Uncategorized

অন্তরীকরণ, মূল নিয়মে অন্তরজ

Supported by Matador Stationary

আমরা সবাই তো কম-বেশি ক্রিকেট খেলা দেখি,তাই না? ক্রিকেটে বোলার যখন বল করে, তখন সেই বলের গতিবেগ মাপা হয়, এটাও তোমরা জান। বোলার বল ছোঁড়ার কয়েক সেকেন্ড বা তারও কম সময়ের মধ্যে তা ব্যাটসম্যানের নিকট পৌঁছায়। কখনো কি ভেবে দেখেছো, এত কম সময় ব্যবধানে বলের গতিবেগ কীভাবে এত সূক্ষ্ম পরিমাপ করা সম্ভব হয়?
এরকম সব ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র পরিমাপ করার জন্য ব্যবহৃত হয় ক্যালকুলাসের দুইটি শাখার একটি, তার নাম অন্তরীকরণ বা ব্যবকলন (Differentiation)। আমরা কোন ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান বের করতেও অন্তরজ (Derivative) বের করি। সর্বোপরি, বিজ্ঞানের নানা হিসাব-নিকাশ ও ইঞ্জিনিয়ারিং বিভিন্ন কাজে অন্তরীকরণ এর ধারণা ব্যবহার করা হয়।
কোন ফাংশনের লেখ সরলরেখা হলে আমরা অত্যন্ত সহজেই তার X-অক্ষের সাপেক্ষে Y-অক্ষের পরিবর্তন, অর্থাৎ লেখের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করতে পারি, কারণ এই পরিবর্তনের হার একটি ধ্রুবক সংখ্যা হয়। এরকম সহজ হিসাব-নিকাশ তোমরা নিচের ক্লাসে শিখেছ। কিন্তু এই লেখ যদি সরলরেখা না হয়ে বক্ররেখা হয়, তখন কি এই লেখের পরিবর্তনের হার নির্ণয় কি যথেষ্ট হয়ে পড়ে না? এসব ক্ষেত্রে প্রয়োজন পড়ে অন্তরীকরণ এর। আমরা ঐ বক্ররেখার অতিক্ষুদ্র একটি বিবেচনায় নিই, যেই অঞ্চলে আমরা হিসাব-নিকাশ করব। ঐ অঞ্চল এতই ক্ষুদ্র হবে, যে তাকে একটি সরলরেখা হিসেবে কল্পনা করা যাবে। অতঃপর সেই কল্পনাকৃত সরলরেখায় X-অক্ষ বরাবর পরিবর্তনের সাপেক্ষে Y-অক্ষ বরাবর পরিবর্তন হিসাব করব। স্বাভাবিকভাবেই বুঝা যাচ্ছে, আমরা অত্যন্ত ক্ষুদ্র অঞ্চল বিবেচনা করেছি, তাই মূল বক্ররেখাটির সাপেক্ষে X-অক্ষ বরাবর এই পরিবর্তন অত্যন্ত ক্ষুদ্র। তো যাই হোক, এরপর আমরা ঐ ক্ষুদ্র অঞ্চলের ঢাল নির্ণয় করব। তাহলেই আমাদের অন্তরীকরণ করা হয়ে গেল, আমরা পেয়ে যাব ঐ মূল ফাংশনের অন্তরজ। কি? কঠিন মনে হচ্ছে?
তাহলে চল আমরা অন্তরীকরণ ও অন্তরজের বিষয়টি আরও ভাল করে বুঝার চেষ্টা করি…
তুমি মনে করো একটি বলকে তোমার মাথা বরাবর সোজা উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে। বলটি উপরে যাত্রা শুরু করল। কিন্তু, অভিকর্ষজ ত্বরণের জন্য বলটির প্রাথমিক গতিবেগ (যা ধনাত্মক ধরি) থেকে আস্তে আস্তে বেগ কমতে থাকবে। কমতে কমতে একসময় বলতি তার বেগ সম্পূর্ণ হারিয়ে আবার উলটোদিকেই পড়া শুরু করবে, অর্থাৎ শুন্য বেগ থেকে আবার বেগ লাভ করা শুরু করবে। তবে বেগের দিক পরিবর্তিত হয়েছে বলে এটি হবে ঋণাত্মক বেগ। আমরা বেগ হিসাব করি অতিক্রান্ত সময়ের সাপেক্ষে দূরত্ব এর পরিবর্তনের হার নির্ণয় করে। নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করো।

