উচ্চতর গণিত সূত্র বই – ১ম পত্র

উচ্চতর গণিত সূত্র বই

১ম পত্র

চ্যাপ্টারের নামের নিচের Eye Icon এ ক্লিক করলেই পেয়ে যাবে সূত্র! Left, Right Icon এ ক্লিক করলে আগে পরের চ্যাপ্টারগুলোও পেয়ে যাবে!

যে যে চ্যাপ্টারের সূত্র পাবে:
১) ত্রিকোণমিতি
২) অন্তরীকরণ
৩) যোগজীকরণ
৪) সরলরেখা
৫) বৃত্ত

iPhone

iPhone app preview

৭ম অধ্যায় ত্রিকোণমিতি

iPad Mini

iPad Mini app preview

৯ম অধ্যায়অন্তরীকরণ

MacBook

MacBook app preview

১০ অধ্যায়যোগজীকরণ

iMac

iMac app preview

৩য় অধ্যায়সরলরেখা

Apple Watch

Apple Watch app preview

৪র্থ অধ্যায়বৃত্ত

৭ম অধ্যায়

ত্রিকোণমিতি

$$\eqalign{
& 1) \sin (A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B \cr
& 2) \sin (A – B) = \sin A\cos B – \cos A\sin B \cr
& 3) \cos (A + B) = \cos A\cos B – \sin A\sin B \cr
& 4) \cos (A – B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B \cr
& 5) \tan (A + B) = {{\tan A + \tan B} \over {1 – \tan A\tan B}} \cr \cr
& 6) \tan (A – B) = {{\tan A – \tan B} \over {1 + \tan A\tan B}} \cr \cr
& 7) 2\sin A\cos B = \sin (A + B) + \sin (A – B) \cr
& 8) 2\cos A\sin B = \sin (A + B) – \sin (A – B) \cr
& 9) 2\cos A\cos B = \cos (A + B) + \cos (A – B) \cr
& 10) 2\sin A\sin B = \cos (A – B) – \cos (A + B) \cr \cr
& 11) \sin C + \sin D = 2\sin {{C + D} \over 2}\cos {{C – D} \over 2} \cr \cr
& 12) \sin C – \sin D = 2\cos {{C + D} \over 2}\sin {{C – D} \over 2} \cr \cr
& 13) \cos C + \cos D = 2\cos {{C + D} \over 2}\cos {{C – D} \over 2} \cr \cr
& 14) \cos C – \cos D = 2\sin {{C + D} \over 2}\sin {{D – C} \over 2} \cr \cr
& 15) \sin 2A = 2\sin A\cos A \cr
& 16)\sin A = 2\sin {A \over 2}\cos {A \over 2} \cr
& 17) \sin 2A = {{2\tan A} \over {1 + {{\tan }^2}A}} \cr
& 18) \cos 2A = {\cos ^2}A – {\sin ^2}A \cr
& 19) \cos 2A = 1 – 2{\sin ^2}A \cr
& 20) \cos 2A = 2{\cos ^2}A – 1 \cr
& 21)\cos 2A = {{1 – {{\tan }^2}A} \over {1 + {{\tan }^2}A}} \cr \cr
& 22)2{\cos ^2}A = 1 + \cos 2A \cr
& 23)2{\sin ^2}A = 1 – \cos 2A \cr
& 24)\tan 2A = {{2\tan A} \over {1 – {{\tan }^2}A}} \cr \cr
& 25)\sin 3A = 3\sin A – 4{\sin ^3}A \cr
& 26)\cos 3A = 4{\cos ^3}A – 3\cos A \cr
& 27) {a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = 2R \cr
& 28)\cos A = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {2bc}} \cr
& 29)\cos B = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {2ca}} \cr
& 30)\cos C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {2ab}} \cr
& 31)a\cos B + b\cos A = c \cr
& 32)b\cos C + c\cos A = a \cr
& 33)c\cos A + a\cos B = b \cr
& 34) Area = \sqrt {s(s – a)(s – b)(s – c)} \cr
& 35) Range,2s = a + b + c \cr} $$

