এইচএসসি উচ্চতর গণিত

সংযুক্ত ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স (Adjoint and Inverse Matrix)

Supported by Matador Stationary

বিম্ব ম্যাট্রিক্স (Transpose Matrix)

 

এবার আসো আমরা Transpose matrix বা বিম্ব ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে জানি।তুমি যখন আয়নার সামনে দাঁড়াও,তখন তুমি তোমার নিজের প্রতিবিম্ব দেখতে পাও।এক্ষেত্রে তোমার বাম হাতকে ডান হাত মনে হয় এবং ডান হাতকে বাম হাত মনে হয়। বিম্ব ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও একই ঘটনা ঘটে।

ধরো, A =

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

একটি ম্যাট্রিক্স। এই ম্যাট্রিক্সের row ও column গুলোকে পরস্পর বিনিময় করলে অর্থাৎ row বরাবর যে উপাদানগুলো রয়েছে সেগুলোকে column এর উপাদানগুলো দ্বারা স্থান বিনিময় করলে নতুন যে ম্যাট্রিক্সটি পাওয়া যায় তাকে A ম্যাট্রিক্সটির বিম্ব ম্যাট্রিক্স বা Transpose matrix বলে। বিম্ব ম্যাট্রিক্সকে A বা AT দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
আসো এবার তাহলে আমরা A ম্যাট্রিক্সটির বিম্ব ম্যাট্রিক্স বের করি।
... AT =
$$\begin{bmatrix}1 & 4\\2 & 5\\ 3 &6\end{bmatrix}$$

 

সমকৌণিক বা অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স ( Orthogonal Matrix )

 

ধরো, A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স(অবশ্যই বর্গ ম্যাট্রিক্স হতে হবে)। A ম্যাট্রিক্সকে আমি যদি এর transpose ম্যাট্রিক্স AT দ্বারা গুণ করে একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স (I)

গুণফল হিসেবে পাই তবে A ম্যাট্রিক্সকে সমকৌণিক বা অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স বলা হবে।

যদি A AT = I অর্থাৎ AT = A-1 হয় তাহলে A একটি সমকৌণিক বা অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।

আসো একটি উদাহরণ দিয়ে আমরা ম্যাট্রিক্সটি বোঝার চেষ্টা করি।

দেওয়া আছে,
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\
{\frac{1}{{ – \sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}
\end{array}} \right]\]

তাহলে A এর রূপান্তরিত ম্যাট্রিক্স,
\[{A^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{ – \sqrt 2 }}}\\
{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}
\end{array}} \right]\]

এখন, \[A{A^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\
{\frac{1}{{ – \sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}
\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\
{\frac{1}{{ – \sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}
\end{array}} \right]\]

\[ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}&{ – \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}\\
{ – \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}&{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}
\end{array}} \right]\]

\[ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&1
\end{array}} \right]\]


= I বা I2

... AAT / AA-1 = I

... A একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।