Uncategorized

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

গত স্মার্ট বুকটিতে তোমরা দেখেছো, ফুয়াদ কীভাবে বড় বড় কোণের মান নিমিষেই বের করা শিখে ফেলেছিলো, ক্যালকুলেটরের কোনোরকম সাহায্য ছাড়াই। কিন্তু এবার ফুয়াদকে আমরা এমন একটা ত্রিকোণমিতিক রাশি সমাধান করতে দিলাম, যা দেখে তার মাথা চুলকোনো ছাড়া কোনো উপায় থাকলো না। রাশিটা ছিলো এরকম: sin3290° cos2560° + sin 2560° cos3290°. এছাড়াও এরকম আরো অনেক রাশি আছে তোমাদের বইয়ে। এহেন ক্ষেত্রে কীভাবে সমাধান খুঁজে পাবে ফুয়াদ? তখন তোমাকে সাহায্য করতে আছে যৌগিক কোণ আর এদের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের বেশ কিছু সূত্র ও তাদের প্রমাণ। আজকে আমরা সেগুলো নিয়েই আলোচনা করবো এবং বেশ কিছু গাণিতিক সমস্যা সমাধান করে ফেলবো।

এবার যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের বেশ কিছু সূত্রের উদ্ভব দেখে ফেলি।


মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের উপরে পাবে আলাদা একটি বাটন।



এবার তাহলে আরো দুটি সূত্রের প্রমাণ দেখে আসি।

→ \(tan (A+B) = \frac{tan A+ tan B}{1-tanA\ tanB}\)

→ \(tan (A-B) = \frac{tan A-tan B}{1+tanA\ tanB}\)

প্রমাণ:

\(tan(A+B)= \frac{sin(A+B)}{cos(A+B)}\)

\(=\frac{sin A\ cosB+cosA\ sinB}{cosA\ cosB-sinA\ sinB}\)

\(=\frac{\frac{sinA\ cosB+cosA\ sinB}{cosA\ cosB}}{\frac{cosA\ cosB – sinA\ sinB}{cosA\ cosB}}\)

\(=\frac{\frac{sinA\ cosB}{cosA\ cosB}+ \frac {cosA\ sinB}{cosA\ cosB}}{\frac{cosA\ cosB}{cosA\ cosB}- \frac{sinA\ sinB}{cosA\ cosB}}\)

\(=\frac{tan A+ tan B}{1-tanA\ tanB}\)

\(tan(A-B)= \frac{sin(A-B)}{cos(A-B)}\)

\(=\frac{sin A\ cosB-cosA\ sinB}{cosA\ cosB+sinA\ sinB}\)

\(=\frac{\frac{sinA\ cosB-cosA\ sinB}{cosA\ cosB}}{\frac{cosA\ cosB + sinA\ sinB}{cosA\ cosB}}\)

\(=\frac{\frac{sinA\ cosB}{cosA\ cosB}- \frac {cosA\ sinB}{cosA\ cosB}}{\frac{cosA\ cosB}{cosA\ cosB}+ \frac{sinA\ sinB}{cosA\ cosB}}\)

\(=\frac{tan A- tan B}{1+tanA\ tanB}\)

কিছু অনুসিদ্ধান্তের প্রমাণ



যৌগিক কোণ সংক্রান্ত বেশ কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা যাক।

ধরণ 1 : মান নির্ণয় কর: cosec 375°

সমাধান:

\(cosec 375°= cosec (360°+15°)\)

\(=cosec 15°\)

\(=\frac{1}{sin15°}\)

\(=\frac{1}{sin(45°-15°)}\)

\(=\frac{1}{sin45°\ cos30°-cos45°\ sin30°}\)

\(=\frac{1}{\frac{1}{√2}.\frac{√3}{2}-\frac{1}{√2}.\frac{1}{2}}\)

\(=√2+√6\) (Ans.)


ধরণ 2: যদি \(cotA = \frac{11}{2}\), \(tanB = \frac{7}{24}\) হয়, তবে cot(A – B) = ? এবং tan(A + B) = ?

সমাধান:

\(cot(A-B)=\frac{cotA\ cotB+1}{cotB-cotA}\)

\(=\frac{\frac{11}{2}. \frac{24}{2} +1}{\frac{24}{7}-\frac{11}{2}}\)

\(=- \frac{278}{29}\)

\(tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA\ tanB}\)

\(=\frac{\frac{2}{11}+\frac{7}{24}}{1-\frac{2}{11}. \frac{7}{24}}=\frac{1}{2}\)(Ans.)