আমরা জানি, দূরত্ব বনাম সময় (এখানে h vs t) লেখচিত্রের ঢালই হল কোন নির্দিষ্ট সময়ে বলটির বেগ নির্দেশ করবে। কিন্তু আমরা সরলরেখার ঢাল নির্ণয় করতে পারলেও বক্ররেখার ঢাল এভাবে নির্ণয় করতে পারি না। তাই আমরা নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শক এঁকে ঐ বিন্দুর ঢাল নির্ণয় করে ঐ নির্দিষ্ট সময়ের বেগ নির্ণয় করব। চল, আমরা উপরের চিত্রের ধনাত্মক ঢালের স্পর্শকটির ঐ বর্গাকারে চিহ্নিত ক্ষুদ্র অঞ্চলকে বড় করে (Zoom In) দেখি।

ভাল করে লক্ষ্য করো, এই ক্ষুদ্র অঞ্চলটি দেখতে প্রায় একটি সরলরেখা। তাই এর ঢাল নির্ণয় সম্ভব। চল, ঢাল নির্ণয় করি:
ঢাল = y স্থানাংকদ্বয়ের পার্থক্য, ∆y = y2 – y1 ÷ x স্থানাংকদ্বয়ের পার্থক্য, ∆x = x2 – x1
\(=\frac{42-36.2}{1.1-0.9}=\frac{5.8}{0.2}=29\) m/s
তাহলে লেখা যায়, x → 1 হলে, y → 29 m/s
স্পষ্টই, এখানে ঢাল হল ঐ ক্ষুদ্র অঞ্চলের ক্ষুদ্র সময় ব্যবধানে নির্ণীত বেগ। আর এরকম ক্ষুদ্র অঞ্চলের মধ্যে স্বাধীন চলরাশির অত্যন্ত ক্ষুদ্র পরিবর্তনের জন্য অধীন চলরাশির কি পরিবর্তন হয়, তা নির্ণয়ের জন্যই অন্তরীকরণের ধারণার উদ্ভব ঘটে।

একটি ফাংশন, y = f(x) = x² ধরি।
উক্ত ফাংশনে,
x = 2 হলে y = 4 হয়।
x = 2.1 হলে y = 4.41 হয়।
∴x এর বৃদ্ধি, ∆x= 0.1 হলে,
y এর বৃদ্ধি হয়, ∆y = 0.41

x যদি ∆x পরিমাণ বৃদ্ধি পায়, তবে y এর বৃদ্ধি = ∆y
∴x যদি 1(একক) পরিমাণ বৃদ্ধি পায়, তবে y এর বৃদ্ধি = \(\frac{\triangle y}{\triangle x}\)
তাহলে, x এর সাপেক্ষে y এর বৃদ্ধির হার = \(\frac{\triangle y}{\triangle x}\)
∴\(\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{0.41}{0.1}=4.1\)

x = 2.01 হলে, y = 4.0401.
এক্ষেত্রে, ∆x = 0.01 এবং ∆y = 0.0401 হয়।
∴\(\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{0.0401}{0.01}=4.01\)

x = 2.001 হলে, y = 4.004001
∴\(\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{0.004001}{0.001}=4.001\)

x = 2.0001 হলে, y = 4.00040001
∴\(\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{0.00040001}{0.0001}=4.0001\)
তাহলে আমরা দেখতে পাচ্ছি, উক্ত ফাংশনের স্বাধীন চলক, x → 2+ হলে, স্বাধীন চলকের পরিবর্তন, ∆x → 0 হয়। আবার একইভাবে, x → 2- হলেও স্বাধীন চলকের পরিবর্তন, ∆x → 0 হয়।
∴ ∆x → 0 হলে উপরে দেখতে পাচ্ছি, \(\frac{\triangle y}{\triangle x}\)→ 4 হয়। একে একটি ফাংশন বিবেচনা করে আমরা লিখতে পারি,
∴\(lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=4\)
ক্যালকুলাসের ভাষায়, \(lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=4\) কে আমরা লিখি, \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4\)
\(lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\)
বিশেষ দ্রষ্টব্য: \(\frac{\triangle y}{\triangle x}\) একটি ভগ্নাংশ। কিন্তু হল \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\) একটি প্রতীক। এটি একটি অপারেটর (Operator) এর প্রতীক। এই প্রতীক দ্বারা x এর ক্ষুদ্র পরিবর্তনের সাপেক্ষে y এর পরিবর্তন বুঝায়। তবে আমরা x ও y এর বদলে যেকোন চলক ব্যবহার করতে পারি।