৯ম অধ্যায়

অন্তরীকরণ

$$\eqalign{
& 1) {d \over {dx}}({x^n}) = n{x^{n – 1}} \cr
& 2) {d \over {dx}}(x) = 1, {d \over {dx}}(c) = 0 \cr
& 3) {d \over {dx}}(\ln x) = {1 \over x}, x > 0 \cr
& 4) {d \over {dx}}({e^x}) = {e^x}, {d \over {dx}}({e^{mx}}) = m{e^{mx}} \cr
& 5) {d \over {dx}}({a^x}) = {a^x}\ln a \cr
& 6) {d \over {dx}}(\sin x) = \cos x \cr
& 7) {d \over {dx}}(\cos x) = – \sin x \cr
& 8) {d \over {dx}}(\tan x) = {\sec ^2}x \cr
& 9) {d \over {dx}}(\cot x) = – \cos e{c^2}x \cr
& 10) {d \over {dx}}(\sec x) = \sec x\tan x \cr
& 11) {d \over {dx}}(\cos ecx) = – \cos ecx\cot x \cr
& 12) {d \over {dx}}({\sin ^{ – 1}}x) = {1 \over {\sqrt {1 – {x^2}} }} \cr
& 13) {d \over {dx}}({\cos ^{ – 1}}x) = – {1 \over {\sqrt {1 – {x^2}} }} \cr
& 14) {d \over {dx}}({\tan ^{ – 1}}x) = {1 \over {1 + {x^2}}} \cr
& 15) {d \over {dx}}({\cot ^{ – 1}}x) = – {1 \over {1 + x2}} \cr
& 16) {d \over {dx}}({\sec ^{ – 1}}x) = {1 \over {x\sqrt {{x^2} – 1} }} \cr
& 17) {d \over {dx}}(co{\sec ^{ – 1}}x) = – {1 \over {x\sqrt {{x^2} – 1} }} \cr
& 18) {d \over {dx}}(\sqrt x ) = {1 \over {2\sqrt x }} \cr
& 19) {d \over {dx}}(\log {a^x}) = {1 \over x}\log {a^e} \cr
& 20) {d \over {dx}}(uv) = u{d \over {dx}}(v) + v{d \over {dx}}(u) \cr
& 21) {d \over {dx}}({u \over v}) = {{v{d \over {dx}}(u) – u{d \over {dx}}(v)} \over {{v^2}}} \cr
& \cr} $$

১০ম অধ্যায়

যোগজীকরণ

$$\eqalign{
& 1) \int {{x^n}} dx = {{{x^{n + 1}}} \over {n + 1}} + c \cr
& 2) \int x dx = x + c \cr
& 3) \int {{{dx} \over x}} = \ln x + c \cr
& 4) \int {{e^2}} dx = {e^2} + c \cr
& 5) \int {{e^{mx}}} dx = {1 \over m}{e^{mx}} + c \cr
& 6) \int {{a^x}} dx = {{{a^x}} \over {\ln a}} + c \cr
& 7) \int {\sin x} dx = – \cos x + c \cr
& 8) \int {\cos x} dx = \sin x + c \cr
& 9) \int {{{\sec }^2}x} dx = \tan x + c \cr
& 10) \int {\cos e{c^2}} xdx = – \cot x + c \cr
& 11) \int {\sec x\tan x} dx = \sec x + c \cr
& 12) \int {\cos ecx\cot x} dx = – \cos ecx + c \cr
& 13)\int {{1 \over {\sqrt {1 – {x^2}} }}} dx = {\sin ^{ – 1}}x + c \cr
& 14)\int { – {1 \over {\sqrt {1 – {x^2}} }}} dx = {\cos ^{ – 1}}x + c \cr
& 15)\int {{1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}} dx = {\tan ^{ – 1}}x + c \cr
& 16)\int { – {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}} dx = {\cot ^{ – 1}}x + c \cr
& 17)\int {{1 \over {x\sqrt {{x^2} – 1} }}} dx = {\sec ^{ – 1}}x + c \cr
& 18)\int { – {1 \over {x\sqrt {{x^2} – 1} }}} dx = \cos e{c^{ – 1}}x + c \cr
& 19)\int { – {1 \over {\sqrt x }}} dx = – 2\sqrt x + c \cr
& 20)\int {uvdx = u} \int {vdx} – \{ {{du} \over {dx}}\int {vdx\} dx} \cr
& 21)\int {{{dx} \over {\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}} = {\sin ^{ – 1}}{x \over a} + c \cr
& 22)\int {{{dx} \over {\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} = {1 \over a}{\tan ^{ – 1}}{x \over a} + c \cr
& 23)\int {{{dx} \over {\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}} = {1 \over {2a}}\ln \left| {{{a + x} \over {a – x}}} \right| + c \cr
& 24)\int {{{dx} \over {\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} = {1 \over {2a}}\ln \left| {{{x – a} \over {x + a}}} \right| + c \cr} $$

