Uncategorized

অগ্রগামী তরঙ্গ, রিলেটেড ম্যাথ

Supported by Matador Stationary


তানহাদের এলাকায় একটা লেক আছে। কয়েকদিন ধরে তানহা আর ওর বন্ধুরা সেই লেকে একটা খেলা খেলে বেশ মজা পাচ্ছে। খেলাটা হল অনেকটা এরকম যে ওরা প্রত্যেকে একটা ছোট পাথর ছুঁড়ে মারবে লেকে, যারটা সবচেয়ে বেশি দূর যাবে সে বিজয়ী। তবে প্রত্যেককে বলে দেওয়া হল যে পাথরটা এমনভাবে লেকে ছুঁড়ে মারতে হবে যাতে তা কয়েকবার লেকের পানির পৃষ্ঠের সাথে সম্পর্কে আসে অর্থাৎ পাথরটা যেন বাউন্স(bounce) করে যায়। প্রতিবার যখন পাথরটা পানির পৃষ্ঠকে স্পর্শ করে তখন এমন কিছু একটা দেখা যায়:

দেখো পাথরটা যখনই পানির পৃষ্ঠকে স্পর্শ করে তখন সেখানকার কণাগুলো আন্দোলিত হয়, সহজ ভাষায় কাঁপে। এবার এ কণাগুলো তাদের প্রতিবেশী কণাদের মধ্যে এ “কাঁপাকাঁপি” পৌঁছিয়ে দেয়। এটাকেই তরঙ্গ বলে।

দেখ তরঙ্গগুলো কিন্তু পানির মধ্যে দিয়ে আগাচ্ছে, একটা জায়গায় থেমে থাকছে না। এমনও অনেক তরঙ্গ আছে যেগুলো মাধ্যমের (এক্ষেত্রে পানি) একটা নির্দিষ্ট অংশে আবদ্ধ থাকে। আমরা আজকে এধরনের তরঙ্গ যা স্থির তরঙ্গ হিসেবে পরিচিত তা সম্পর্কে না জেনে এমন তরঙ্গের সঙ্গে পরিচিত হব যা তানহারা দেখল। এধরনের তরঙ্গের নাম অগ্রগামী তরঙ্গ। চলো এবার শুরু করি অগ্রগামী তরঙ্গের সংজ্ঞা দিয়ে।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

আগেই একটা কথা বলব যে বিস্তৃত মাধ্যমে যদি একটা কম্পনশীল উৎস রাখো তবে তা স্থির হবে না, সেটা হবে অগ্রগামী তরঙ্গ।

চলো এবার দেখি একটা মাধ্যমের মধ্যে কোন কম্পনশীল উৎস রাখলে কী কী হয়! সেজন্য তোমরা সমুদ্রের তরঙ্গের কথা চিন্তা করতে পারো। এ তরঙ্গগুলো তৈরী হয় মূলত জোর হাওয়া, পৃথিবী ও চাঁদের মধ্যকার মাধ্যাকর্ষণ বল, ইত্যাদি কারণে। এখানে এই কারণ গুলো হল কম্পনের উৎস আর সমুদ্রের পৃষ্ঠের পানি হল বিস্তৃত মাধ্যম।

১। পানিতে প্রথমে যে কণাগুলোতে আঘাত পৌঁছায় সেগুলো তাদের পাশের কণাগুলোকে কাঁপতে বাধ্য করবে। এভাবে আলোড়নটা পানির মধ্য দিয়ে এগিয়ে যাবে। নিচের ছবিটিতে দেখ কিভাবে পৃষ্ঠের পানির একটি কণা থেকে তার পাশের কণায় কম্পন পৌঁছায়:

২। উৎসে যে ধরনের কম্পন হচ্ছে মাধ্যমের প্রত্যেকটি কণায় ঐ একই ধরনের কম্পন হবে। যেমন একই স্প্রিংকে আড়াআড়িভাবে ঝাকানো হলে দীঘল তরঙ্গ আর উলম্বভাবে ঝাকানো হলে আড় তরঙ্গ তৈরী হয়:

৩। উৎস থেকে কণায় কণায় এই আন্দোলন সঞ্চালিত হওয়ার অর্থ হচ্ছে শক্তির সঞ্চালন। যেকোন বস্তুকে সমুদ্রের পৃষ্ঠে রাখলে বা আগে যে লেকের পানিতে তরঙ্গ দেখেছিলে সেখানে রাখলে তা পানির সাথে দুলবে। এভাবে:

সুতরাং, এই তরঙ্গ কাজ করতে পারে, তা শক্তি বহন করে। শক্তির সঞ্চালন হতে সময় প্রয়োজন।

সেজন্য উৎস হতে কণায় কণায় এই আন্দোলন সঞ্চালিত হতে একটি নির্দিষ্ট সময় লাগে। মাধ্যমের প্রত্যেক কণাই তার পূর্ববর্তী কণার কিছু পরে আন্দোলিত হয়ে কিছু পরে তার পরবর্তী কণাতে এই আন্দোলন সঞ্চালিত করবে।

আমরা কি তাহলে বলতে পারি মাধ্যমের প্রত্যেকটি কণা একই দশাসম্পন্ন হবে না? পারি, এর ব্যাখ্যা নিচে দেখে নিতে পারো:

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

উৎস থেকে কণার দূরত্ব যত বাড়বে, ততই কণাগুলোর মধ্যে দশার পার্থক্য দেখা যাবে। এভাবে সমগ্র মাধ্যমটি কম্পিত হতে থাকবে।

যেকোন মূহুর্তে দশা জানা থাকলে গাণিতিকভাবেই সরণ, বেগ, ত্বরণ, ইত্যাদি নির্ণয় করা যায়, কণাগুলো যেহেতু সরল ছন্দিত গতি প্রদর্শন করে তাই সরল ছন্দিত গতি সম্পর্কিত এই ভিডিওটি থেকে তোমরা সরণ, বেগ, ত্বরণের সমীকরণগুলো দেখে নিলে বুঝতে পারবে কিভাবে তা সম্ভব।
ভিডিওটি দেখতে এখানে ক্লিক করো।


দেখো, এখানে যেকোন একটা মুহূর্তে কণাগুলোর অবস্থান যোগ করে একটা সাইন ওয়েভ পাচ্ছ, এভাবে অবস্থান যোগ করে তরঙ্গ পাওয়া যায়।

মাধ্যমের যেকোন অংশেই সৃষ্টি হোক না কেন, এই তরঙ্গ স্থির থাকে না। সময়ের সাথে সাথে মাধ্যমের মধ্য দিয়ে অগ্রসর হতে থাকে। মাধ্যমের মধ্যে সৃষ্ট কোন আলোড়ন যখন মাধ্যমের এক স্তর থেকে অন্য স্তরে শক্তি সঞ্চালন করতে করতে বিস্তারের কোনরকম হ্রাস না ঘটিয়ে সামনের দিকে একটি নির্দিষ্ট বেগে অগ্রসর হয়, তখন তাকে অগ্রগামী তরঙ্গ বলে। একে চলমান তরঙ্গও বলে।

পূর্বেই উল্লেখ করা হয়েছে যে, মাধ্যম যদি জড় এবং স্থিতিস্থাপক না হয় তবে তাতে তরঙ্গ গতির উদ্ভব সম্ভব হবে না।

অগ্রগামী তরঙ্গের উপর অবস্থিত যেকোন কণার সরণ, তরঙ্গের বিস্তার, দৈর্ঘ্য, বেগ, কম্পাঙ্ক, পর্যায়কাল কিভাবে বের করবে? যদি তরঙ্গ ব্যবহার করে কিছু করতে চাই তাহলে এই রাশিগুলোর মান জানার প্রয়োজন হয়। এর জন্য একটা সমীকরণ জানলেই হয়। এবার চলো দেখে নেই অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণটা কেমন দাঁড়ায়।

