Uncategorized

লিমিট (Maths)

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

সে অনেকদিন আগের কথা। কোন এক এলাকায় এক ফাংশন বাস করত। ফাংশনটির একবার ভারি অসুখ হল। অসুখটা ছিল এরকম, তার যেকোনো এক পড়ার বই হাতে নিলেই সে চোখে অন্ধকার দেখত। আস্তে আস্তে সমস্যাটা প্রকট আকার ধারণ করল। পড়ার বইয়ের কাছে গেলেই তার হ্যালুসিনেশন (এক ধরণের দৃষ্টিভ্রম)  হওয়া শুরু হত। হ্যালুসিনেশনের ধরণটিও বড় অদ্ভুত! সে নিজের শরীরকে \(\frac{০}{০}\) কিংবা কখনো কখনো \(\frac{∞}{∞}\) আকারে দেখতে পেত। সহজ কথায়, স্কিতজোফ্রেনিয়া রোগীর মত সে বাস্তব জগতে বিচরণ করত না। অবস্থা গুরুতর দেখে তাকে হাসপাতালে নিয়ে যাওয়া হল। হাসপাতালের নিউরো ডাক্তার রোগীর অবস্থা ভাল করে পর্যবেক্ষণ করে তারপর রোগীকে বলল, “আপনার এই সমস্যা তো ভয়াবহ ! আপনার নিউরো সার্জারি করা লাগবে। এবং এই সমস্যা একবার অপারেশনে নাও দূর হতে পারে। সেক্ষেত্রে যতক্ষণ পর্যন্ত না এই রোগ দূর হয়, ততক্ষণ পর্যন্ত অপারেশন চালিয়ে যাওয়া লাগতে পারে।”

রোগী আঁতকে উঠে বলল, “ডাক্তার সাহেব, এই রোগ কি সারবে?”

ডাক্তার বলল, “অবশ্যই!”

তারপর ফাংশনের অপারেশন চলল। একবার অপারেশনেই রোগী সুস্থ হয়ে ওঠে। এরপর থেকে তার আর বই পড়তে কোন সমস্যা হয়নি।

পরবর্তীতে ঐ ডাক্তারের কাছে আরও অনেক রোগী আসে একইধরনের সমস্যা নিয়ে। কারো কারো একবার অপারেশনে রোগটা সেরে ওঠে না, এমনকি দুইবার, তিনবারও অপারেশন করা লাগে। কিন্তু এই পদ্ধতিতে সব রোগীই সুস্থ হয়ে ওঠে।

পদ্ধতিটির নাম তোমরা শুনতে চাও? পদ্ধতির নাম হল L’Hôpital’s rule. অনেকে একে L’Hospital’s Law ও বলে থাকে।

চল আমরা উপরের গল্পের সাথে L’Hospital’s Law এর যোগসাদৃশ্য খুঁজে বের করি। বইয়ের কাছে গমনকে আমরা ফাংশনের চলরাশির লিমিট ধরতে পারি। তাহলে, অপারেশন করাকে চলরাশির সাপেক্ষে ফাংশনের লব ও হরকে পৃথকভাবে অন্তরীকরণ করার সাথে তুলনা করা যায়।

Image: MAT-1.9.2.2

তোমরা কিন্তু সৃজনশীল উত্তরে এই পদ্ধতি ব্যবহার করবে না! এটি শুধুমাত্র MCQ বা নৈব্যত্তিক উত্তর দেওয়ার সময় ব্যবহার করবে।

L’Hôpital’s rule বা L’Hospital’s Law ব্যবহার করে চল কিছু অংক কষি:

১)\(lim_{h→0} \frac{1-cos\ h}{h^{2}}\)

এই ফাংশনের চলরাশি h এর লিমিট ফাংশনে বসালে 00 আকার পাই।

∴L’Hospital প্রয়োগ করা যাবে।

\(lim_{h→0} \frac{1-cos\ h}{h^{2}} = lim_{h→0} \frac{sin\ h}{2h}\) [লব ও হরকে h এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

