Uncategorized

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

Supported by Matador Stationary

ইরাম তৃতীয় শ্রেণীর ছাত্র। তার বাবা একটি প্রতিষ্ঠানে কর্মরত। অফিস থেকে ফেরার সময় ইরামের বাবা তার জন্য জন্য প্রায়ই কিছু না কিছু নিয়ে আসে। একদিন ইরামের বাবা অফিস থেকে ফিরে ইরামকে দুটি বাক্স দিয়ে বললেন, “এই দুটি বাক্সের মধ্যে যেটি অপ্রক্ষাকৃত বড় তাতে উপহার আছে। তুমি যদি বড় বাক্সটি নির্বাচন করতে পারো তবেই তুমি উপহারটি পাবে।” ইরাম চিন্তায় পড়ে গেলো কারণ বাক্স দুটির আকৃতির মধ্যে অতি সামান্য পার্থক্য ছিল যা খালি চোখে দেখে বোঝা সম্ভব ছিল না। তখন ইরামের চোখে পড়লো বাক্স দুটি ত্রিভুজ আকৃতির আর সে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারে। তখন সে “\frac{১}{২}ভূমি উচ্চতা” এই সূত্র ব্যবহার করে বাক্স দুটির ক্ষেত্রফল বের করে বড় বাক্সটি চিহ্নিত করলো ও উপহারটি পেয়ে গেলো।
কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় যদি কোন ত্রিভুজ আঁকা হয় এবং ঐ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি যদি জানা যায় তবে ঐ ত্রিভুজেরও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা সম্ভব। চলো এবার আমরা কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু যদি জানা থাকে তবে তার ক্ষেত্রফল কীভাবে নির্ণয় করা যায় তা শিখে নিই।

 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র

মনে করি, কোন কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়  A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2}) এবং C(x_{3},y_{3}) তিনটি বিন্দু । A ও B বিন্দু, A ও C বিন্দু, B ও C বিন্দু যোগ করি। তাহলে দেখা যায়, ABC একটি ত্রিভুজ পাওয়া যায় যার শীর্ষবিন্দু A(x_{1},y_{1}),  B(x_{2},y_{2}) এবং C(x_{3},y_{3})। এখন আমরা ABC ত্রিভুজের এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করবো।

A, B ও C বিন্দু হতে x অক্ষের উপর যথাক্রমে AL,  BM ও CN লম্ব আঁকি।

তাহলে, OL = x_{1}, OM = x_{2}, ON = x_{3}, AL = y_{1}, BM = y_{2}, CN = y_{3}।

ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ABC হলে

ABC = ট্রাপিজিয়াম ABML এর ক্ষেত্রফল + ট্রাপিজিয়াম ALNC এর ক্ষেত্রফল – ট্রাপিজিয়াম BMNC এর ক্ষেত্রফল

  \(= \frac{1}{2}(AL + BM)ML + \frac{1}{2}(AL + CN)LN – \frac{1}{2}(BM + CN)MN\)

  \(=\frac{1}{2}(AL + BM)(OL – OM) +\frac{1}{2}(AL + CN)(ON – OL) – \frac{1}{2}(BM + CN)(ON – OM)\)

  \(= \frac{1}{2}(y_{1}+y_{2})(x_{1}-x_{2}) +\frac{1}{2}(y_{1}+y_{3})(x_{3}-x_{1}) -\frac{1}{2}(y_{2}+y_{3})(x_{3}-x_{2})\)

  \(= 12{(y_{1}+y_{2})(x_{1}-x_{2}) + (y_{1}+y_{3})(x_{3}-x_{1}) – (y_{2}+y_{3})(x_{3}-x_{2})}\)  \(=\frac{1}{2}\times(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{2}y_{1}-x_{2}y_{2}+x_{3}y_{1}+x_{3}y_{3}-x_{1}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{3}y_{3}+x_{2}y_{2}+x_{2}y_{3})\)   