অগ্রগামী তরঙ্গ আড় বা দীঘল হতে পারে। পানি তরঙ্গও আড় বা দীঘল হতে পারে। যেকোন ক্ষেত্রেই অানুক্রমিক কণাগুলোর মধ্যে দশা পার্থক্যের সৃষ্টি হবে।

চিত্রে একটি আদর্শ তরঙ্গরুপ দেখানো হয়েছে। ধরা যাক একটি তরঙ্গ O বিন্দুতে সৃষ্ট হয়ে x-অক্ষ বরাবর ডানদিকে এগিয়ে যাচ্ছে। O বিন্দুতে অবস্থিত কণাটি যে মুহুর্তে সাম্যাবস্থান অতিক্রম করে ধনাত্মক দিকে (আড় তরঙ্গের ক্ষেত্রে উপরের দিকে এবং দীঘল তরঙ্গের ক্ষেত্রে সামনের দিকে) অগ্রসর হয় সেই মুহূর্ত থেকে সময় গণনা করা শুরু হল। O বিন্দুতে অবস্থিত কণার গতি সমীকরণ স্পষ্টতই,

\(y=a\ sin \omega t\)… … … (1)

এখানে, y হচ্ছে t সময়ে কণাটির সরণ; a এবং \(\omega\) যথাক্রমে কণাটির বিস্তার ও কৌণিক বেগ। O বিন্দুস্থিত কণার এই গতি তার ডানপাশে অবস্থিত কণাগুলোতে একের পর এক সঞ্চালিত হবে। অর্থাৎ পরবর্তী কণাটি কিছু সময় পরে পূর্ববর্তী কণার দশাপ্রাপ্ত হবে। তাই O বিন্দু থেকে যতই ডানদিকে যাওয়া যাবে ততই দশা পার্থক্য বাড়তে থাকবে। ধরা যাক, O বিন্দু হতে x দূরত্বে অবস্থিত P বিন্দুর কণাটির সাথে O বিন্দুর কণার দশা পার্থক্য \(\phi\)। তাহলে P বিন্দুর কণার গতির সমীকরণ হবে,

\(y=a\ sin (\omega t-\phi)\)… … …(2)

যেকোন দুটি কণার দশা পার্থক্য তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের সমানুপাতিক। চিত্রে আমরা দেখতে পাই যে, দুটি কণার দূরত্ব যখন \(\lambda \) অর্থাৎ তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের সমান হয় তখন কণা দুটি দশা পার্থক্য হল 2π ।
\(\lambda \) দূরত্বের জন্য দশা পার্থক্য 2π
একক দূরত্বের জন্য দশা পার্থক্য \(\frac{2π} {\lambda}\)
তাহলে, x দূরত্বের জন্য দশা পার্থক্য \(\frac{2π} {\lambda} x\)
অর্থাৎ, দশা পার্থক্য, \(\phi=\frac{2π}{\lambda }x=\frac{2π}{\lambda }\)×পথ-পার্থক্য

সঠিক উত্তরে ক্লিক করো

এবার (২) নং সমীকরণে \(\phi\) এর মান বসিয়ে পাই,

\(y=a\ sin(\omega t-\frac{2π} {\lambda} x)\)… … …(3)

এবার \(\omega =\frac{2π} {T} \)বসিয়ে পাই,

(3)⇒ \(y =a\ sin(\frac{2π} {T}t-\frac{2π} {\lambda}x) \)

T=1/f বসিয়ে পাই,

\(y =a\ sin(2πft-\frac{2π} {\lambda}x) \)

\(f=\frac{v} {\lambda}\) বসিয়ে পাই,

\(y =a\ sin(\frac{2π} {\lambda}vt-\frac{2π} {\lambda}x) \)
\(=a\ sin\frac{2π} {\lambda}(vt-x)\)… … …(4)
\(y =a\ sin\frac{2πv} {\lambda}(t-\frac{x} {v})\)… … …(5)

