Uncategorized

জটিল সংখ্যা বেসিক ও এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ, মডুলাস ও আর্গুমেন্ট, জটিল সংখ্যার পোলার আকা

Supported by Matador Stationary

\(“5x^{2} + 5 = 0 \)

\(বা, 5x^{2} = -5 \)

\(বা, x^{2} = -1 \)

\(বা, x = \sqrt{-1}\)

কিন্তু ইহা অসম্ভব। তাই \(5x^{2} + 5 \neq 0 ” \)  

নিচের ক্লাসে আমরা অংক করার সময় এভাবে বর্গমূলের ভিতর ঋণাত্মক সংখ্যা পাওয়া গেলে এভাবে লিখে দিতাম, “ইহা অসম্ভব”, তাই না? কখনো কী তোমরা চিন্তা করেছো যে আসলেই ইহা অসম্ভব কিনা, বা অসম্ভব হলেও তা কেন অসম্ভব? এই প্রশ্নের উত্তর তোমরা এই বইতে পাবে।

ছোট ক্লাসে আমরা শুধুমাত্র বাস্তব সংখ্যা নিয়েই মাথা ঘামাতাম। এরকম \sqrt{-1} বা বর্গমূলের ভিতর ঋণাত্মক সংখ্যা পেলে তাকে গোণায় ধরতাম না। চোখ বন্ধ করে লিখে দিতাম “ইহা সম্ভব নয়।” কিন্তু, উচ্চতর গণিতে আমরা শুধুমাত্র বাস্তব জগতেই সীমাবদ্ধ থাকব না। এখন থেকে আমরা কল্পনার জগতেও বিচরণ করবো; তবে সেই জগতও হবে যুক্তিসঙ্গত (Logical)। হ্যাঁ বন্ধুরা, \sqrt{-1}  ধরণের অবাস্তব সংখ্যাগুলিকে স্থান দেয়া হয়েছে কাল্পনিক সংখ্যারেখা নামক আরেকটি ভিন্ন সংখ্যারেখায়, যা বাস্তব সংখ্যার লম্ব বরাবর বিরাজমান। আর বাস্তব এবং কাল্পনিক, উভয়রকমের সংখ্যার সম্মিলিত উপস্থাপনেই গঠিত হয় জটিল সংখ্যা। কী, বুঝতে পারলে না? আচ্ছা, পুরো স্মার্টবুকটি পড়ে আসো, তাহলেই সব বুঝতে পারবে।

চল বন্ধুরা, আমরা কিছু সংজ্ঞা পড়ে নিই:

সংখ্যা

 

তাহলে কী কী বুঝলে? মূল কথা হল, বাস্তব এবং কাল্পনিক সংখ্যা সম্মিলিতভাবে জটিল সংখ্যা তৈরি করে। তবে, এর থেকে এটাও স্পষ্ট যে সকল বাস্তব সংখাই জটিল সংখ্যা। কীভাবে বলোতো?

5 = 5 + i.0  লেখা যায়। এখানে 5 কে (x + i.y) রূপে লেখা হল যেখানে x = 5 এবং y = 0.

কিন্তু সকল জটিল সংখ্যাকেই (x + i.y) রূপে লেখা যায়। কাজেই, সকল বাস্তব সংখাই জটিল সংখ্যা।

আরও ভালো করে বুঝার জন্য কিছু উদাহরণ সংবলিত নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করো:

এখন চল আমরা \sqrt{-1} বা i এর বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করি।

              

                    কাল্পনিক রাশি i এর পরিচয় এবং বৈশিষ্ট্য

তোমরা এতদিন বাস্তব সংখ্যারেখাদেখেছো কিন্তু কাল্পনিক সংখ্যারেখা দেখোনি। কাল্পনিক সংখারেখাকে বাস্তব সংখ্যারেখার উপর লম্ব ধরা হয় এবং এটি বাস্তব সংখ্যারেখাকে মূলবিন্দুতে ছেদ করে।
বাস্তব সংখ্যারেখায় তোমরা একটি অপারেটর
ব্যবহার করেছো যা হল -1. এই অপারেটরের বৈশিষ্ট্য ছিল এরকম: এটি সংখ্যারেখায় অবস্থিত যেকোনো সংখার সাথে গুণাকারে যুক্ত হয়ে সংখ্যাটিকে 180o ঘুরিয়ে দিয়ে নতুন অবস্থানে আনতে পারে।


এখন থেকে তোমরা আরেকটি অপারেটর সম্পর্কে জানবে। এই অপারেটরের কাজ হল কোনো সংখ্যাকে 90o কোণে ঘুরিয়ে দেওয়া। এই অপারেটর মূলত একটি ধ্রুবক কাল্পনিক সংখ্যা। এর নাম i. সাধারণ অবস্থায় i শুধুমাত্র একটি কাল্পনিক সংখ্যা, কোনো অপারেটর নয়। কিন্তু i নামক এ সংখ্যাটিই যখন আর্গন্ড চিত্রতে বাস্তব বা কাল্পনিক যেকোনো সংখ্যার সাথে গুণাকারে যুক্ত হয়, তখন সেই সংখ্যার দিককে সে 90o কোণে লেখচিত্রের ধনাত্মক দিকে ঘুরিয়ে ফেলে।

তাহলে আশা করি তোমরা i এর কাজ বুঝতে পারলে। নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করো, আশা করি বিষয়টি একদম পরিষ্কার হয়ে যাবে তোমাদের কাছে।

 

i এর ঘাত

একটি মজার ব্যাপার কি তোমরা অনুধাবণ করতে পেরেছ? কাল্পনিক সংখ্যা i এর বিভিন্ন ঘাতের (Power) জন্য ঘাতসহ i এর মান ঘুরেফিরে 1,i,-1 ও -i এই চারটিই হয়? উপরের GIF টি খেয়াল করে দেখো। i^{0} কে 1 লেখা যায়। আবার, এর সাথে পরপর চারবার i গুণ হয়ে চারটি চতু্র্ভাগ ঘুরে এসে i^{4} ও ঐ একইমান 1 হয়।

দেখো, i^{0} = 1 .   