পুনরায় L’Hospital Rule প্রয়োগ করে পাই,

\(lim_{h→0} \frac{cos\ h}{2}\) [লব ও হরকে h এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

Limit এর মান ফাংশনে বসিয়ে পাই,

\(= \frac{cos\ 0°}{2} = \frac{1}{2}\) [Ans]

২)\(lim_{x→∞} \frac{x}{e^{x}}\)

এ ফাংশনে চলরাশির লিমিট বসালে \(\frac{∞}{∞}\) আকারে ফাংশনটি পাই, [ যেকোন সংখ্যার ঘাত \(→ ∞\) হলে সংখ্যাটিও \( → ∞\)]
একারণে L’ Hospital rule প্রয়োগ করা যাবে,

\(lim_{x→∞} \frac{x}{e^{x}}\)

\(=lim_{x→∞} \frac{1}{e^{x}}\)

[লব ও হরকে পৃথকভাবে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

\(=0 [∵ \frac{1}{∞}=0]\) [Ans]

অংক করতে হলে থিওরি সম্পর্কে জ্ঞান থাকা অতীব জরুরি। তাই এখনো তোমরা লিমিটের থিওরি পড়ে না থাকলে ঝটপট এই বইটি পড়ে ফেল:

বইটি পড়তে এখানে ক্লিক করো

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


লিমিটের অংকের সমাধান করার সহায়িকা (Lemma)


২, ৪, ৫ এবং ৬ নং এ Sandwich Theorem প্রয়োগ করা হয়েছে।


মনে রাখবে, লিমিটের অংক করার সময় ততক্ষণ পর্যন্ত চলক বা চলরাশির লিমিট এর মান ফাংশনে বসানো যাবে না যতক্ষণ পর্যন্ত চলরাশির লিমিটের মান বসালে ফাংশনের লিমিট অবাস্তব হয়।

চল আমরা টাইপভিত্তিক কিছু লিমিটের অংক সমাধান করার চেষ্টা করি:

লিমিট নির্ণয়:


টাইপ ১ : লিমিটের অস্তিত্বশীলতা নির্ণয়

প্রশ্নঃ\(lim_{x→0} \sqrt{x}=?\)

সমাধান: আমরা জানি, ফাংশনের বামদিকবর্তী লিমিট ও  ডানদিকবর্তী লিমিট পরস্পর সমান হলেই অর্থাৎ

\(lim_{x→0^{+}} \sqrt{x} =lim_{x→0^{-}} \sqrt{x}\) হলেই শুধুমাত্র মূল ফাংশনের লিমিট অস্তিত্বশীল।

এখন, \(x→ 0^{+}\) এর ক্ষেত্রে \(x>0\) তাহলে ধরি, \(x=0+h \) ;h একটি ধনাত্মক সংখ্যা

x→ 0 হলে, h→0 হয়

\(∴lim_{x→0^{+}} \sqrt{x} =lim_{h→0} \sqrt{0+h} = lim_{h→0} \sqrt{h}\)

চলরাশিটির লিমিট ফাংশনে বসাই, \(lim_{h→0} \sqrt{h} =0\) [যা একটি বাস্তব সংখ্যা]

এবার, \(x→ 0^{-}\) এর ক্ষেত্রে \(x<0\)

তাহলে ধরি, \(x=0-h\) ;\(h\) একটি ধনাত্মক সংখ্যা

\(x→ 0\) হলে, \(h→0\) হয়

\(∴lim_{x→0^{-}} \sqrt{x} = lim_{h→0} \sqrt{0-h} = lim_{h→0} \sqrt{-h}\)

কিন্তু \(h\) ধনাত্মক সংখ্যা হলে \(-h\) ফাংশনটি অবাস্তব হয়।

\(∴lim_{x→0^{+}} \sqrt{x} ≠lim_{x→0^{-}} x \)

