Uncategorized

সরলরেখার ঢাল, অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, বিভিন্ন আকারের সরলরেখার সমীকরণ

অভীন একটি কারখানায় কাজ করে। কারখানাটির মালিক একদিন তাকে বললো দুপুর ১ টা থেকে ৫ টা পর্যন্ত প্রতি ১০ মিনিট পরপর কত সংখ্যক দ্রব্যের উৎপাদন হয় তা লিখে রাখতে। মেশিনটিতে একটু সমস্যা ছিল তাই এটি ১০ মিনিটে একই পরিমাণ দ্রব্য উৎপাদন করতে সক্ষম ছিল না।
অভীন ঝামেলায় পড়ে গেলো কারণ তার দুপুর ২.৩০ এ তার বন্ধু অভীক এর সাথে দেখা করার কথা ছিল। কিন্তু সে যদি প্রতি ১০ মিনিট পরপর কী পরিমাণ দ্রব্যের উৎপাদন ঘটেছে তার হিসেব রাখতে চায় তাহলে তার আর বন্ধুর সাথে দেখা করা হবে না। সে তার বন্ধুটিকে সমস্যার কথা জানালো। অভীক সব শুনে তার কাছ থেকে জেনে নিলো ১ম,২য়, ৩য় ও ৪র্থ ১০ মিনিটে কি পরিমাণ দ্রব্য উৎপাদিত হয়েছে। সে সময়কে x অক্ষে ও উৎপাদিত দ্রব্যকে y অক্ষে বসিয়ে তিনটি বিন্দু পেল। চারটি বিন্দুর যোগ করে একটি সরলরেখা পাওয়া যায়। তারপর অভীক রেখাটির সমীকরণ বের করলো যেটাতে x এর মানের জায়গায় সময় বসালেই y এর মান অর্থাৎ কয়টি দ্রব্য উৎপাদিত হয়েছে তা জানা যায়। অভীক ফোন করে অভীনকে সব বললো। অভীন সমীকরণের কথা শুনে খুব খুশি হলো। এবং সে এই সমীকরণের মাধ্যমে দুপুর ১টা থেকে বিকেল ৫ পর্যন্ত ১০ মিনিট অন্তর অন্তর কি পরিমাণ দ্রব্য উৎপাদিত হবে তা বের করে দুপুর ২.৩০ এর মধ্যেই তার বন্ধুর সাথে দেখা করতে চলে গেল।

উপরের ঘটনার মতো সরলরেখা ও সরলরেখার সমীকরণ আমাদের বাস্তব জীবনে খুবই গুরুত্বপূর্ণ। চলো এবার সরলরেখার সমীকরণ ও এর ঢাল সম্পর্কে বিস্তারিত জেনে নিই।

সরলরেখার ঢাল


ঢাল বলতে বোঝায় বৃদ্ধি বা হ্রাসের হার। সরলরেখার ঢাল বলতে বোঝায় কোন সরলরেখার সমীকরনে x এর মানের প্রতি একক বৃদ্ধির জন্য y এর মানের কিরূপ পরিবর্তন ঘটে।

উপরের চিত্রটি লক্ষ্য করো,
এখানে AB একটি সরলরেখা এবং সরলরেখার উপর \(P(x_{1},y_{1})\) ও \(Q(x_{2},y_{2})\) দুটি বিন্দু।
দেখা যাচ্ছে, x এর দুটি মান \(x_{1}\) ও \(x_{2}\) এর জন্যে y এর প্রাপ্ত মান দুটি যথাক্রমে \(y_{1}\) ও \(y_{2}\)।
x এর মান \((x_{1}-x_{2})\) একক বৃদ্ধির জন্য y এর মানের পরিবর্তন হয় \(=(y_{1}-y_{2})\) একক
x এর মান 1 একক বৃদ্ধির জন্য y এর মানের পরিবর্তন হয় \(= \frac{ (y_{1}-y_{2})}{(x_{1}-x_{2})}\) একক
এখানে বৃদ্ধির হার \(= (y_{1}-y_{2})(x_{1}-x_{2})\)
অতএব এই সরলরেখাটির ঢাল হবে \(\frac{ (y_{1}-y_{2})}{(x_{1}-x_{2})}\)
ঢাল ধনাত্মক বা ঋণাত্মক দুটোই হতে পারে | ঢাল ধনাত্মক নাকি ঋণাত্মক হবে সেটা নির্ভর করে \((y_{1}-y_{2})\) বা লবের মানের উপর|
\(y_{1}\)ও \(y_{2}\) এর ব্যবধান ধনাত্মক হলে ঢাল ধনাত্মক হবে। মানে x এর মান বৃদ্ধি পেলে y এর মানও বৃদ্ধি পাবে।
\(y_{1}\)ও \(y_{2}\) এর ব্যবধান ঋণাত্মক হলে ঢাল ঋণাত্মক হবে। মানে x এর মান বৃদ্ধি পেলে y এর মান হ্রাস পাবে।

মনে করি, AB সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। P ও Q বিন্দু হতে x অক্ষের উপর যথাক্রমে PM ও QN লম্ব আঁকি।
Q বিন্দু হতে pM এর উপর QR লম্ব আঁকি।

যেহেতু QR রেখা x অক্ষরেখার সমান্তরাল তাই বলা যায়, ∠QAN = \(\theta\) = ∠PQR
চিত্র হতে দেখা যায়,
\(PM = y_{1}; RM = QN = y_{2}; OM = x_{1}; ON = x_{2}\)
\(PR = PM – RM = y_{1} – y_{2}\)
\(QR = NM = OM – ON = x_{1} – x_{2}\)
ত্রিভুজ PQR এ,
\(tan \theta = \frac{PR}{QR} =\frac{ (y_{1}-y_{2})}{(x_{1}-x_{2})}\) … (i)
যেহেতু আমরা ইতিমধ্যে জেনেছি,
সরলরেখার ঢাল = \(\frac{ (y_{1}-y_{2})}{(x_{1}-x_{2})}\)
অতএব, (i) হতে বলা যায়,
সরলরেখার ঢাল = \(tan \theta \) … (ii)
(ii) থেকে সরলরেখার ঢালের সংজ্ঞা এভাবেও দেয়া যায়,
“কোন সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোন উৎপন্ন করে তার ট্যানজেন্টকে সরলরেখার ঢাল বলে|”
এখন যদি আমাদের বলা হয় কোনো সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে, তার মানে এক্ষেত্রে ঢাল 30° এবং x এর প্রতি একক বৃদ্ধির জন্যে y এর মান tan30° বাড়ছে।
দুটি সরলরেখা সমরেখ হলে তাদের ঢাল সমান হবে।

বিভিন্ন আকৃতির সরলরেখার সমীকরণ


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ


ax + by + c = 0 সমীকরণটি হচ্ছে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ। সমীকরণটি সবসময় একটি সরলরেখা প্রকাশ করে। যেখানে x, y চলক; a, b, c তিনটি ধ্রুবক এবং সমীকরণটিতে a ও b এর মান কখনও একসাথে শূন্য হবে না।
সমীকরণে a এর মান 0 হলে সমীকরণটি x অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ হবে।
সমীকরণে b এর মান 0 হলে সমীকরণটি y অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ হবে।