Uncategorized

ফাংশনের লেখচিত্র

Supported by Matador Stationary

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

সজীবের জন্মদিনে তার মামা তাকে একটি অদ্ভুত যন্ত্র উপহার দেয়। যন্ত্রটির নিচে একটি সাদা কাগজ রেখে (০, ০) ইনপুট টাইপ করলে সাদা কাগজটির ঠিক মাঝ বরাবর একটি কালো বিন্দু ভেসে ওঠে। এরপর (০,১) ইনপুট দিলে আগের বিন্দুটির ঠিক উপরেই আরেকটি বিন্দু ভেসে ওঠে। এভাবে সজীব একের পর এক ইনপুট দিতে দিতে সাদা কাগজটিতে একটি সরলরেখা তৈরী করে। কিন্তু এতে তার অনেক সময় লেগে যায়। সে চিন্তা করতে থাকে এমন কোন উপায় আছে নাকি যাতে সে এক লাইনের ইনপুটেই পুরো সরলরেখাটির প্রকৃতি যন্ত্রকে বুঝিয়ে দিতে পারে!

সজীবের যন্ত্রটি এমন একটি যন্ত্র যা কোন ফাংশনের ক্রমজোড় (x,y) এর মান ইনপুট নিতে নিতে স্বয়ংক্রিয়ভাবে ঐ ফাংশনের লেখচিত্র(Graph) অঙ্কন করে ফেলতে পারে।  কিন্তু, পরবর্তীতে সে এমন মেকানিজমের কথা চিন্তা করে, যা ফাংশনের নাম ইনপুট দিলেই আউটপুটে ওই ফাংশনের লেখচিত্র প্রকাশ পায়।

ফাংশন বর্ণনার ক্ষেত্রে গ্রাফ বা লেখচিত্র অনেক দরকারি একটি বিষয়। সকল গণিতবিদ ও প্রকৌশলীর কাজের অন্যতম প্রধান হাতিয়ার হল গ্রাফ বা লেখচিত্র। তাই চল আমরা এখানে কিছু ফাংশনের লেখচিত্র নিয়ে আলোচনা করি… …

ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে আমরা জানি,যে অন্বয়ের প্রতিটি ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলি পরস্পর ভিন্ন, সেই অন্বয়কে ফাংশন বলে।  সুতরাং, ফাংশন হতে হলে ক্রমজোড়গুলোর (x,y) প্রতিটি x এর মানের জন্য y এর একটিমাত্র মান পেতে হবে।

কোন লেখচিত্রে যদি দেখা যায়, Y-অক্ষ বা তার সমান্তরাল কোন রেখা লেখকে একটিমাত্র বিন্দু ছেদ করে এবং কখনোই একাধিক বিন্দুতে ছেদ না করে, তবে ঐ লেখটি একটি ফাংশনের লেখ বলে বিবেচিত হবে। যেমন:  = 4ay    পরাবৃত্তের লেখ।

 = 4ax ও y² = – 4ax  পরাবৃত্তের লেখ কোন ফাংশনের লেখ নয়। কারণ, Y-অক্ষের সমান্তরাল কোন রেখা লেখটিকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে। অর্থাৎ, স্বাধীন চলক x এর একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য অধীন চলক  y = f(x) এর দুইটি মান পাওয়া যায়।

y² = x একটি ফাংশন না হলেও y=√x একটি ফাংশন। বলোতো কেন?
কারণ, Y-অক্ষের সমান্তরাল রেখা PQ y² = x এর লেখকে P ও Q ২টি বিন্দুতে ছেদ করলেও, y=√x লেখকে একটি বিন্দু P-তে ছেদ করে। নিচের চিত্র দেখলে তোমরা বিষয়টি সঠিকভাবে অনুধাবন করতে পারবে:

 

y²=x একটি ফাংশন না হলেও  y=√x একটি ফাংশন

 

মোবাইলে ডানে বামে Swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি! পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্যও স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।

চল আমরা কিছু ফাংশনের গ্রাফ চিনি। এছাড়াও গুরুত্বপূর্ণ কিছু লেখের স্কেচ কিভাবে করতে হয় এ সম্পর্কে জেনে আসি:

১) দ্বিঘাত ফাংশন y= f(x) = ax² + bx + c ; a≠0

যেমন: y = x² – x – 2

দ্বিঘাত ফাংশন y = x^2 - x - 2

লেখের বৈশিষ্ট্য:

ক. লেখটি পরাবৃত্তাকার
খ. Y-অক্ষ বা Y-অক্ষের সমান্তরাল রেখার সাপেক্ষে লেখটি প্রতিসম

গ. লেখটি অক্ষকে ছেদ বা স্পর্শ করলে তখন এর দুইটি বাস্তব মূল থাকবে এবং অন্যক্ষেত্রে বাস্তব কোন মূল থাকবে না।


২) y = f(x) = xⁿ আকারের ফাংশন

i) যেখানে n ∈ ℕ, n জোড় ; উদাহরণ: y=x²

y = x^2
লেখের বৈশিষ্ট্য:
ক. লেখটি একটি পরাবৃত্ত যার অক্ষরেখা X বা X-অক্ষের সমান্তরাল।
খ. লেখটি Y-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম, অর্থাৎ, Y-অক্ষকে একটি আয়না কল্পনা করলে Y-অক্ষের বাম পার্শ্বের প্রতিবিম্ব(Mirror image) হবে ডান পার্শ্ব।
গ. n এর মান বৃদ্ধি পেলে বক্রতা বাড়ে, অর্থাৎ n এর মান বৃদ্ধি পেলে x এর ব্যবধিও বৃদ্ধি পায়।


ii) যেখানে n ∈ ℕ, n বিজোড় ; উদাহরণ: y=x³

y = x^3
লেখের বৈশিষ্ট্য:
ক. লেখটি মূলবিন্দুর সাপেক্ষে প্রতিসম।
খ. y এর মান ঘাতসহ x এর সমানুপাতিক হারে বাড়ে।
গ. n এর মান যত বেশি হবে, ফাংশনটির লেখ ততো বক্র হবে।


৩) ত্রিকোণমিতিক ফাংশনসমূহ

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখচিত্র সম্পর্কে অন্য আরেকটি স্মার্টবুকে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে, তবে তোমাদের সুবিধার্থে এখানে ফাংশনসমূহের লেখগুলি প্রদর্শিত হল:
ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

উপরে যথাক্রমে y = sin x, cos x, tan x, cot x, sec x ও cosec x এর লেখ প্রদর্শিত হল।
এই ৬ টি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের প্রত্যেকটি পর্যাবৃত্ত ফাংশন।