৩য় অধ্যায়

সরলরেখা

প্রশ্নমালা ৩.১

১। কার্তেসীয় স্থানাংক (x,y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক (r, θ) হলে, x= rcosθ, y= rsinθ
মডুলাস, $$r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $$
আর্গুমেন্ট, $$\tan \theta = {y \over x}$$
২। A(x1,y1) ও B(x2,y2) বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব, AB = $$\sqrt {{{({x_1} – {x_2})}^2} + {{({y_1} – {y_2})}^2}} $$

৩। বর্গ হওয়ার শর্ত – বাহুগুলি এবং কর্ণদ্বয় সমান।
৪। আয়ত হওয়ার শর্ত – বিপরীত বাহু এবং কর্ণদ্বয় সমান।
৫। রম্বস হওয়ার শর্ত – বাহুগুলি সমান কিন্তু কর্ণদ্বয় অসমান।
৬। সামান্তরিক হওয়ার শর্ত – বিপরীত বাহু সমান কিন্তু কর্ণদ্বয় অসমান।
৭। x অক্ষ থেকে যে কোন বিন্দুর দূরত্ব = বিন্দুটির কোটি যেমন, x অক্ষ থেকে (a,b) বিন্দুর দূরত্ব = b
৮। y অক্ষ থেকে যে কোন বিন্দুর দূরত্ব = বিন্দুটির ভূজ যেমন, y অক্ষ থেকে (a,b) বিন্দুর দূরত্ব = a
৯। x অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোন বিন্দুর কোটি শূন্য।
১০। y অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোন বিন্দুর ভূজ শূন্য।

প্রশ্নমালা ৩.২

১। A (x1,y1) ও B (x2,y2) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক = $$\left( {{{{x_1} + {x_2}} \over 2},{{{y_1} + {y_2}} \over 2}} \right)$$

২। A (x1,y1) ও B (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে (x,y) বিন্দুটি (m1,m2) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে, $$x = {{{m_1}{x_2} + {m_2}{x_1}} \over {{m_1} + {m_2}}}$$ এবং $$y = {{{m_1}{y_2} + {m_2}{y_1}} \over {{m_1} + {m_2}}}$$

৩। A (x1,y1) ও B (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে (x,y) বিন্দুটি (m1,m2) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করলে, $$x = {{{m_1}{x_2} – {m_2}{x_1}} \over {{m_1} – {m_2}}}$$ এবং $$y = {{{m_1}{y_2} – {m_2}{y_1}} \over {{m_1} – {m_2}}}$$

৪। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু (x1,y1) (x2,y2) এবং (x3,y3) হলে, ভরকেন্দ্রের স্থানাংক =
$$\left( {{{{x_1} + {x_2}+{x_3}} \over 3},{{{y_1} + {y_2}+{y_3}} \over 3}} \right)$$

