Uncategorized

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত থেকে কয়েকটি অনুসিদ্ধান্ত

Supported by Matador Stationary

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত থেকে কয়েকটি অনুসিদ্ধান্ত

গত স্মার্ট বুকে ফুয়াদকে সাহায্য করার উদ্দেশ্যে তোমরা ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের বেশ কিছু সূত্র প্রমাণ করে বের করা এবং তাদের ব্যবহার করে সমস্যা সমাধান করা শিখেছো। ওসব সূত্র থেকে আমরা আরো কিছু সূত্র বের করতে পারি, যারা অনুসিদ্ধান্ত নামে পরিচিত। এসব অনুসিদ্ধান্ত তোমাকে সমস্যা সমাধান এবং মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে গতি এবং সরলতা প্রদান করবে।

যৌগিক কোণের অনুপাত থেকে আমরা এখন জানি,
sinA cosB + cosA sinB = sin ( A + B )…….(i)
sinA cosB – cosA sinB = sin ( A – B )……..(ii)
এদের যোগ এবং বিয়োগ করে আমরা পাবো,
2sinA cosB = sin ( A + B ) + sin ( A – B )
2cosA sinB = sin ( A + B ) – sin ( A – B )
দুটো অনুসিদ্ধান্ত পেয়ে গেলাম আমরা!

আবার,
cosA cosB – sinA sinB = cos ( A + B )……(iii)
cosA cosB + sinA sinB = cos ( A – B )…….(iv)
এদেরকে আবারও যোগ এবং বিয়োগ করে আমরা পাবো,
2cosA cosB = cos ( A + B ) + cos ( A – B )
2sinA sinB = cos ( A – B ) – cos ( A + B )
আরো দুটো অনুসিদ্ধান্ত পেয়ে গেলাম!

ধরে নেই, A+B = C , A-B =D.
\(\therefore A=\frac{C+D}{2} , B=\frac{C-D}{2}\)
\(\therefore sinC + sinD=2sin\frac{C+D}{2} cos\frac{C-D}{2} ;sinC-sinD=2cos\frac{C+D}{2} sin\frac{C-D}{2}\)
এবং \(cosD+sinD=2cos\frac{C+D}{2} cos\frac{C-D}{2};cosC-cosD=2sin\frac{C+D}{2}sin\frac{D-C}{2}\)

এরাও আরো চারটে অনুসিদ্ধান্ত। এবার আমরা এই অনুসিদ্ধান্তগুলোর সাহায্যে বেশ কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান করে আসি।


ধরণ-1: দেখাও যে, cos70⁰ – cos10⁰ + sin40⁰ = 0

বামপক্ষ = cos70⁰ – cos10⁰ + sin40⁰
= 2sin40⁰ sin(-30⁰) + sin40⁰
= – 2sin40⁰ sin30⁰ + sin40⁰
= – 2sin40⁰ . ½ + sin40⁰
= – sin40⁰ + sin40⁰
= 0 = ডানপক্ষ [Showed]

ধরণ-2: প্রমাণ কর যে, tan54⁰ = tan36⁰ + 2tan18⁰

এখানে, –tan54⁰ tan36⁰
\(=\frac{sin54^{0}}{cos54^{0}}-\frac{sin36^{0}}{cos36^{0}}\)
\(=\frac{sin54^{0}cos36^{0}-sin36^{0}cos54^{0}}{cos54^{0}cos36^{0}}\)
\(=\frac{sin(54^{0}-36^{0})}{cos54^{0}cos36^{0}}\)
\(=\frac{2sin18^{0}}{cos54^{0}cos36^{0}}\)
\(=\frac{2sin18^{0}}{cos90^{0}+cos18^{0}}\)
\(=\frac{2sin18^{0}}{cos18^{0}}\)
\(=2tan18^{0}\) [Showed]

ধরণ-3: প্রমাণ কর যে, tan20⁰ tan40⁰ tan60⁰ tan80⁰ = 3

বামপক্ষ \(=tan20^{0}tan40^{0}tan60^{0}tan80^{0}\)
\(=tan20^{0}tan40^{0}tan60^{0}tan80^{0}\)
\(=\sqrt{3}tan20^{0}tan40^{0}tan80^{0}[tan60^{0}=\sqrt{3}]\)
\(=\sqrt{3}\frac{2sin20^{0}2sin40^{0}2sin80^{0}}{2sin20^{0}2sin40^{0}2sin80^{0}}\)
\(=\sqrt{3}\frac{{(cos40^{0}-20^{0})-cos(40^{0}-20^{0})}sin(90^{0}-10^{0})}{{(cos40^{0}+20^{0})+cos(40^{0}-20^{0})}sin(90^{0}-10^{0})}\)
\(=\sqrt{3}\frac{(cos20^{0}-cos20^{0})cos10^{0}}{(cos60^{0}-cos20^{0})cos10^{0}}\)
\(=\sqrt{3}\frac{(cos20^{0}cos10^{0}-\frac{1}{2}cos10^{0})}{\frac{1}{2}cos10^{0}+cos20^{0}sin10^{0}}\)
\(=\sqrt{3}\frac{\frac{1}{2}{cos(20^{0}+10^{0})+cos(20^{0}-10^{0})}\frac{1}{2}cos10^{0}}{\frac{1}{2}sin10^{0}+\frac{1}{2}{sin(20^{0}+10^{0})-sin(20^{0}-10^{0})}}\)
\(=\sqrt{3}\frac{\frac{1}{2}cos30^{0}+\frac{1}{2}cos10^{0}-\frac{1}{2}cos10^{0}}{\frac{1}{2}sin10^{0}+\frac{1}{2}sin30^{0}-\frac{1}{2}sin10^{0}}\)
\(=\sqrt{3}\frac{\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}\)
= 3 = ডানপক্ষ [Proved]

