নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উদাহরণ ও অনুশীলনী

 নিতু এইচ.এস.সি পরীক্ষার্থী। আজকে তার উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্র পরীক্ষা। নিতু পড়াশুনায় বরাবরই বেশ ভালো, তাই চিন্তামুক্ত হয়ে সে পরীক্ষা দিতে বসলো। নৈব্যত্তিক প্রশ্ন দিয়ে পরীক্ষা শুরু হল। প্রথম কয়েকটি প্রশ্নের উত্তর ঝটপট দিয়ে ফেলার পর একটি প্রশ্নে সে আটকিয়ে গেল। প্রশ্নটি ছিল এরকম: \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) উপবৃত্তটির অন্যান্য লেখা ক্ষেত্রফল কত?” প্রশ্নটির উত্তর সে পারতো, বাসায় সূত্রটি অনেকবার ব্যবহার করেছে, তারপরও কিছুতেই সূত্রটি মনে আসলো না। অত্যন্ত দুঃখজনক ব্যাপার! আচ্ছা যাই হোক, সে ঐ প্রশ্নটি বাদ রেখে বাকিগুলির উত্তর করা শুরু করলো। ঐ উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করার প্রশ্নটি বাদে বাদবাকি সব কয়টি প্রশ্নের উত্তর শেষে সে খেয়াল করে দেখল এখনও নৈব্যত্তিক পরীক্ষার সময় তিন-চার মিনিটের মতো বাকি আছে। আশেপাশে তাকিয়ে দেখলো সবার তখনও বেশ কিছু প্রশ্নের উত্তর করা বাকি। তো কী করা যায়? উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্র যে কিছুতেই মাথায় আসছে না! হঠাৎ তার মাথায় একটি বুদ্ধি খেলে গেল। সে তো ক্যাল্কুলাসের যোগজীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করার মাধ্যমেই এই প্রশ্নের উত্তর বের করে ফেলতে পারে। যেমন ভাবা, তেমন কাজ। হাতে তেমন সময় নেই। ঝটপট করে সে খাতায় রাফ করার অংশে নির্দিষ্ট যোগজীকরণ করার মাধ্যমে খুব সহজেই উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল বের করে ফেলল। আর ব্যাস, প্রশ্নের উত্তর দাগানোও হয়ে গেল।
এই গল্প থেকে কি বুঝলে বন্ধুরা? নির্দিষ্ট যোগজীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা যেকোনো বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করতে পারি। এবং এই পদ্ধতি আমাদের বিপদের বন্ধু হিসেবেও কাজ করতে পারে, যেমনটি হয়েছে নিতুর ক্ষেত্রে। তবে মজার ব্যাপার কী জানো? নৈব্যত্তিক পরীক্ষার সময় শেষ হওয়ার সাথে সাথেই নিতুর উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করার আসল সূত্র টি মনে পড়ে গিয়েছে!
যাইহোক, এখন কাজের কোথায় আসি। আশা করি আমাদের আজকের এই স্মার্টবুকটি পড়ার পরে তোমরা যেকোনো বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নিমিষের মধ্যে বের ওরে ফেলতে পারবে। তাহলে জলদি খাতা-কলম নিয়ে বসে পড়ো এবং ধৈর্য ধরে তোমরা আমাদের এই স্মার্টবুকটি পড়ে ফেলো।

 

নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল (Area using the Concept of Definite Integration)

 

(a,b) ব্যবধিতে y = f(x) ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হলে y = f(x) ফাংশন, X-অক্ষ এবং x = a ও x = b রেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \(\int_{a}^{b} f(x)dx\)

মনে করি, x = a ও x = b বিন্দুর কোটি যথাক্রমে y_{1} = AB ও y_{2} = DC .
y = f(x) বক্ররেখাকে A ও D বিন্দুকে ছেদ করে। ABCD দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, AD বক্ররেখার উপর P(x,y) এবং \(Q(x+\delta x,y+\delta y)\) দুইটি নিকটবর্তী বিন্দু। অর্থাৎ, \(\delta x\rightarrow0\) হলে, \(\delta y\rightarrow0\) হয়। X-অক্ষের উপরে PM ও QN লম্ব টানি। QN এর উপর PR এবং MP এর বর্ধিতাংশের উপর QS লম্ব টানি।
\(therefore OM = x ; ON = x + \delta x ; PM = y ; QN = y + \delta y\)
অতএব, \(MN = (x + \delta x) – x = \delta x\)
চিত্র থেকে পাই, MNRP আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(= y .\delta x\)
এবং, MNQS আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(= (y + \delta y) .\delta x\)
ABMP এবং ABNQ এর ক্ষেত্রফল যথাক্রমে A এবং A + \delta A হলে, PMNQ এর ক্ষেত্রফল = .
তাহলে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, ক্ষেত্র \delta A ক্ষেত্র y .\delta x এর থেকে বৃহত্তর কিন্তু ক্ষেত্র \((y + \delta y) .\delta x\) এর চেয়ে ক্ষুদ্রতর।
অর্থাৎ,\(y .\delta x < δA < (y + \delta y) .\delta x\)
\(\Rightarrow y< \frac{\delta A}{\delta x}<(y+\delta y)\) [অসমতাটিকে \delta x দ্বারা ভাগ দিয়ে পাই ]

