Uncategorized

তত্ত্বীয় অংশ (৮.২)

বলের ক্ষেত্রে ত্রিভুজের কতিপয় সূত্র

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো-

দীপ্ত একটি আলুর বস্তা টেনে নিয়ে হাঁটছে অনেকক্ষণ হলো। মাথার উপরের বৃত্তাকার সূর্যদেব তীব্র তাপ বর্ষণ করছে। সে ঘেমে-নেয়ে একাকার। তার গন্তব্য সামনের গঞ্জ। রাস্তা তো তার ভালোই চেনা। কিন্তু কী যে হলো তার আজ! হাঁটছে তো হাঁটছেই। আলুর বস্তাটাও বড্ড ভারী! একটু পর সে আবিষ্কার করলো আধঘণ্টা আগে সে যেখানে ছিলো, সেখানেই সে আবার ফিরে এসেছে! বৃথাশ্রম হলো? তার মানে, সে যে এত্ত কষ্ট করে আলুর বস্তায় বল প্রয়োগ করে করে এই রাস্তাটা অতিক্রম করলো, সেখান থেকে তার প্রাপ্ত ফলাফল বা লব্ধি শূন্য!
This image has an empty alt attribute; its file name is unnamed-300x287.png
ধরা যাক, সে A বিন্দু থেকে শুরু করেছিলো, তারপর AB পথ অতিক্রম করলো, BC পথ অতিক্রম করলো, তারপর CA পথটুকু অতিক্রম করলো। অর্থাৎ, সে আবার A বিন্দুতেই গিয়ে পৌঁছালো। এই পথগুলো তাকে শেষ পর্যন্ত কী উপহার দিলো, তা তো দেখতেই পেলে তোমরা। একটা বড় ঘোড়ার ডিম! একে আমরা এভাবে বলতে পারি, AB + BC + CA = 0. তোমরা কি জানো, তোমরা এরই মাধ্যমে শিখে গেলে বলের সাম্যাবস্থার ত্রিভুজ সূত্র এবং একই সাথে এর বিপরীত সূত্র টিও! গাণিতিক প্রমাণ চাই? আচ্ছা সেটাও শিখে ফেলবো না হয়, সমস্যা নেই।

ড্রপডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত-


এবার আমরা বিখ্যাত লামির উপপাদ্য নিয়ে একটু আলোচনা করি-

লামির দুটো উপপাদ্য


এবার তাদের প্রমাণ করার পালা।

এখানে, O বিন্দু বরাবর তিনটি সমতলীয় রেখা OX, OY, OZ বরাবর কার্যরত তিনটি সমতলীয় বল P, Q, R সাম্যাবস্থায় রয়েছে। অর্থাৎ, P + Q + R = 0. আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে,

\(\frac{P}{sin (Q,R)}\)= \(\frac{Q}{sin (R,P)} \)=\(\frac{ R}{sin (P,Q)}\)

\(\frac{P}{sin a}\)=\(\frac{ Q}{sinb}\) = \(\frac{R}{sin c}\)

প্রমাণ:

P + Q + R = 0

⇒ P( P + Q + R) = 0

⇒ PP + PQ + PR = 0

এখানে কিছু বিষয় খেয়াল করো। PP = | P | | P | sin0° n^ = 0 এবং ab = – ba.

তাই,

PQ – RP = 0

⇒ PQ = RP

⇒ | PQ | = | RP |

⇒ \(\frac{PQ}{ sinc}\) =\(\frac{ RP}{ sinb}\)

⇒ \(\frac{ Q}{sinb}\) =\(\frac{ R}{sin c}\)

⇒ একইভাবে, \(\frac{P}{sin a}\)= \(\frac{Q}{sinb}\)

∴ \(\frac{P}{sin a}\)= \(\frac{Q}{sinb}\)=\(\frac{ R}{sin c}\) [Proved]


ঝটপট উত্তর দিয়ে দাও নিচের প্রশ্নগুলোর-



এবার লামির উপপাদ্যের বিপরীত সূত্রের প্রমাণটা দেখে নেওয়া যাক-

মনে করি, O বিন্দুতে OX, OY, OZ বরাবর যথাক্রমে P, Q, R একতলীয় বলত্রয় এরূপভাবে ক্রিয়া করে যেন

\(\frac {P}{sin (QOR)}\) = \( \frac {Q}{sin (ROP)}\) =\(\frac {R}{sin (POQ)}\)

প্রমাণ করতে হবে, P + Q + R = 0.

OX এর উপরে যেকোনো বিন্দু A থেকে OY || AC অঙ্কন করি। ZO কে বর্ধিত করে দেই, যা AC কে A বিন্দুতে ছেদ করে।

OAC থেকে পাই,

⇒ \(\frac{OA}{sin OCA}\) = \(\frac {AC}{sin AOC}\) =\(\frac { CO}{sin CAO}\)

⇒ \(\frac {OA}{sin QOC}\) = \(\frac {AC}{sin AOC}\) =\( \frac {CO}{sin CAO}\)

⇒ \(\frac {OA}{sin ( – QOC)}\) = \( \frac {AC}{sin ( – ROP)}\) =\(\frac { CO}{sin ( – POQ)}\)

\(\frac {OA}{sin (QOR)}\)=\(\frac { AC}{sin (ROP)} \)=\(\frac { CO}{sin (POQ)} \)………(ii)

(i) এবং (ii) থেকে খেয়াল করো,

\(\frac {P}{OA}\) = \( \frac {Q}{AC}\) =\(\frac {R}{CO}\)

সুতরাং O বিন্দুতে ক্রিয়ারত P, Q, R বলত্রয়ের মান ও দিক OAC ত্রিভুজের একইক্রমে OA, AC, CO বাহু তিনটি দ্বারা সূচিত করা যায়। অতএব, বলের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে বলত্রয় সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে।


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা তত্ত্বীয় অংশ (৮.২) সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।