ধরণ-4: দেখাও যে, tan70⁰ = tan20⁰ + 2tan50⁰

\(tan70^{0}=\frac{tan50^{0}+tan20^{0}}{1-tan50^{0}tan20^{0}}\)
\(\rightarrow tan70^{0}-tan70^{0}+tan50^{0}=tan50^{0}-tan20^{0}\)
\(\rightarrow tan70^{0}-tan(90^{0}-20^{0})tan50^{0}tan20^{0}=tan50^{0}-tan20^{0}\)
\(\rightarrow tan70^{0}-cot20^{0}tan20^{0}tan20^{0})tan50^{0}tan20^{0}=tan50^{0}-tan20^{0}\)
\(\rightarrow tan70^{0}-tan50^{0}=tan50^{0}-tan20^{0}\)
\(\rightarrow tan70^{0}=tan20^{0}+2tan50^{0}\) [Proved]

ধরণ-5: যদি sinA + cosA = sinB + cosB হয়, প্রমাণ করতে হবে যে, A + B = π/2

\(sinA + cosA = sinB + cosB \)
\(sinA – sinB = cosB – cosA\)
\(\Rightarrow 2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}=2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}\)
\(\Rightarrow cos\frac{A+B}{2}=sin\frac{A+B}{2}\)
\(\Rightarrow tan\frac{A+B}{2}=1\)
\(\Rightarrow tan\frac{A+B}{2}=tan\frac{\pi}{2}\)
\(∴ A+B=\frac{\pi}{2}\) [Proved]

ধরণ-6: প্রমাণ কর যে, \(tan\frac{45^{0}+a}{2}tan\frac{45^{0}-a}{2}=\frac{\sqrt{2}cosa-1}{\sqrt{2}cosa+1}\)

\(tan\frac{45^{0}+a}{2}tan\frac{45^{0}-a}{2}=\frac{2sin\frac{54^{0}+a}{2}sin\frac{54^{0}+a}{2}}{2cos\frac{54^{0}+a}{2}cos\frac{54^{0}-a}{2}}\)
\(=\frac{cosa-cos45^{0}}{cosa+cos45^{0}}\)
\(=\frac{cosa-\frac{1}{\sqrt{2}}}{cosa+\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\frac{\sqrt{2}cosa-1}{\sqrt{2}cosa+1}\)
\(\therefore tan\frac{45^{0}+a}{2}tan\frac{45^{0}-a}{2}=\frac{\sqrt{2}cosa-1}{\sqrt{2}cosa+1}\) [Proved]

ধরণ-7: যদি a + b = c এবং cosa = kcosb হয়, দেখাও যে, \(tan\frac{a-b}{2}=\frac{1-k}{1+k}cot\frac{c}{2}\)

\(cosa = kcosb\)
\(\Rightarrow \frac{cosa}{cosb}=\frac{k}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{cosb-cosa}{cosb+cosa}=\frac{1-k}{1+k}\)
\(\Rightarrow \frac{2sin\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}}{2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}}=\frac{1-k}{1+k}\)
\(\Rightarrow tan\frac{a+b}{2}tan\frac{a-b}{2}=\frac{1-k}{1+k}\)
\(\Rightarrow tan\frac{a-b}{2}=\frac{1-k}{1+k}\frac{1}{tan\frac{a+b}{2}}\)
\(\Rightarrow tan\frac{a-b}{2}=\frac{1-k}{1+k}\frac{1}{tan\frac{c}{2}}[a+b=c]\)
\(\therefore \Rightarrow tan\frac{a-b}{2}=\frac{1-k}{1+k}cot\frac{c}{2}\) [Proved]

যেতে যেতে আমরা অনুসিদ্ধান্তগুলোতে আরো একবার চোখ বুলিয়ে ফেলি।

এক নজরে অনুসিদ্ধান্তগুলো

1 \(sin ( A + B ) + sin ( A – B ) = 2sinA cosB \)
2 \(sin ( A + B ) – sin ( A – B ) = 2cosA sinB\)
3 \(cos ( A + B ) + cos ( A – B ) = 2cosA cosB\)
4 \(cos ( A – B ) – cos ( A + B ) = 2sinA sinB\)
5 \(sinC+sinD=2in\frac{C+D}{2}cos\frac{C-D}{2}\)
6 \(sinC-sinD=2in\frac{C+D}{2}cos\frac{C-D}{2}\)
7 \(cosC+cosD=2cos\frac{C+D}{2}cos\frac{C-D}{2}\)
8 \(cosC-cosD=2cos\frac{C+D}{2}cos\frac{C-D}{2}\)