 \(=\frac{1}{2}\times(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{2}y_{3})\)

 \(=\frac{1}{2}\times(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-y_{1}x_{3}-y_{2}x_{3}-y_{3}x_{1})\)

 

(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-y_{1}x_{3}-y_{2}x_{3}-y_{3}x_{1}) এই রাশিটিকে নীচের মতো নির্ণায়ক আকারে প্রকাশ করা যায়।
এই নির্ণায়কটিকে \delta ABC দ্বারাও প্রকাশ করা হয়।
ফলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হয়,

\triangleABC =

 

আবার, ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফলকে নীচের মতো তিনটি নির্ণায়কের যোগফল আকারেও লেখা যায়,

\triangle ABC = 

 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের এই সূত্রগুলোতে (x_{1}y_{1}), (x_{2}y_{2}) এবং (x_{3}y_{3}) এই বিন্দুগুলোর মানের ভিত্তিতে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের চিহ্ন ধনাত্মক ও ঋণাত্মক দুটোই আসতে পারে। যদি বিন্দুগুলো ঘড়ির কাটার ঘূর্ণনের বিপরীতক্রমে নেয়া হয় তবে ক্ষেত্রফলের চিহ্ন ধনাত্মক হয়। আর যদি ঘড়ির কাটার ঘূর্ণনের দিকে নেয়া হয় তাহলে ঋনাত্মক হয়। যেহেতু ক্ষেত্রফল ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই আমরা ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রগুলোতে (x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-y_{1}x_{3}-y_{2}x_{3}-y_{3}x_{1}) এই রাশিকে পরম মানের ভেতরে রাখবো।

ফলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রগুলো হয়,

\triangle ABC =\frac{1}{2}\times\mid(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-y_{1}x_{3}-y_{2}x_{3}-y_{3}x_{1})\mid = \frac{1}{2}\times\mid\delta ABC\mid

 

কোন বহুভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি দেয়া থাকলে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র

 

মনে করি, কোন বহুভুজে n সংখ্যক শীর্ষবিন্দু আছে। শীর্ষবিন্দুগুলো হচ্ছ (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}) (x_{3},y_{3}), … (x_{n},y_{n})। এই বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত বহুভুজের ক্ষেত্রফল,

=

যেমনঃ এখানে যদি n = 4 হয় তবে বহুভুজটির শীর্ষবিন্দু চারটি হবে মানে এটি একটি চতুর্ভুজ হবে যার ক্ষেত্রফল হবে,

=

 

তিনটি বিন্দু সমরেখ হওয়ার শর্ত

তিনটি বিন্দু এক রেখায় অবস্থিত হবে যদি এবং কেবল যদি ঐ তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়।

মনে করি, A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2}) এবং C(x_{3},y_{3}) তিনটি বিন্দু। A, B ও C  কে সমরেখ বলবো যদি \triangle ABC = 0 হয়।

আবার আমরা জানি,

\triangleABC =

যেহেতু , \triangle ABC = 0 

বা, = 0

বা,= 0

অতএব, আমরা বলতে পারি তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত নির্ণায়কের মান শূন্য  হলেও বিন্দু তিনটি সমরেখ।

 

গাণিতিক সমস্যাবলি

সমস্যা নং ১: ABC ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় A(-3, 2), B(-3, 9) এবং C(5, -8); ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে B হতে CA এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

A(-3, 2), B(-3, 9) এবং C(5, -8) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

\triangleABC =   

\( =\frac{1}{2}\mid(-3)9 + (-3)(-8) + 5(-2) – (-2)(-3) – 9(5) – (-8)(-3)\mid\)

\( = \frac{1}{2}\mid-27 + 24 – 10 – 6 – 45 – 24\mid\)

\( = \frac{1}{2}\mid-88\mid\)

\( = \frac{1}{2}88\)

\( = 44 বর্গএকক\)

