কার্ল এবং গ্র্যাডিয়েন্ট

কার্ল এবং গ্র্যাডিয়েন্ট


এক নজরে সংজ্ঞা ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলো


গভীর রাতে এক মহাকাশযান সবার অলক্ষ্যে অবতরণ করল পৃথিবীর বুকে… সেখান থেকে বেরিয়ে এল এক নতুন ধরনের প্রাণী, আমরা যাকে বলি এলিয়েন!!! সে এসেছে পৃথিবীকে দেখতে…। সে নেমেই পড়ল ভীষণ বিপদে। পৃথিবীর তাপমাত্রা তার কাছে অনেক শীতল, এত শীতে টেকা সম্ভব না। সে দৌড়ে আশ্রয় নিল কাছের একটা পরিত্যক্ত বদ্ধঘরে।

গ্র্যাডিয়েন্ট এর আগমন

 

আশ্রয় নিলেও খুব একটা সুবিধা হল না, ঘরের তাপমাত্রাও খুব একটা উষ্ণ না। মহা মুশকিল।
কিন্তু এলিয়েন তো বুদ্ধিমান প্রাণী। সে কি আর বসে থাকে…। দ্রুত বুদ্ধি খাটিয়ে সে বের করে ফেলল এক যুগান্তকারী ফাংশন। এ এমনই এক ফাংশন যা থেকে সহজেই ঘরের তাপমাত্রা বের করা যায়। যেহেতু ঘরটি ত্রিমাত্রিক সে তিনটি চলক ব্যবহার করল ফাংশনে। ধরা যাক ফাংশনটি এরকম, T = x^2 + 3y – zx, এই ফাংশনে ঘরের যে কোন বিন্দু বসালে তাপমাত্রা বের হয়ে আসে!!
হিসাব করে সে দেখল, ঘরের মাঝের বিন্দুকে (0,0,0) ধরলে তার নিজের অবস্থান (৩,৪,৫) বিন্দুতে। তো প্রথমেই সে নিজের অবস্থানের বিন্দুটি ফাংশনে বসাল! সে তাপমাত্রা পেল ৬ ডিগ্রি সেলসিয়াস!

আরও উষ্ণ তাপমাত্রা দরকার!!
কি করা যায়! কি উপায়! ঘরে এত বিন্দু, কোন বিন্দুর জন্য সর্বোচ্চ তাপমত্রা পাওয়া যাবে কে জানে!!!
তার মনে পড়ল গ্র্যাডিয়েন্টের কথা। গ্র্যাডিয়েন্ট এমন এক জাদুকরী অপারেটর যা কি না বলে দিতে পারে একটি ফাংশনের বৃদ্ধির হার সর্বোচ্চ কোন দিকে! তাই সে দ্রুত gradient of T বের করলো।

এখন প্রশ্ন হল গ্র্যাডিয়েন্ট কিভাবে বের করে!দেখ এখানে বলা হচ্ছে যে,এলিয়েনটির জানা প্রয়োজন তাপমাত্রা বৃদ্ধির হার সর্বোচ্চ কোন দিকে। এখানে এলিয়েনের লক্ষ্য করার বিষয় ছিল-
১। বৃদ্ধির হার;
২। দিক;
এখন আমরা জানি কোন কিছুর বৃদ্ধির হার সূক্ষ্মভাবে বের করার জন্য প্রয়োজন ডিফারেন্সিয়েশান(differentiation) বা ব্যবকলনের। তো এখানে এলিয়েন এর তাপমাত্রার ফাংশান ছিল তিন চলক বিশিষ্ট কারণ ঘরটি ত্রিমাত্রিক! তাই তাকে অবশ্যই তিন অক্ষ বরাবর ডিফারেন্সিয়েশান করতে হবে।
বাকি রয়ে গেল দিকের বিষয়টি। তাপমাত্রা স্কেলার রাশি তাহলে তাপমাত্রার ফাংশানও স্কেলার রাশি। তাহলে স্কেলার রাশিকে কিভাবে ভেক্টর রাশিতে পরিণত করা যায়?
খুব সহজেই বন্ধুরা! স্কেলার রাশিকে একটা ভেক্টর রাশি দিয়ে গুন করলেই ফলাফলে আমরা ভেক্টর রাশি পাই। তাহলে যদি আমরা এমন একটা ভেক্টর ডিফারেন্সিয়েশাল অপারেটর দিয়ে তাপমাত্রার ফাংশানটিকে গুন করি, তবে আমরা একই সাথে ডিফারেন্সিয়েশানও করতে পারব আবার ভেক্টর রাশিও পেয়ে যাবো। এরকম একটা অপারেটর হল নাবলা। এইভাবে একটি স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে পরিণত করার পুরো প্রক্রিয়াটি হল গ্র্যাডিয়েন্ট।
এলিয়েনের গ্র্যাডিয়েন্ট ব্যবহারের কারণ আশা করি আমরা বুঝতে পেরেছি!