সংযুক্ত ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স (Adjoint and Inverse Matrix)

অনুরাশি (Minor)

কোনো ম্যাট্রিক্স A এর ক্ষেত্রে এর (i,j)তম অবস্থানে উপস্থিত উপাদানের মধ্য দিয়ে যদি একটি লম্ব ও আনুভূমিক সরলরেখা টানা যায় তবে অবশিষ্ট উপাদান দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্সকে ঐ উপাদানের অনুরাশি বলে।

কি কঠিন লাগলো? আসো এখন একটি উদাহরণ দিয়ে বুঝে নেই।

ধরো,

[‘+’ চিহ্নিত অংশে ক্লিক কর!]



কত্ত সহজ না?! এবার তোমরা নিজেরা তাহলে 7 এর অনুরাশিটি বের করে ফেলো!

 

সংযুক্ত ম্যাট্রিক্স ( Adjoint Matrix)

 

সহগুণক বা Cofactor Matrix কে যদি আমরা রূপান্তরিত করি বা তার Transpose Matrix বের করি তবে নতুন যে Matrix টি পাওয়া যাবে তাকে সংযুক্ত ম্যাট্রিক্স বলে।

A একটি ম্যাট্রিক্স হলে এটির সংযুক্ত ম্যাট্রিক্সকে Adj-A দ্বারা লিখা হয়।

ধরি, A = $$\begin{bmatrix}5 & 1 & 0\\3 & 4 & 7\\ 2 & 8 & 9\end{bmatrix}$$

উপরোক্ত A ম্যাট্রিক্সটির Adjoint Matrix হবে, Adj-A =(Cof-A)T

= $$\begin{bmatrix}-20 & -9 & 7\\-13 & 45 & -35\\ 16 & -38 & 17\end{bmatrix}$$

 

বিপরীত ম্যাট্রিক্স (Inverse Matrix)

দুটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের গুণফল যদি একক (Identity) ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে তাদের একটিকে অপরটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে। যেমনঃ

ধরো, A ও B দুইটি ম্যাট্রিক্স। তাহলে AB = BA = I হলে, A,B এর অথবা B,A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ,
AB = I আবার   BA = I

...  A =  B-1  ...  B = A-1

 

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য(Properties of Inverse Matrix)

  1. কোনো ম্যাট্রিক্সকে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করলে একক ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়।অর্থাৎ AA-1 = I
  2. কোনো ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স হচ্ছে মূল ম্যাট্রিক্স।অর্থাৎ (A-1)-1 = A
  3. কোনো ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান ঐ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের উলটো মানের সমান।অর্থাৎ A-1 = 1/ |A|

 

বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের শর্তাবলি (Conditions of Finding Inverse Matrix)

 

সব ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় না।যেমন শূণ্য ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স বের করা যায় না। নিম্নোক্ত শর্তগুলোর উপর ভিত্তি করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা হয়:

 

  1. ম্যাট্রিক্সটিকে বর্গ বা Square ম্যাট্রিক্স হতে হবে
  2. ম্যাট্রিক্সটিকে Non Singular হতে হবে।অর্থাৎ ≠ 0 হবে।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের পদ্ধতি (Methods of Finding Inverse Matrix)

 

A. প্রথমে ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বের করে দেখতে হবে যে নির্ণায়কের মান অশূণ্য হয় কিনা।যদি অশূণ্য হয় তবে ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যাবে।অর্থাৎ A একটি বর্গ বা Square ম্যাট্রিক্স হলে A এর নির্ণায়ক, |A| ≠ 0 হতে হবে।

B. এবার প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের Cof-A বা সহগুণক ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করতে হবে।

C. প্রাপ্ত Cof-A ম্যাট্রিক্সের Transpose ম্যাট্রিক্স তথা Adj-A বের করতে হবে।

D. প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের উলটো মান দ্বারা Adj-A ম্যাট্রিক্সকে গুণ করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা হয়। অর্থাৎ,
\[{A^{ – 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}}.Adj – A\]

আসো এবার আমরা একটি উদাহরণ দ্বারা বিপরীত ম্যাট্রিক্স বোঝার চেষ্টা করি।
ধরো, A= $$\begin{bmatrix}4&1&-5\\-2&3&1\\3&-1&4\end{bmatrix}$$
এখানে A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।