অতএব, ফাংশনের ডানদিকবর্তী লিমিট ও বামদিকবর্তী লিমিট সমান নয়।

তাই \(lim_{x→0} \sqrt{x}\) ফাংশনটি অস্তিত্বশীল নয়।

অংকটি শেষ। কিন্তু চল, আমরা একটু ফাংশনটি নিয়ে আলোচনা ও ফাংশনের লেখ পর্যবেক্ষণ করি…

ফাংশনটি হল \(f(x) = \sqrt{x}\)

\(y =\sqrt{x}\) ধরি। এর উভয়পক্ষকে বর্গ করলে পাই, \(y^{2} = \sqrt{x}\) যা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ। কিন্তু \(y = \sqrt{x}\) একটি অর্ধ-পরাবৃত্ত হবে। কারণ, \(\sqrt{x}\) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হবে, ফলে Y-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে লেখটি কখনোই গমন করবে না।


টাইপ ২ : বাস্তব মান বসিয়ে সরাসরি ফাংশনের লিমিট নির্ণয়

প্রশ্নঃ \(lim_{x→3} \frac {x^{3}-27} { x-3} = ?\)

সমাধান:

ধরি, \(x = 3 + h\)

\(x → 3\) হলে \(h → 0\) হয়।

\(∴ lim_{x→3} \frac{x^{3}-27} {x-3} \)

\(= lim_{h→0} \frac{ (3+h)^{3}-27} {3+h-3}\)

\(= lim_{h→0} \frac{27+27h+9h^{2}+h^{3}-27} {3+h-3}\)

\(= lim_{h→0} \frac{7h+9h^{2}+h^{3}} { h}\)

\(= lim_{h→0} (27+9h+h^{2})\)

এখন, লিমিটের মান বসিয়ে পাই, = 27 [Ans]


টাইপ ৩: চলরাশির মান অসীমের দিকে ধাবিত হলে

প্রশ্নঃ\(lim_{x→∞} \frac{x^{2}+3x+5}{2x^{2}+9x-4}\)

সমাধান: 

Hint: x→∞ থাকলে সর্বোচ্চ ঘাত দ্বারা ভাগ করে দিতে হবে।

\(lim_{x→∞} \frac{x^{2}+3x+5}{2x^{2}+9x-4}\)

\(=lim_{x→∞} \frac{1+3x+5x^{2}}{2+\frac{9}{x}}-\frac{4}{x^{2}}\)

\(= \frac{1+\frac{3}{∞}+\frac{5}{∞}^{2}}{2+\frac{9}{∞}-\frac{4}{∞^{2}}}\)

\(= \frac{1+0+0}{2+0+0}=12\) [Ans]

Shortcut:  Use L’Hospital’s Rule


টাইপ ৪: \(lim_{x→a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}= n.a^{n-1}\) সূত্রের ব্যবহার

প্রশ্ন:\(lim_{x→b} \frac{x^{\frac{9}{2}}-b^{\frac{9}{2}}}{x^{\frac{5}{2}}-b^{\frac{5}{2}}}= ?\)

সমাধান:

\(lim_{x→b} \frac{x^{\frac{9}{2}}-b^{\frac{9}{2}}}{x^{\frac{5}{2}}-b^{\frac{5}{2}}}\)

\(= lim_{x→b}\frac{\frac{x^{\frac{9}{2}}-b^{\frac{9}{2}}}{{x-b}}}{\frac{x^{\frac{5}{2}}-b^{\frac{5}{2}}}{{x-b}}}\)

\(= \frac{\frac{9}{2}b^{\frac{9}{2}}-1}{\frac{5}{2}b^{\frac{5}{2}}-1}\) \([∵ \frac{x^{n}-b^{n}}{x-b}=nb^{n-1}]\)

\(=\frac{9}{5}b^{2}\) [Ans]


টাইপ ৫: \(lim_{x→0} \frac{e^{x}-1}{x}=1\) সূত্রের ব্যবহার

প্রশ্ন:\(lim_{x→0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x}=?\)

সমাধান:

\(lim_{x→0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x}\)

\(=lim_{x→0} \frac{e^{x-1}- e^{-x}+1}{x}\)