\(y =a\ sin\ 2πf (t-\frac{x} {v})\)
\(y =a\ sin\ \omega(t-\frac{x} {v})\)(6)

\(y =a\ sin\frac{2π} {T}(t-\frac{x} {v})\)… … …(7)
\(y =a\ sin(\frac{t} {T}-\frac{x} {vT})\)
\(y =a\ sin\ 2π(\frac{t} {T}-\frac{x} {\lambda})\)… … …(8) \([v=f \lambda=\frac{\lambda}{T}\Rightarrow\lambda=vT]\)

(4) থেকে (8) সমীকরণের প্রত্যেকটি অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণের বিভিন্ন রূপ। তবে (4) নং সমীকরণই হচ্ছে অগ্রগামী তরঙ্গের বহুল ব্যবহৃত সমীকরণ।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

অগ্রগামী তরঙ্গ সম্পর্কিত আরও কিছু তথ্য:


মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।

অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ ব্যবহার করে এবার কিছু অঙ্ক করার চেষ্টা করি চলো:

১। একটি অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ y=0.12sinπ(340t-x)। তরঙ্গের বিস্তার, তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, তরঙ্গ বেগ, কম্পাঙ্ক ও পর্যায়কাল নির্ণয় কর। এখানে সব রাশিগুলো S.I. এককে প্রকাশ করা হয়েছে।

আমরা জানি অগ্রগামী তরঙ্গের সাধারণ সমীকরণ হল \(y=a\ sin\ \frac{2π}{\lambda}(vt-x)\)
এই সমীকরণের সাথে উপরের সমীকরণকে তুলনা করে পাই,
১) বিস্তার, a=0.1 m
২)\(\frac{2π}{\lambda}x=2πx\)
⇒\(\lambda\)=1m
৩) \(\frac{2π}{\lambda}v=\frac{2π}{\lambda}×340\)
⇒v=340
৪) \(f=\frac{v}{\lambda}=\frac{340ms^{-1}}{1m}\)=340 Hz
৫) \(T=\frac{1}{f}=\frac{1}{340}s\)=0.00294s

২। একটি অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ হচ্ছে y=0.1sin(200πt-20πx/17) হলে তরঙ্গের বিস্তার, কম্পাঙ্ক, তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, তরঙ্গ বেগ নির্ণয় কর।

আমরা জানি অগ্রগামী তরঙ্গের একটি সমীকরণ হচ্ছে, \(y=a\ sin\frac{2π}{\lambda}(vt-x)\)
এখন প্রদত্ত সমীকরণকে এই আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি:
সেজন্য আমাদের কাজ হবে x এর সহগকে বাইরে নিয়ে আসা। কারণ সাধারণ সমীকরণে x এর সহগ এক।
y=0.1sin(200πt-20πx/17)
=0.1sin 20π/17(170t-x)

এবার এই সমীকরণের সাথে সাধারণ সমীকরণকে তুলনা করে পাই,
১) বিস্তার, a=0.1m=10cm

২)\(\frac{2π}{\lambda}=\frac{20π}{17}\Rightarrow\lambda=1.7m\)
vt=170t⇒v=170m/s
সুতরাং, কম্পাঙ্ক, \(f=\frac{v}{\lambda}=100s^{-1}\)=100Hz

৩) (২) থেকে তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, \(\lambda\) =1.7m

৪) তরঙ্গ বেগ, v=170m/s

৩। একটি অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ y=100 sinπ(20t-0.1x); এখানে x এবং y মিটারে, t সেকেন্ডে প্রদত্ত আছে। তরঙ্গের বিস্তার, কম্পাঙ্ক, তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, তরঙ্গ বেগ নির্ণয় কর।