ধরি, B হতে CA এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য a একক।

CA রেখার দৈর্ঘ্য = C ও A বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\sqrt{(5+3)^{2}+(-8+2)^{2}}\)

\(=\sqrt{(8)^{2}+(-6)^{2}}\)

\(=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\)

\(\triangle ABC = \frac{1}{2}CA a\)

\(বা, 44 =\frac{1}{2}10 a\)

\(বা, \frac{44}{5} = a\)

অতএব, অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \frac{44}{5}  একক।

 

সমস্যা নং ২: কোন ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক ( t + 1, 1 ), ( 2t + 1, 3 ), ( 2t + 2, 2t । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। দেখাও যে,t = 2 অথবা t = – \frac{1}{2} হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে।

সমাধানঃ

বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

\triangle ABC = 

 \( = \frac{1}{2}\mid 3t + 3 – 2t -2 + 4t^{2} + 2t – 6t – 6 + 2t + 2 – 2t^{2} – 2t \mid\)

\(= \frac{1}{2}\mid 4t^{2}  + 7t + 5 – 2t^{2}  – 10t – 7 \mid\)

\(= \frac{1}{2}\mid 2t^{2}  – 3t -2 \mid বর্গএকক\)

t = 2 হলে,

\( \triangle ABC  = \frac{1}{2}\mid 8 – 6  -2 \mid = 0 বর্গএকক\)

t = – \frac{1}{2} হলে,

\(\triangle ABC  = \frac{1}{2}\mid \frac{1}{2} +  \frac{3}{2} -2 \mid = 0 বর্গএকক\)

যেহেতু t এর দুটি মানের জন্যই ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শূন্য তাই বলা যায়, t = 2 অথবা t = -\frac{1}{2} হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে।

 

সমস্যা নং ৩:  A, B ও C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক ( 1, 2 ), ( – 5, 1 ), ( x, y) এবং \triangle ABC এর ক্ষেত্রফল 18 বর্গএকক হলে,  দেখাও যে, x – 6y =25।

সমাধানঃ

বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

\triangle ABC = 

\( =\frac{1}{2}\mid 1 + 10 – 5y – x -2 + 2x – yt \mid \)

\( =\frac{1}{2}( x – 6y + 11)\)

দেয়া আছে, \triangle ABC এর ক্ষেত্রফল 18

অতএব,

\(\frac{1}{2}( x – 6y + 11) = 18\)

বা, x – 6y + 11 = 36

বা, x – 6y = 25 ( দেখানো হলো )

 

সমস্যা নং ৪:  ABCD আয়তের তিনটি শীর্ষবিন্দু A ( 3, 2 ), B( 2, -1 ), C( 8, -3)  হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু D এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। এবং আয়তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ধরি, D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y)।

AC কর্ণের মধ্যবিন্দু\( = ( \frac{3+8}{2}, \frac{2-3}{2}) = ( \frac{11}{2},  -\frac{1}{2})\)

BD কর্ণের মধ্যবিন্দু\( = ( \frac{2+x}{2},  \frac{y-1}{2})\)

যেহেতু কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু পরস্পর সমান হবে। তাই,

\(\frac{2+x}{2} = \frac{11}{2}\)

বা, x = 9

আবার,

\(\frac{y-1}{2}= – \frac{1}{2}\)

বা, y = 0

D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (9, 0)

 

AB রেখার দৈর্ঘ্য = A ও B বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\sqrt{(3-2)^{2}+(2+1)^{2}}\)

\(=\sqrt{1+9}\)

\(=\sqrt{10}\)

BC রেখার দৈর্ঘ্য = B ও C বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\sqrt{(2-8)^{2}+(-1+3)^{2}}\)

\(=\sqrt{36+4}\)

\(=\sqrt{40}\)

 

আয়তটির ক্ষেত্রফল = AB BC বর্গএকক =  =\sqrt{10} =\sqrt{40} বর্গএকক = 20 বর্গএকক

এখন ঝটপট নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।