এখন অসমতায় লিমিট নিয়ে এসে পাই,
\(\lim_{\delta \rightarrow 0}y < \lim_{\delta x \rightarrow 0}\frac{\delta A}{\delta x} <\lim_{\delta y \rightarrow 0} (y+\delta y)\)
\(\Rightarrow y< \frac{dA}{dx} <y\)
\(\therefore \frac{dA}{dx}=y\)
এখান থেকে আবার আমরা স্বাধীন চলক ও অধীন চলকের অন্তরকের ধারণাটি প্রয়োগ করে পাই,
dA = y. dx
এখন যোগজীকরণ বা সমাকলন করে পাই, \(\int dA=\int y.dx\)
\(\Rightarrow A=F(x)+c……(i) [\int y.dx=F(x) ধরি, y. dx এর যোগজকে অর্থাৎ একটি নতুন ফাংশন ধরি ]\)
x = a হলে, A = 0 [কারণ x = a বিন্দু থেকে ক্ষেত্রফল গণনার শুরু।]
\(\therefore 0 = F(a) + c [ (i) নং এ x = a এবং A = 0 বসানো হল ] \)
\(\Rightarrow c = – F(a) … … (ii) \)
x = b হলে, A = ABCD দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
\(\therefore ABCD দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = F(b) + c [ (i) নং এ x = b বসিয়ে পাই ]
= F(b) – F(a) [ (ii) নং হতে c এর মান বসিয়ে ] \)
কিন্তু F(b) এবং F(a) উভয়েই x এর ফাংশন।
\(\therefore F(b) – F(a) = \int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{b} ydx … … (iii) \)
তাহলে আমরা বুঝতে পারলাম যে, নির্দিষ্ট যোগজ \(\int_{a}^{b} f(x)dx\) বা \(\int_{a}^{b} ydx\) , y = f(x) বক্ররেখা, X-অক্ষ এবং x = a ও x = b রেখাদ্বয়ের উপর অবস্থিত দুইটি নির্দিষ্ট কোটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে। (Proved)

Remark: ঠিক একইভাবেই আমরা প্রমাণ করতে পারি যে, \int_{a}^{b} xdy নির্দিষ্ট যোগজটি y = f(x) একটি বক্ররেখা, Y-অক্ষ এবং y = a ও y = b রেখাদ্বয়ের মাধ্যমে নির্দেশিত দুইটি ভুজ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে। এখানে আমরা যে অক্ষ পরিবর্তন করে যোগজীকরণ করছি, একে বলা হয় Axis Altering.

এতক্ষণ তো আমরা থিওরি বুঝলাম। এখন চলো আমরা স্মার্টবুকের শুরুতে নিতুর গল্পের উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় সহ বিভিন্ন বক্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় সংক্রান্ত কিছু সমস্যার সমাধান দেখি।

তবে এসব সমাধান দেখার আগে তোমাদেরকে কিছু বিশেষ ধরণের বক্র (যেমন: কনিক) সম্পর্কে কিছু প্রাথমিক ধারণা দেই, যাতে তোমরা খুব সহজেই সমস্যাগুলি বুঝতে পারো এবং সমাধান করতে পারো।

 

কিছু সংজ্ঞা

তোমরা আমাদের গণিত দ্বিতীয় পত্রের কনিক সংক্রান্ত স্মার্টবুকে এগুলি সম্পর্কে আরও বিস্তারিত জানতে পারবে।

এখন তাহলে চলো, আমরা গাণিতিক কিছু সমস্যার সমাধান দেখে বুঝার চেষ্টা করি:

 

এখন ঝটপট নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দিয়ে দাও।