\(=lim_{x→0}( \frac{e^{x}-1}{x}+ \frac{-e^{-x}+1}{x})\)

\(=lim_{x→0}( \frac{e^{x}-1}{x}-\frac{e^{-x}-1}{x})\)

\(=lim_{x→0} \frac{e^{x}-1}{x}- lim_{x→0} \frac{e^{-x}-1}{-x}\)

\(=1+lim_{(-x)→0} (\frac{e^{-x}-1}{-x})\)

=1+1=2

[Ans]


টাইপ ৬: \(lim_{x→∞} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e\) এবং \(lim_{x→∞} (1+\frac{1}{x})^{x} = e\)  সূত্রের ব্যবহার

প্রশ্ন:\(lim_{x→0}(1+5x)^{\frac{4}{x}}=?\)

সমাধান:

\(lim_{x→0}(1+5x)^{\frac{4}{x}}\)

একে আমরা \(lim_{a→0} (a+1)^{\frac{1}{x}}\) আকারে আনার চেষ্টা করবো।

\(=lim_{x→0} (1+5x)^{\frac{1}{5x}}.20\)

\(=\left\{lim_{x→0} (1+5x)^{\frac{1}{5x}}\right\}^{20}\)

\(=e^{20}\) [\(∵lim_{x→0} (1+5x)^{\frac{1}{5x}} =e\)] [Ans]

Shortcut: x এর সহগ 5 এবং \(\frac{1}{x}\) এর সহগ 4 ; 5 ও 4 এর ল.সা.গু=20

সুতরাং, Answer হবে 20


টাইপ ৭ : বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের লিমিট নির্ণয়  

প্রশ্ন:  \( lim_{x→0} \frac{sin^{-1} 5x} {4x} = ? \)

সমাধান:

\( lim_{x→0} \frac{sin^{-1} 5x} {4x} = ? \)

\( lim_{x→0} \frac{sin^{-1} 5x} {5x} . \frac{5} { 4} \)

\(= 1 .\frac{5} { 4} \)

\(=\frac{5} { 4} \)

[Ans]

টাইপ ৮ :  লব ও হরকে বর্গমূল সংবলিত রাশি অনুবন্ধী দ্বারা গুণ

প্রশ্নঃ \(lim_{b→0} \frac{1}{b}[\frac{1}{\sqrt{x+b}}-\frac{1}{\sqrt{x}}] = ? \)

সমাধান:  

\(lim_{b→0} \frac{1}{b}[\frac{1}{\sqrt{x+b}}-\frac{1}{\sqrt{x}}] \)

\(=lim_{b→0} \frac{1}{b} [\frac{\sqrt{x}- \sqrt{x+b}}{\sqrt{x+b}.\sqrt{x}}]\)

\(=lim_{b→0} \frac{1}{b}[\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x+b}).(\sqrt{x}+\sqrt{x+b})}{\sqrt{x+b}.{\sqrt{x} .(\sqrt{x}+\sqrt{x+b}})}]\)

\(=lim_{b→0} \frac{1}{b} [\frac{x-x-b}{\sqrt{x+b}.\sqrt{x} .(\sqrt{x}+\sqrt{x+b})}]\)

\(=lim_{b→0} \frac{1}{b} [\frac{-b}{\sqrt{x+b}.\sqrt{x}.(\sqrt{x}+\sqrt{x+b})}]\)

\(=lim_{b→0}[\frac{-1}{\sqrt{x+b}.\sqrt{x} .(\sqrt{x}+\sqrt{x+b})}]\)

\(=-\frac{1}{\sqrt{x}.\sqrt{x}.(\sqrt{x}+\sqrt{x})}\)

\(=-\frac{1}{x(\sqrt{2x})}= -\frac{1}{x\sqrt{2x}}\) [Ans]


টাইপ ৯ :  ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও  স্যান্ডউইচ উপপাদ্য এর ব্যবহারিক প্রয়োগ

প্রশ্ন:

(ক) =1+lim_{(-x)→0} (\frac{e^{-x}-1}{-x})\(lim_{x→0} \frac{1-2cos x+cos 2x} {x^{2}} = ?\)