মূল নিয়মে কোন ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়

ধরি, y = f(x) … … … (1)
X-অক্ষ বরাবর x স্বাধীন চলরাশিটি অনেক ক্ষুদ্র ∆x পরিমাণ বৃদ্ধি পেলে Y-অক্ষ বরাবর y অধীন চলরাশিটি ∆y পরিমাণ বৃদ্ধি পায়। তাহলে, f(x) ফাংশনের পূর্বের কোন বিন্দুর স্থানাংক (x,y) হলে পরবর্তীতে তা ক্ষুদ্র পরিমাণ পরিবর্তিত হয়ে স্থানাংক হয় (x+∆x, y+∆y).
অতএব, y + ∆y = f(x+∆x) … … … (2)
(2) – (1) করে পাই, ∆y = f(x+∆x) – f(x) … … … (3)

∴\(lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\) [ (3) হতে পাই ]
ধরি, অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্র বৃদ্ধি, ∆x = h.

∴\(lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{h}\)
কিন্তু,\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\)
∴\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{h}\)
এভাবে আমরা f(x) ফাংশনের অন্তরজ বের করলাম। এই নিয়মকেই মূল নিয়মে f(x) এর অন্তরজ নির্ণয় করা বলে।

ঢালের মাধ্যমে অন্তরজের বর্ণনা বা \(\frac{dy}{dx}\) এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যা:


মনে করি, y=f(x) বক্ররেখার উপর P(x,y) এবং Q=(x+δx, y+δy) দুইটি খুব কাছাকাছি বিন্দু। P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক APT, X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে φ কোণ উৎপন্ন করে।
∴y=f(x) বক্ররেখার P তে APT স্পর্শকের ঢাল= tanθ =\(\frac{y+\delta y-y}{x+\delta x-x}\Rightarrow tan \theta=\frac{\delta y}{\delta x}\)

Q বিন্দুটি যখন ক্রমশ P বিন্দুর দিকে অগ্রসর হয়ে P বিন্দুর সাথে প্রায় মিলে যায়, তখন δx→0 এবং সীমান্ত অবস্থায় RPQ রেখাটি APT রেখার সাথে মিলে যাবে এবং θ→φ হবে।
অতএব, x এর যেকোন মানের জন্য, অন্তরজ \(\frac{\triangle dy}{\triangle dx}\) এর মান y=f(x) বক্ররেখার P(x,y) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালের সমান। সুতরাং, y=f(x) বক্ররেখার (x,y) বিন্দুতে যেকোন স্পর্শক x-অক্ষের ধ্বনাত্মক দিকের সাথে φ কোণ উৎপন্ন করলে, \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=tan φ= (x,y) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল।
তাহলে, তোমরা কি বুঝতে পারছ যে কোন ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় আর তার কোন নির্দিষ্ট বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল বের করা একই কথা?


এবার তাহলে চল কিছু ফাংশনের মূল নিয়মে অন্তরজ নির্ণয় করি:

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে এবং বামে Swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


উদাহরণ: y = x²  ফাংশনের  (2,0) বিন্দুতে ঢালের মান কত?

সমাধান: \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}(y)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{2})=2x\)

(2,0) বিন্দুতে x = 2

∴\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2\times 2=4\)

আজ এ পর্যন্তই, তোমরা অন্তরীকরণ, মূল নিয়মে অন্তরজ সম্পর্কিত আমাদের বাকি স্মার্টবুকগুলিও পরে ফেলবে আশা করি।

“Never Stop Learning”