Uncategorized

দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু, অন্তর্ভুক্ত কোণ, সমান্তরাল বা লম্ব হয়ার শর্ত এবং বিভিন্ন শর্তাধীনে সরলরেখার সমীকরণ

কলেজে গণিত ক্লাশে স্যার আজকে সরলরেখার সমীকরণ ও সরলরেখা কীভাবে আঁকতে হয় তা আজকে পড়িয়েছেন। আলিফ রাতে এসবই পড়ছিল। হঠাৎ করে সে তার ঘড়ের ছাদে তাকিয়ে লক্ষ্য করলো ছাদ ও দেয়ালের স্পর্শ বিন্দুতে একটি সরলরেখার আকৃতি সৃষ্টি হয়েছে। সে দেখলো চারটি দেয়ালের এরূপ চারটি সরলরেখাকৃতি সৃষ্টি হয়েছে এবং রেখাগুলি পরস্পর লম্বা।

তখন হঠাৎ করে আলিফের মাথায় যে প্রশ্নটি আসলো তা হচ্ছে কোন সরলরেখার সমীকরণ থেকে তার লম্ব রেখার সমীকরণ বের করা যায় কিনা। পরদিন সে এই প্রশ্নটি তার শিক্ষককে করায় তার শিক্ষক বললেন, “কোন সরলরেখার সমীকরণ থেকে তার লম্ব সরলরেখার সমীকরণ তো বের করা যাবেই এমনকি ঐ সরলরেখার সাথে যেকোন অবস্থিত রেখার সমীকরণ সম্পর্কে জানা যাবে।”

তখন হঠাৎ করে আলিফের মাথায় যে প্রশ্নটি আসলো তা হচ্ছে কোন সরলরেখার সমীকরণ থেকে তার লম্ব রেখার সমীকরণ বের করা যায় কিনা। পরদিন সে এই প্রশ্নটি তার শিক্ষককে করায় তার শিক্ষক বললেন, “কোন সরলরেখার সমীকরণ থেকে তার লম্ব সরলরেখার সমীকরণ তো বের করা যাবেই এমনকি ঐ সরলরেখার সাথে যেকোন অবস্থিত রেখার সমীকরণ সম্পর্কে জানা যাবে।”

চলো আমরা এবার আমরা দুটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ, ছেদবিন্দু, বিভিন্ন শর্তাধীন সরলরেখার সমীকরণ কীভাবে নির্ণয় করা যায় তা শিখে নিই।

সরলরেখার ঢাল


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

দুইটি সরলরেখার ছেদের ক্ষেত্রে নীচের তিনটি ঘটনা ঘটতে পারে,
১. রেখা দুইটি কোন বিন্দুতেই ছেদ করবে না।
২. রেখা দুইটি যেকোন একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
৩. রেখা দুইটি অসংখ্য বিন্দুতে ছেদ করবে।
দুটি রেখা যদি কেবল একটি বিন্দুতে ছেদ করে তাহলে ছেদবিন্দুটি উভয় সরলরেখার উপর অবস্থিত হবে। অর্থাৎ ঐ বিন্দু দ্বারা উভয় সরলরেখার সমীকরণ সিদ্ধ হবে। দুটি সরলরেখা যদি কেবলমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করে তাহলে ছেদবিন্দু কি হবে তা এবার আমরা নির্ণয় করবো।
মনে করি, যেকোন দুটি সরলরেখার সমীকরণ হচ্ছে \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1} = 0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\)। মনে করি, এই রেখা দুটি কেবলমাত্র একটি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে। সমীকরণ দুটিকে সমাধান করলে x ও y এর একটি করে মান পাওয়া যাবে, যে মান দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হবে।
যেহেতু আমরা ইতিমধ্যে জেনেছি সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হবে। তাই \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1} = 0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সমীকরণ দুটি সমাধানের পর প্রাপ্ত x ও y এর মানই হচ্ছে রেখা দুটির ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
এখন \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1} = 0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সমীকরণ দুইটিকে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করে পাই,

\(\frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}=\frac{y}{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
অতএব, \(x=\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\) এবং \(y=\frac{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1} = 0 ও a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু হবে, \((\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}},\frac{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}})\)

দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ


দুইটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে দুই ধরণের কোণ হয়। একটি হচ্ছে সূক্ষকোণ ও আরেকটি হচ্ছে স্থূলকোণ।
এবার আমরা দুইটি সরলরেখার সমীকরণ থেকে কীভাবে অন্তর্ভুক্ত কোণ এর মান বের করা যায় তা শিখব।