সমাধান:  

\(lim_{x→0} \frac{1-2cos x+cos 2x} {x^{2}}\)

\(=lim_{x→0} \frac{2cos^{2}x-2 cosx}{x^{2}}\)

\(=lim_{x→0} \frac{-2cos x (1-cos x )}{ x^{2}}\)

\(=lim_{x→0} -2cos x .\frac{2 sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}}\)

\(=-4 lim_{x→0}\ cos x . lim_{x→0} \frac{sin^{2} \frac{x}{2}} {\frac{x^{2}}{4} . \frac{1}{4}}\)

\(=-4.14 . (lim_{x→0} \frac{sin \frac{x}{2}} {\frac{x}{4}})^{2}\)

=-1     [স্যান্ডউইচ উপপাদ্য প্রয়োগ করে \((lim_{x→0} \frac{sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{4}})^{2}=1^{2}=1\) পাওয়া যায় ] [Ans]

(খ)\(lim_{x→0} \frac{cos\ ax+cos\ bx}{x^{2}}=?\)

সমাধানঃ

\(lim_{x→0} \frac{cos 2x+cos 3x} {x^{2}} \)

\(=lim_{x→0} \frac{2sin \frac{(2+3)x}{2} sin \frac{(3-2)x}{2}} {x^{2}}\)

\(=lim_{x→0} \frac{sin (\frac{2+3}{2}) x}{x}. \frac{sin (\frac{1}{2}) x}{x}\)

\(=lim_{x→0} \frac{sin (\frac{2+3}{2})x} {(\frac{2+3}{2})x}.(\frac{2+3}{2}).lim_{x→0} \frac{sin (\frac{1}{2}) x}{(\frac{1}{2})x}.(\frac{1}{2})\)

[লব ও হরে একই রাশি দ্বারা গুণ ও ভাগ করা হয়েছে]

\(=1.1. \frac{5}{2}\)

\(=\frac{5}{2}\) [Ans]

উল্লেখ্য, এখানে ২ বার স্যান্ডউইচ উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয়েছে। \(lim_{x→0} \frac{sin (\frac{5}{2})x} {(\frac{5}{2})x}=1\) এবং \(lim_{x→0} \frac{sin (\frac{1}{2})x} {(\frac{1}{2})x}=1\)

Shortcut: \(lim_{x→0} \frac{cos\ ax+cos\ bx} {x^{2}}= \frac{b^{2}-a^{2}}{2}\)


টাইপ ৯ :   স্যান্ডউইচ উপপাদ্য ব্যতীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লিমিট নির্ণয়

প্রশ্ন: \(lim_{θ→\frac{π}{2}} \frac{sec^{3}θ+tan^{3}θ}{tan θ} \)

সমাধান:

\(lim_{θ→\frac{π}{2}} \frac{sec^{3}θ+tan^{3}θ}{tan θ} \)

\(=lim_{⁡θ→\frac{π}{2}} \frac{cos^{\frac{1} {3}} θ + tan^{\frac{1}{3}} θ} {\frac{sin θ}{ cos θ}}\)

\(=lim⁡_{θ→\frac{π}{2}} \frac{1-sin^{3} θ} {cos^{3} θ} . \frac{cos θ}{ sin θ}\)

\(=lim_{⁡θ→\frac{π}{2}} \frac{1-sin^{3} θ} {cos^{2} θ . cos θ} . {\frac{cos θ}{ sin θ}}\)

\(=lim_{⁡θ→\frac{π}{2}} \frac{(1-sin θ )(1+sin θ+sin^{2} θ )}{(1-sin θ )(1+sin θ )sin θ}\)

\(=lim_{⁡θ→\frac{π}{2}} \frac{(1+sin θ+sin^{2} θ )}{(1+sin θ )sin θ}\)

\(= \frac{3}{1+1}\)

\(=\frac{3}{2}\) [Ans]



সঠিক উত্তরে ক্লিক করো



আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা লিমিট সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।