আমরা জানি অগ্রগামী তরঙ্গের একটি সমীকরণ হচ্ছে, \(y=a\ sin\frac{2π}{\lambda}(vt-x)\)
এখন প্রদত্ত সমীকরণকে এই আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি:
সেজন্য আমাদের কাজ হবে x এর সহগকে বাইরে নিয়ে আসা। কারণ সাধারণ সমীকরণে x এর সহগ এক।

এবার এই সমীকরণের সাথে সাধারণ সমীকরণকে তুলনা করে পাই,

y=100 sinπ(20t-0.1x)
=100 sin 0.1π(200t-x)

১) বিস্তার, a=100m

২) \(\frac{2π}{\lambda}=0.1π\Rightarrow\lambda=20m\)
vt=200tv=200m/s
সুতরাং, কম্পাঙ্ক, \(f=\frac{v}{\lambda}=10s^{-1}\)=10Hz

৩) (২) থেকে তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, \(\lambda\)=20m

৪) তরঙ্গ বেগ, v= 200m/s

৪। একটি অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ y=0.5sin(20πt-1.57x)। তরঙ্গটির বিস্তার, কম্পাঙ্ক, বেগ ও পর্যায়কাল নির্ণয় কর।

আমরা জানি অগ্রগামী তরঙ্গের একটি সমীকরণ হচ্ছে, \(y=a\ sin\frac{2π}{\lambda}(vt-x)\)
এখন প্রদত্ত সমীকরণকে এই আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি:
সেজন্য আমাদের কাজ হবে x এর সহগকে বাইরে নিয়ে আসা। কারণ সাধারণ সমীকরণে x এর সহগ এক।

এবার এই সমীকরণের সাথে সাধারণ সমীকরণকে তুলনা করে পাই,

y=0.5sin(20πt-1.57x)
=\(0.5 sin 1.57π(\frac{20}{1.57}πt-x)\)

১) বিস্তার, a=0.5m

২)\(\frac{2π}{\lambda}=1.57\Rightarrow\lambda=4m\)
\(vt=20/1.57πt \Rightarrow v=40m/s\)
সুতরাং, কম্পাঙ্ক, \(f=\frac{v}{\lambda}=10s^{-1}\)=10Hz

৩) ২) থেকে তরঙ্গ দৈর্ঘ্য, \(\lambda\)=4m

৪) তরঙ্গ বেগ, v=40m/s

অনুশীলনের জন্য অতিরিক্ত কিছু প্রশ্ন:
প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো


তরঙ্গের ফিজিক্সের কতগুলো উদাহরণ বা ব্যবহার আছে বলতে পারো? এ প্রশ্নের একটাই সম্ভাব্য সঠিক উত্তর আছে-অগণিত। খুব বেশি গভীরে না যেয়েও আমাদের আশেপাশে তরঙ্গের প্রচুর প্রয়োগ ও ব্যবহার দেখতে পারবে। পানি তরঙ্গের সাথে তোমরা পরিচিত। তবে এর চেয়েও মৌলিক প্রয়োগ রয়েছে তরঙ্গের। যেমন ধরো তোমরা কানে যেকোন ধরনের শব্দই শুনো না কেন তার সবই কিন্তু তরঙ্গ। এরপর তোমরা টিভি দেখো, বিভিন্ন কাজে মোবাইল ফোন ব্যবহার করো প্রতিটাতে তরঙ্গের ব্যবহার ও প্রয়োগ রয়েছে। পানি তরঙ্গের উদাহরণটা বারবার দেওয়া হয় আর তা ধরেই আলোচনা করা হয় কারণ এটার চিত্র মনে কল্পনা করা সহজ আর পানির পৃষ্ঠে তরঙ্গ পর্যবেক্ষণ করা সহজ। আশা করি ভবিষ্যতে অন্যান্য তরঙ্গ সম্বন্ধে আরও বিস্তারিত জানার সু্যোগ হবে তোমাদের। তোমাদের সবার জন্য রইলো 10 Minute School এর পক্ষ থেকে শুভেচ্ছা!

~NEVER STOP LEARNING~