0 ÷ 4 করলে ভাগশেষ 0.

\(i^{1} = i \)

1÷ 4 করলে ভাগশেষ 1.

\(i^{2} = -1 \)

2 ÷ 4 করলে ভাগশেষ 2.

\(i^{3} = – i \)

3 ÷ 4 করলে ভাগশেষ 3.

\(i^{4} = 1 \)

4 ÷ 4 করলে ভাগশেষ 0.

\(i^{5} = i\)

5 ÷ 4 করলে ভাগশেষ 1.

i^{n} = 1 ; যখন n ÷ 4 এর ক্ষেত্রে ভাগশেষ 0.

i^{n} = i ; যখন n ÷ 4 এর ক্ষেত্রে ভাগশেষ 1.

i^{n} = -1 ; যখন n ÷ 4 এর ক্ষেত্রে ভাগশেষ 2.

i^{n} = -i ; যখন n ÷ 4 এর ক্ষেত্রে ভাগশেষ 3.

 

উদাহরণ লক্ষ্য করো: আমরা জানি, i = \sqrt{-1}

\(\Rightarrow i^{2}=-1\)

 

মাথায় রেখো, যেকোনো কাল্পনিক সংখ্যা বা জটিল সংখ্যার কাল্পনিক অংশকে i এর সাথে গুণাকারে আনা যায়। কিভাবে? চল দেখা যাক :

\(\sqrt{-1}=\sqrt{2\times(-1)}=\sqrt{2}\times\sqrt{-1}=i\sqrt{2}\)

একইভাবে, \sqrt{-x}=\sqrt{x\times(-1)}=\sqrt{x}\times\sqrt{-1}=i\sqrt{x}

 

Remark: এর যেকোনো পরপর চারটি ক্রমিক ঘাতবিশিষ্ট পদের যোগফল সর্বদা শুন্য। যেমন:

\(i^{0}+i^{1}+i^{2}+i^{3}=0\)

 

 

জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Graphical Representation of a Complex Number)

তোমরা জানো কি, একটি জটিল সংখ্যা কে ক্রমজোড় আকারে লেখা যায়? হ্যাঁ। কোনো জটিল সংখ্যা z = x + iy হলে, এর ক্রমজোড় হবে (x,y)

\(\therefore z = x + iy \equiv (x,y) \)

 

কিছু তথ্য জেনে নাও:

এটি হল আর্গন্ড চিত্র (Argond Diagram) যাতে কোনো জটিল সংখ্যার প্রতিরূপ আঁকা হয়।

 

জটিল সংখ্যার মডুলাস এবং আর্গুমেন্ট (Modulus and Argument of a Complex Number)

একটি জটিল সংখ্যাকে আর্গন্ড চিত্রে স্থাপন করলে যে বিন্দু পাওয়া যায়, সেই বিন্দু এবং মূলবিন্দু সংযোগ করলে সংযোগরেখার দৈর্ঘ্যকে জটিল সংখ্যাটির মডুলাস বলে। ঐ রেখাটি বাস্তব অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে জটিল সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট বলে।

 

আর্গুমেন্ট এর মুখ্যমান (Principle Value of Argument): যদি -\pi<\theta\leq\pi হয়, তবে \theta এর এই মানকে মুখ্যমান বলা হয়।

Remark: জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট বলতে মূখ্যমানকেই বুঝানো হয়।

Description:

আমরা জানি, z=x+iy

OPN থেকে পাই, \(OP^{2}=OM^{2}+PM^{2}=x^{2}+y^{2}\)

\(\therefore OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

\therefore z এর মডুলাস \(\mid z \mid=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(Rea(z)^{2})+(Ima(z)^{2})}\)

আবার, \(\tan\theta=\frac{y}{x}\)

\(\Rightarrow\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\)

\(\therefore zএর আর্গুমেন্ট, arg z = \tan^{-1}\frac{y}{x}\)

 

নিচে কিছু উদাহরণের মাধ্যমে বিষয়টি পরিপূর্ণভাবে উপস্থাপন করা হল:

জটিল সংখ্যার পোলার সমীকরণ (Polar form of a Complex Number) 

ধরি, একটি জটিল আকারের সংখ্যা,

z=x+iy;

আমরা জানি, পোলার স্থানাংক ব্যবস্থায়

\(x=r\cos\theta…………(i)\) এবং,

\(y=r\cos\theta…………(ii)\)

(i)^{2}+(ii)^{2}\Rightarrow

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

\(\Rightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\mid z\mid\)

(ii)\div(i)\Rightarrow

\(\tan\theta=\frac{y}{x}\)

\(\therefore\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\)

\(\therefore arg Z=\tan^{-1}\frac{y}{x}\)

\therefore Z এর \(Polar form=r\cos\theta+i\sin\theta\)

\(=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

যখন \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\mid z\mid এবং \theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}=arg Z\)

চলো, এবার কিছু বড় বড় অংক সমাধান করি।

 

কিছু গাণিতিক সমস্যা

 

এখন ঝটপট নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দিয়ে দাও।