প্রশ্নমালা ৩.৩

১। ‍A (x1,y1), B (x2,y2) এবং C (x3,y3) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =
$${1 \over 2}\left| {\matrix{
{{x_1}} & {{y_1}} & 1 \cr
{{x_2}} & {{y_2}} & 1 \cr
{{x_3}} & {{y_3}} & 1 \cr
} } \right|$$

২। A,B,C বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, ∆ABC ক্ষেত্রফল শূন্য হবে। সুতরাং (x1,y1), (x2,y2) এবং (x3,y3) বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে যদি
$$\left| {\matrix{
{{x_1}} & {{y_1}} & 1 \cr
{{x_2}} & {{y_2}} & 1 \cr
{{x_3}} & {{y_3}} & 1 \cr
} } \right| = 0 $$ হয়।

প্রশ্নমালা ৩.৬

১। a1x + b1y + c1= 0 এবং a2x + b2y + c2= 0 সমীকরণদ্বয় একই সরলরেখা নির্দেশ করলে উহাদের অনুরুপ সহগগুলোর অনুপাত সমান হবে। সুতরাং,
$${{{a_1}} \over {{a_2}}} = {{{b_1}} \over {{b_2}}} = {{{c_1}} \over {{c_2}}}$$

২। (x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক, $$\left( {{{{x_1} + {x_2}} \over 2},{{{y_1} + {y_2}} \over 2}} \right)$$

৩। x ও y অক্ষকে ছেদকারী সরলরেখার সমীকরণ, $${x \over a} + {y \over b} = 1$$
এখানে, সমীকরণটি x অক্ষকে (a, 0) বিন্দুতে ও y অক্ষকে (0, b) বিন্দুতে ছেদ করে। x অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমান = a, y অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ = b

৪। ax+by+c= 0 রেখার ঢাল = $${{ – a} \over b}$$
৫। (x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের ঢাল, m = $${{{y_1} + {y_2}} \over {{x_1} + {x_2}}}$$
৬। মুলবিন্দু থেকে কোন রেখার উপর লম্ব-দূরত্ব = p এবং উক্ত লম্বটি x অক্ষের সাথে α কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ, xcosα + ysinα = p

প্রশ্নমালা ৩.৭

১। ax+by+c = 0 এর সমান্তরাল রেখার সমীকরণ, ax+by+k = 0

২। ax+by+c = 0 এর লম্ব রেখার সমীকরণ, bx+ay+k = 0
∴ লম্ব রেখার সমীকরণ = x এর সহগ y-এ এবং y এর সহগ x-এ এবং মাঝের চিহ্ন পরিবর্তন হবে। শেষে k যোগ হবে।

৩। y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, x = a
৪। x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, y = b
৫। y = m1x+c1 ও y = m2x+c2 রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে, $$\tan \theta = \pm {{{m_1} – {m_2}} \over {1 – {m_1}{m_2}}}$$

৬। m ঢালবিশিষ্ট ও (x1, y1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, x1 – y1 = m(x-x1)
৭। দুইটি রেখা পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি m1= m2 হয়।
৮। দুইটি রেখা পরস্পর লম্ব হবে যদি m1 × m2 = -1 হয়।

৯) a1x + b1y + c1= 0, a2x + b2y + c2= 0 এবং a3x + b3y + c3= 0 সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু হলে,
$$\left| {\matrix{
{{x_1}} & {{y_1}} & {{c_1}} \cr
{{x_2}} & {{y_2}} & {{c_2}} \cr
{{x_3}} & {{y_3}} & {{c_3}} \cr
} } \right| = 0 $$

প্রশ্নমালা ৩.৮

১। ax+by+c1 = 0, ax+by+c2 = 0 সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব =
$$\left| {{{{c_1} – {c_2}} \over {\sqrt {{a^2} – {b^2}} }}} \right|$$