মনে করি, AB ও CD সরলরেখা দুইটির সমীকরণ হচ্ছে যথাক্রমে \(y=m_{1}x+c_{1}\) ও \(y=m_{2}x+c_{1}\)। রেখা দুইটি পরস্পর E বিন্দুতে ছেদ করে এবং x অক্ষকে যথাক্রমে A ও C বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে ∠AEC হচ্ছে রেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষকোণ ও ∠AED হচ্ছে অন্তর্ভুক্ত স্থূলকোণ।
ধরি, AB ও CD রেখাদ্বয় x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যথাক্রমে \( \theta_{1}\) ও \( \theta_{2}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ হচ্ছে \(\phi \)। অতএব, \(∠AEC = \phi \)
ধরি, \(∠AED = \psi\)
তাহলে AB রেখার ঢাল হচ্ছে \(tan \theta_{1}\)
\(y=m_{1}x+c_{1}\) সমীকরণ হতে দেখা যায় AB রেখার ঢাল হছে \(m_{1}\)।
অতএব, \(m_{1}=tan \theta_{1}\)
আবার,
CD রেখার ঢাল হচ্ছে \(tan \theta_{2}\)
\(y=m_{2}x+c_{2}\) সমীকরণ হতে দেখা যায় AB রেখার ঢাল হছে \(m_{2}\)।
অতএব, \(m_{2}=tan \theta_{2}\)
চিত্র হতে দেখা যায়,
\( \theta_{1}= \theta_{2} + \phi\)
বা, \( \phi = \theta_{1}-\theta_{2}\)
বা, \( tan \phi = tan( \theta_{1}-\phi)\)
বা, \( tan \phi = \frac{tan \theta_{1} – tan \phi}{1+ tan \theta_{1} tan \theta_{2}}\)
বা, \( tan \phi = \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
বা, \( \phi = tan^{-1} (\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
আবার,
\(tan∠AED = tan(\psi)=tan(180°-\phi)=-tan \phi = – \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
অতএব,
\(tan(\psi)=-\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
বা,\( \psi = tan^{-1} (-\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})=-tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)

অতএব অন্তর্ভুক্ত সূক্ষকোণ ও স্থূলকোণ দুটি হচ্ছে \(tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\) ও \(-tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
দুইটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে মধ্যবর্তী কোণ \(= \pm tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
(+) চিহ্ন নিলে সূক্ষকোণ ও (-) চিহ্ন নিলে স্থূলকোণ পাওয়া যায়।
আমরা এই সূত্র দিয়ে অন্তর্ভুক্ত কোণ বের করার সময় যে রেখার ঢাল বড় তার ঢালকে সবসময় \(m_{1}\)ও রেখাটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে \(\theta_{1}\) ধরবো।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত



সত্য মিথ্যা যাচাই করো






কোন সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ


মনে করি, কোন সরলরেখার সমীকরণ হচ্ছে \(ax + by + c = 0\)। এখন আমরা এই সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ বের করবো।
\(ax + by + c = 0\)
বা,\( by = -ax – c\)
বা, \(y=x(\frac{a}{b})\frac{c}{a}\)
অর্থাৎ \(ax + by = c\) সরলরেখার ঢাল হচ্ছে \((-\frac{a}{b})\)।
মনে করি, \(ax + by + c = 0\) রেখার সমান্তরাল রেখাটির সমীকরণ হচ্ছে \(y = mx + p\)।
যেহেতু রেখা দুটি সমান্তরাল তাই রেখা দুটির ঢাল \((-\frac{a}{b})\) ও m পরস্পর সমান হবে।
অর্থাৎ \(m = (-\frac{a}{b})\)


y = mx + p
\(y = (-\frac{a}{b}x+ap\)
বা, by = -ax + ap
বা, ax + by – ap = 0
বা, ax + by + k = 0 ( ধরি, -ap = k)

অতএব \(ax + by + c = 0 \) রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ হচ্ছে \(ax + by + k = 0\), যেখানে k ধ্রুবক।
যদি \(ax + by + c = 0 \) রেখার সমান্তরাল রেখা যদি \((\alpha,\beta)\) এই বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে \((\alpha,\beta)\) বিন্দুটি \(ax + by + k = 0\)
রেখার উপর অবস্থিত। অতএব \((\alpha,\beta)\) বিন্দুটি দ্বারা \( ax + by + k = 0\) রেখা সিদ্ধ হবে।
অতএব,
\(-(a \alpha + b \beta)=k\)
\(K\) এর মান \(ax + by = k\) এই সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(ax + by = a \alpha + b \beta\)
অতএব \(ax + by + c = 0\) রেখার সমান্তরাল রেখার সমান্তরাল ও \((\alpha,\beta)\) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ হচ্ছে \(ax + by = a \alpha + b \beta\)

কোন একটি সরলরেখা ও একটি বিন্দু দেয়া থাকলে ঐ সরলরেখার সমান্তরাল ও প্রদত্ত বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ের কার্যপদ্ধতি


মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


কোন সরলরেখার উপর লম্বরেখার সমীকরণ


মনে করি, কোন সরলরেখার সমীকরণ হচ্ছে \(ax + by + c = 0\)। এখন আমরা এই সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ বের করবো।
\(ax + by + c = 0\)
বা, \(by = -ax – c\)
বা, \(y = x(-\frac{a}{b}) – \frac{c}{a}\)
অর্থাৎ \(ax + by = c\) সরলরেখার ঢাল হচ্ছে \((-\frac{a}{b})\)।
মনে করি, \(ax + by + c = 0\) রেখার সমান্তরাল রেখাটির সমীকরণ হচ্ছে \(y = mx + p\)।
যেহেতু রেখা দুটি লম্ব
তাই \((-\frac{a}{b})× m = -1\)
বা, \(m = \frac{b}{a}\)

\( y = mx + p\)
বা, \( y = (\frac{b}{a})x + ap\)
বা, \(ay = bx + ap\)
বা, \(bx – ay + ap = 0\)
বা্‌, \(bx – ay + k = 0\) (ধরি, \(ap = k\))

অতএব ax + by + c = 0 রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ হচ্ছে ax + by + k = 0, যেখানে k ধ্রুবক।
যদি ax + by + c = 0 রেখার সমান্তরাল রেখা যদি \((\alpha ,\beta )\) এই বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে \((\alpha ,\beta )\) বিন্দুটি \(ax + by + k = 0\)
রেখার উপর অবস্থিত। অতএব \((\alpha ,\beta )\) বিন্দুটি দ্বারা \(ax + by + k = 0\) রেখা সিদ্ধ হবে।
অতএব,
\( – ( a \alpha + b \beta) = k\)
\(K\) এর মান \(ax + by = k\) এই সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(ax + by = a \alpha + b \beta \)
অতএব \(ax + by + c = 0\) রেখার সমান্তরাল রেখার সমান্তরাল ও \((\alpha ,\beta )\) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ হচ্ছে \(ax + by = a \alpha + b \beta \)



দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ


\(a_{1}x + b_{1}y + c_{1}= 0\) ও \(a_{2}x + b_{2}y + c_{2}= 0\) যথাক্রমে AB ও CD সরলরেখার সমীকরণ এবং P তাদের ছেদবিন্দু হলে রেখা দুটির ছেদবিন্দু P গামী EF সরলরেখার সমীকরণ হবে,

\(a_{1}x + b_{1}y + c_{1}+ k(a_{2}x + b_{2}y + c_{2}) = 0\) (যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক)

তিনটি সরলরেখা সমবিন্দু হওয়ার শর্ত


মনে করি, \(a_{1}x + b_{1}y + c_{1}= 0 , a_{2}x + b_{2}y + c_{2}= 0\) ও \(a_{3}x + b_{3}y + c_{3}= 0\) এই সমীকরণগুলো হচ্ছে AB, CD ও EF সরলরেখার সমীকরণ। মনে করি, সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু অর্থাৎ সরলরেখা তিনটি একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ধরি, ছেদবিন্দুটি P। তাহলে P বিন্দুটি তিনটি সরলরেখার উপরই থাকবে।

\(a_{1}x + b_{1}y + c_{1}= 0 , a_{2}x + b_{2}y + c_{2}= 0\) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু হবে, \((\frac {b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}} , \frac{c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1}}{a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}})\)
যেহেতু তিনটি রেখা একই বিন্দুতে ছেদ করে। তাই \((\frac {b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}} , \frac{c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1}}{a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}})\) বিন্দুটিও \(a_{3}x + b_{3}y + c_{3}= 0\) এই রেখার উপর অবস্থান করবে।

\(a_{3}(\frac {b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}}) + b_{3}(\frac{c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1}}{a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}}) + c_{3}= 0\)
বা, \(a_{3}(b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1}) + b_{3}(c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1}) + c_{3}(a_{1}b_{2} – b_{2}a_{1}) = 0\)
\(\Rightarrow a_{3}(b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1}) + b_{3}(c_{1}a_{2} – c_{2}a_{1}) + c_{3}(a_{1}b_{2} – b_{2}a_{1}) = 0\)

এই রাশিটিকে নির্ণায়ক আকারে লিখলে হয়,

\(a_{1}x + b_{1}y + c_{1}= 0\), \(a_{2}x + b_{2}y + c_{2}= 0\) ও \(a_{3}x + b_{3}y + c_{3}= 0\) এই সমীকরণ সংশ্লিষ্ট রেখাগুলো সমবিন্দু হবে যদি তাদের সহগ দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক এর মান শূন্য।

গাণিতিক সমস্যাবলি


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু, অন্তর্ভুক্ত কোণ, সমান্তরাল বা লম্ব হয়ার শর্ত এবং বিভিন্ন শর্তাধীনে সরলরেখার সমীকরণ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।