ধরণ 3 : প্রমাণ কর: cos (x – 60°) cos (x – 30°) – sin (x – 60°) sin (x + 330°) = sin2x

সমাধান:

\(cos(x-60°) cos(x-30°)-sin(x-60°)sin(x+330°)\)

\(=cos(x-60°)cos(x-30°)-sin(x-60°)sin{360°+(x-30°)}\)

\(=cos(x-60°)cos(x-30°)-sin(x-60°)sin(x-30°)\)

\(=cos{(x-60°)+(x-30°)}\)

\(= cos (2x-90°)\)

\(=cos (90°-2x)\)

\(=sin2x\)

\(∴ cos(x – 60°)cos(x – 30°) – sin(x – 60°)sin(x + 330°) = sin2x\) [proved]


ধরণ 4 : প্রমাণ কর:\(\frac{cos 27°-cos63°}{cos27°+cos63°}=tan18°\)
সমাধান:

\(\frac{cos 27°-cos63°}{cos27°+cos63°}\)

\(=\frac{cos 27°-cos(90°-27°)}{cos27°+cos(90°-27°)}\)

\(=\frac{cos27°-sin27°}{cos27°+sin27°}\)

\(=\frac{1-tan27°}{1+tan27°}\)

\(=\frac { tan45° – tan27°}{1+tan45°.tan27°}\)

\(=tan (45°-27°)\)

\(=tan18°\)

\(∴ \frac{cos 27°-cos63°}{cos27°+cos63°}=tan18°\)[Proved]


ধরণ 5 : যদি \(a+b=c\) এবং \(tana : tanb = x : y\) হয়, প্রমাণ কর যে, \(sin(a+b) = \frac{x-y}{x+y} sin c\)

সমাধান:

\(tan a : tan b=x;y\)

\(\Rightarrow \frac{tana}{tanb}= \frac{x}{y}\)|

\(\Rightarrow \frac{sin a\ cosb}{cosa\ sinb}= \frac{x}{y}\)

\(\Rightarrow \frac{sin a\ cosb-cosa\ sinb}{sin a\ cosb+cosa\ sinb}=\frac{x-y}{x+y}\)

\( \Rightarrow \frac{sin(a-b)}{sin(a+b)}=\frac{x}{y}\)

\( \Rightarrow \frac{sin(a-b)}{sinc}=\frac{x}{y}\)

\(∴sin(a+b)=\frac{x-y}{x+y}sinc\) [Proved]


ধরণ 6 : প্রমাণ কর: \(tan36°+tan9°+tan36°tan9°=1\)

সমাধান:

\(1=tan45°=tan(36°+9°)\)

\(=\frac{tan36°+tan9°}{1-tan36°tan9°}\)

\(∴1=\frac{tan36°+tan9°}{1-tan36°tan9°}\)

\(\Rightarrow 1-tan36°tan9°=tan36°+tan9°\)

\(\Rightarrow tan36°+tan9°+tan36°tan9°=1\) [Proved]


ধরণ 7 : যদি \(A+B+C = π\), \(cosA = cosB cosC\) হয়, তবে দেখাও যে, \(tanA = tanB + tanC\)
সমাধান:

\(tanB+tanC=\frac{sinB}{cosB}+ \frac{sinC}{cosC}\)

\(=\frac{sinB\ cosC+cosB sin C}{cosBcosC}\)

\(=\frac{sin(B+C)}{cosB\ cosC}\)

\(=\frac{sin(\pi-A)}{cosA}\)

\(=\frac{sinA}{cosA}\)

\(=tanA\)

\(∴ tanA = tanB + tanC \)


ধরণ 8 : যদি \(cotA + cotB = a\), \(tanA + tanB = b\) এবং \(A+B = C\) হয়, দেখাও যে, \((a-b)tanC = ab.\)
সমাধান:

\(cot A + cot B= \frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}=a\)

\(\Rightarrow \frac{cosA\ sinB + sinA\ cosB}{sinA\ sinB}=a\)

\( \Rightarrow \frac{sin(A+B)}{sinA\ sinB}=a\)

\(\frac{sinC}{sinA\ sinB}=a……(i)\)

 

\(tanA+tanB= \frac{sinA}{cosA}+ \frac{sinB}{cosB}=b\)

\( \Rightarrow \frac{sinA\ cosB+cosA\ sinB}{cosA\ cosB}=b\)

\(\Rightarrow \frac{sin(A+B)}{cosA\ cosB}=b\)

\( \Rightarrow \frac{sinC}{cosA\ cosB}=b…..(ii)\)

 

\(\frac{a-b}{ab} = \frac{1}{b}- \frac{1}{a}= \frac{cosA\ cosB}{sinC} – \frac{sinA\ sinB}{sinC}\)

\(= \frac {cosA\ cosB – sinA\ sinB}{sinC}\)

\( =\frac {cos(A+B)}{sinC}\)

\( = \frac {cosC}{sinC}\)

\( = cotC\)

\(∴ \frac{a-b}{ab} =cotC\)

\( \Rightarrow \frac {a-b}{cotC}= ab\)

\(\Rightarrow (a-b)tanC = ab \) [Proved]


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো



আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।