২। (x1, y1) বিন্দু থেকে ax+by+c = 0 রেখার উপর অংকিত লম্ব দূরত্ব =
$$\left| {{{a{x_1} – b{y_2} + c} \over {\sqrt {{a^2} – {b^2}} }}} \right|$$

৩। a1x+b1y+c1 = 0, a2x+b2y+c2 = 0 রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভূক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ =
$${{{a_1}x – {b_1}y + {c_1}} \over {\sqrt {a_1^2 + b_1^2} }} = \pm {{{a_2}x – {b_2}y + {c_2}} \over {\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$$

৪র্থ অধ্যায়

বৃত্ত

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণঃ x2 + y2 + 2gx + 2fy +c = 0
কেন্দ্রের স্থানাংক (-g, -f), ব্যাসার্ধ r = $$\sqrt {{g^2} + {f^2} + c} $$
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণঃ (h-k)2 + (y-k) 2 = r2
কেন্দ্রের স্থানাংক (h, k), ব্যাসার্ধ r
প্রয়োগ ক্ষেত্র প্রয়োগ ক্ষেত্র
কোন বিন্দু দিয়ে গেলে বা বিন্দুর উপর অবস্থিত হলে। কেন্দ্রের স্থানাংক বা ব্যাসার্ধ যেকোন একটি বা উভয়টি দেওয়া থাকলে
বৃত্তের কেন্দ্র x অক্ষের উপর অবস্থিত হলে f=0 এবং বৃত্তের কেন্দ্র y অক্ষের উপর অবস্থিত হলে g=0 x বা y অক্ষকে স্পর্শ করলে:
x অক্ষকে স্পর্শ করলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রের কোটি। অতএব, বৃত্তের সমীকরণ, (h-k)2 + (y-k) 2 = k2
y অক্ষকে স্পর্শ করলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রের ভূজ। অতএব, বৃত্তের সমীকরণ, (h-k)2 + (y-k) 2 = h2
নির্দিষ্ট পরিমাণ জ্যা খন্ডিত হলে:
x অক্ষের খন্ডিতাংশ = $$2\sqrt {{g^2} – c} $$
y অক্ষের খন্ডিতাংশ = $$2\sqrt {{f^2} – c} $$

১। দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করার শর্ত:
মনে করি, বৃত্ত দুটির কেন্দ্র C1 ও C2 এবং ব্যাসার্ধ দুইটি যথাক্রমে r1 ও r2. অতএব, কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = C1 C2.

i) দুইটি বৃত্ত বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে C1 C2 = r1 + r2 অর্থাৎ কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = এদের ব্যাসার্ধের সমষ্টি।
ii) দুইটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে C1 C2 = r1 – r2 (r1 > r2) অর্থাৎ কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = এদের ব্যাসার্ধের বিয়োগফল।
iii) দুইটি বৃত্ত স্পর্শ করলে (বহিঃস্থ বা অন্তঃস্থভাবে এর কোনটাই উল্লেখ করা না হলে) C1 C2 = r1 ± r2 (r1 > r2) অর্থাৎ কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = এদের ব্যাসার্ধের বিয়োগফল।

২। (x1,y1) এবং (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ, (x-x1) (x-x2) + (y-y1) (y-y2) = 0
৩। y = mx+c সরল রেখাটি x2 + y2 = a2 বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত: $$c = \pm a\sqrt {1 – {m^2}} $$

৪। x2 + y2 = a2 বৃত্তের উপস্থিতিতে (x1,y1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, xx1 + yy1 = a2 এবং স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = $$\sqrt {x_1^2 + y_1^2 – {a^2}} $$

৫। x2 + y2 + 2gx + 2fy +c = 0 বৃত্তের উপস্থিতিতে (x1,y1) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, xx1 + yy1 = g(x+x1) + f(y+y1) + c = 0
অভিলম্বের সমীকরণ, (x1+g)y -(y1+f)x +fx1-gy1=0 এবং স্পর্শকের দৈর্ঘ্য =
$$\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + 2g{x_1} + 2f{y_1} + c} $$