v\)
বা, \(dw = v\)
বা, \(\int dw = \int vdx\)
বা, \(w= \int vdx\)
(ii) নং এ \(\frac {dw}{dx}\) ও w এর মান বসিয়ে পাই,
\( \int uvdx = u \int vdx – \int \left\{ \frac{du}{dx} \int vdx \right\} dx\)

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

গাণিতিক উদাহরণ


সরাসরি অংশায়ন সূত্র প্রয়োগ সংক্রান্ত

\( \int xlnxdx\)
LIATE rule অনুযায়ী এখানে \(lnx\) কে ১ম ফাংশন u ও x কে দ্বিতীয় ফাংশন v ধরে অংশায়ন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
\(= lnx \int xdx – \int \left\{ \frac {d(lnx)}{dx} \int xdx \right\} dx \)
\(= lnx\ \frac{x^{2}}{2} – \int \frac {1}{x} \frac{x^{2}}{2} dx\)
\( = lnx \frac{x^{2}}{2} – \frac{1}{2} \int xdx\)
\( = lnx \frac{x^{2}}{2} – \frac{x^{2}}{4} + c\)
\( \int xtan^{-1} xdx\)
LIATE rule অনুযায়ী এখানে \(tan^{-1}x\) কে ১ম ফাংশন u ও x কে দ্বিতীয় ফাংশন v ধরে অংশায়ন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
\( = tan^{-1}x \int xdx – \int \left\{ \frac{d(tan^{-1})}{dx} \int xdx \right\} dx\)
\(= tan^{-1}x \frac{x^{2}}{2} – \int (\frac {1}{1+x^{2}}) \frac{x^{2}}{2} dx\)
\( = tan^{-1}x \frac{x^{2}}{2} – \frac{1}{2} \int (\frac{x^{2}}{1+x^{2}}) dx\)
\( = tan^{-1} \frac{x^{2}}{2} – \frac{1}{2} \int ( \frac{x{^2}+1-1}{1+x^{2}})dx\)
\( = tan^{-1} \frac{x^{2}}{2} – \frac{1}{2} \int (1- \frac {1}{1+x^{2}})dx\)
\( = tan^{-1} \frac{x^{2}}{2} – \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1+x^{2}})dx\)
\( = tan^{-1}x \frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}+ \frac{1}{2} tan^{-1}x+c\)
\(=tan^{-1} (\frac{x^{2}}{2}+ \frac{1}{2}) – \frac{x}{2} +c\)(Ans)

\(\int lnxdx, \int sin^{-1}xdx, \int cos^{-1}xdx, \int tan^{-1}xdx, \int (lnx)^{2}dx\) ইত্যাদি আকৃতির যোগজের যোগজীকরণের জন্য 1 কে দ্বিতীয় ফাংশন হিসেবে গণ্য করা হয়।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

বীজগাণিতিক ফাংশনের সাথে একাধিক ত্রিকোণমৃতিক ফাংশন গুণ আকারে থাকলে তার যোগজীকরণ
ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

sec, cosec এর ঘাত বিজোড় হলে তা যোগজীকরণ সংক্রান্ত
ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

\( \int e^{ax} sinb\ xdx, \int e^{ax} cosb\ xdx\) এই আকৃতির যোগজের যোগজীকরণ সংক্রান্ত
ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

অংশক্রমে যোওগজীকরণের একটি বিশেষ সূত্র:
\( \int e^{ax} \left\{af(x)+f{‘} \right\} dx= e^{ax} f(x) +c\)

সমাধান:
\( \int e^{x} secx(1+tanx)dx\)
\(= \int e^{x} (secx+secx\ tanx)dx\)
\( = e^{1x} \left\{ 1.secx + \frac{d}{dx} (secx) \right\} dx\)
\(= e ^{1x} secx +c\) (\( \int e^{ax} \left\{af(x)+f{‘} \right\} dx= e^{ax} f(x) +c\) এই সূত্র প্রয়োগ করে )
\(= e ^{x} secx +c\)
সমাধান:
\( \int e^{x} \frac{(1-x^{2})}{(1+x^{2})}dx\)
\(= \int e^{x} \left\{ \frac{(1-2x+x^{2})}{(1+x^{2})^{2}} \right\}dx\)
\( = \int e^{x} \left\{ \frac {1+x^{2}}{(1+x^{2})} – \frac {2x} {(1+x^{2})^{2}} \right\} dx\)
\( = \int e^{x} \left\{ \frac {1}{(1+x^{2})} – \frac {2x} {(1+x^{2})^{2}} \right\} dx\)
\( = \int e^{1.x} \left\{ 1. \frac {1}{(1+x^{2})} – \frac{d}{dx} (\frac {1} {(1+x^{2})^{2}}) \right\} dx\)
\(= e^{1.x} \frac {1}{(1+x^{2})}+c\) (\( \int e^{ax} \left\{ af(x) + f^{‘}(x) \right\} dx = e^{ax}f(x)+c\) এই সূত্র প্রয়োগ করে )
\(= \frac { e^{1.x}}{(1+x^{2})}+c\)

সঠিক উত্তরে ক্লিক করো

আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা অংশায়ন সূত্রের সাহায্যে কীভাবে যোগজীকরণ করতে হয় সে সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।

Never Stop Learning