Uncategorized

অসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি, অসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতির convergence

Supported by Matador Stationary

বিস্তৃতির কিছু ধারণা

কোনো দ্বিপদী রাশিকে বিস্তৃত করলে যে পদগুলো পাওয়া যায়, তার প্রতিটিকেই একেকটা সাধারণ পদ বলা হয়।

একটি দ্বিপদী রাশিকে বিস্তৃত করলে এর মাঝের পদটি/পদগুলোকেই বলা হয়ে থাকে মধ্যপদ ।

কোনো অসীম ধারার n সংখ্যক পদের যোগফলের সীমাস্থ মান একটি সসীম সংখ্যার সমান হলে সেই, ধারাটিকে অভিসৃত ধারা বলে \([ n \rightarrow ∝]\)

অসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি

কথিকা বিস্তৃতির সাধারণ পদ ও মধ্যপদ স্মার্ট বুকটি পড়ে সাধারণ পদমধ্যপদ ভালোই আয়ত্ত করেছে। তাকে কেউ যদি বলে, (1+x)20 কে বিস্তৃত করে বের করে দাও, সে তাও বের করে দিতে পারবে এখন।
সে এখন জানে,
\( (a+x)^{n} = ^{n}C_{0} a^{n} + ^{n}C_{1} a^{n-1} x + ^{n}C_{2} a^{n-2} x^{2} + …… + ^nC_{r} a^{n-r} x^{r} +….. + ^nC_{r} x^{n}\)

কিন্তু তাকে আটকাতে পারলে বেশ মজাই লাগে। তো আমি জিজ্ঞেস করলাম, (1+x)-1 এর বিস্তৃতি করলে কী পাবো আমরা? তাকে বেশ চিন্তিত দেখালো এবারে। ধনাত্মক ঘাত থাকলে না হয় আমরা একটা দ্বিপদী রাশিকে বিস্তৃত করে দেখাতে পারি, কিন্তু ঋণাত্মক কিংবা যেকোনো মূলদ ভগ্নাংশ ঘাতের ক্ষেত্রে আমরা কী করবো? তখন আসলে বিস্তৃতি হবে ঠিকই, কিন্তু সেটা হবে অসীম

এর কারণটা কি বলতে পারবে তোমরা? সূত্রটা আবারও লক্ষ্য করো।
\((a+x)^{n} = ^nC_{0} a^{n} + ^{n}C_{1} a^{n-1} x + ^{n}C_{2} a^{n-2} x^2 + …… + ^{n}C_{r} a^{n-r} x^{r} +….. + ^{n}C_{r} x^{n}\)
যখন n ধনাত্মক সংখ্যা,
এখানে সাধারণ পদ, \(t_{(r+1)} = ^{n}C_{r} a^{n-r} x^{r}\)
\(=\frac {n(n-1) (n-2) …….. (n – r +1)}{r!}\)
যদি r = n হয়, \(t_{(n+1)}= \frac{n(n-1) (n-2) …….. 3.2.1}{n!}= \frac{n!}{n!} = 1\)
যদি r = n + 1 হয়, \(t_{n+2}= \frac {(n + 1) (n + 1 – 1) (n + 1 -2) …….. 3.2.1.0}{(n+1)!}= 0\)

অর্থাৎ, r > n হলে সাধারণ পদের সহগের লবের উৎপাদকগুলির একটি উৎপাদক শূন্য হবে। সুতরাং বিস্তৃতিতে (n+1) তম অদের পরে কোনো পদ থাকে না। কাজেই এখানে পদের সংখ্যা সসীম।

কিন্তু ঋণাত্মক কিংবা মূলদ ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, r এর এমন কোনো মান পাওয়া দায়, যার জন্য সাধারণ পদের সহগের লবের উৎপাদকগুলির কোনো উৎপাদক শূন্য হয়, সেজন্য তা অসীম পর্যন্ত গড়ায়। এক্ষেত্রে,

\((1+x)^{-n} = 1+ (-n)(-x) +\frac{(-n) (-n-1)}{2!}(-x)^{2} +\frac{(-n) (-n-1) (-n-2)}{3!}(-x)^{3} +……… +\)
\(\frac{-n(-n-1) (-n-2) ……..(-n – r +1)}{r!}(-x)^{r} + ……….\)
\(= 1 + nx +\frac{n(n+1)}{2!}x^{2} +…….. +\frac{n(n+1) (n+2) ……..(n + r -1)}{r!}x^{r} + ……….\)

একইভাবে,
\((1+x)^{-n} = = 1 – nx +\frac{n(n+1)}{2!}x^{2} +…….. + (-1)^{r}\frac{n(n+1) (n+2) ……..(n + r -1)}{r!}x^{r} + ……….\)

আমরা এখান থেকে বেশকিছু প্রয়োজনীয় সূত্র পেতে পারি, যেগুলো আমাদের মনে রাখা জরুরী।
\((1 – x)^{-1} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ………+ x^{r} + ……\)
\((1 + x)^{-1} = 1 – x + x^{2} – x^{3} + ….…+ (-1)^{r} x^{r} + ……\)
\((1 – x)^{-2} = 1 + 2^{x} + 3x^{2} + 4x^{3} + …… + (r + 1)x^{r} + ……\)
\((1 + x)^{-2} = 1 – 2x + 3x^{2} – 4x^{3} + ……+ (-1)^{r} (r+1)x^{r} + …..\)
\((1 – x)^{-3} = 1 + 3x + 6x^{2} + 10x^{3} + …….+ \frac{1}{x}(r + 1) (r + 2) x^{r} + ……\)

ধরণ-1: যদি |x| < 8 হয়, তবে \((1 – \frac{x}{8})^\frac{1}{2}\) কে x এর শক্তির ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর। দেখাও যে, \( 1 – \frac{1}{8}-\frac{ 1}{8}.\frac{1}{16}-\frac {1}{8}.\frac{1}{16}.\frac{1}{24}- …… = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
সমাধান:

|x| < 8 \(\Rightarrow |\frac{x}{8}| < 1\) দ্বিপদী বিস্তারের সূত্র থেকে আমরা পাই, \((1 - \frac{x}{8})^\frac{1}{2} = 1 +\frac{1}{2}(-x^{8}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)}{2!} (\frac{-x}{8})^{2} +\frac{1}{2}(\frac{-x}{8}) +\frac{ \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2)}{3!} (\frac{-x}{8})^{3} + \) \(\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2)(\frac{1}{2} - 3)}{4!} (\frac{-x}{8})^4 + …….\) \(= 1 - \frac{1}{2}.\frac{x}{8}- \frac{1}{2^{2}\times2}.\frac{x^{2}}{8\times8}- \frac {3}{2^{3}\times3\times2}.\frac{x^{3}}{8\times8\times8}- \frac{1.3.5}{2^{4}\times4\times3\times2}.\frac{x^{4}}{8\times8\times8\times8}- ……\) \(= 1-\frac {1}{8}.\frac{x}{2}-\frac{1}{8}.\frac{1}{16}(\frac{x}{2})^{2}- \frac{1}{8}.\frac{1}{16}.\frac{3}{24}(\frac{x}{2})^{3}-\frac {1}{8}.\frac{1}{16}.\frac{3}{24}.\frac{5}{32}(\frac{x}{2})^{4}- ……\) যদি x = 2 হয়, \(1 \frac{1}{8}\frac {1}{8}.\frac{1}{16}-\frac {1}{8}.\frac{1}{16}.\frac{1}{24}- \frac{1}{8}.\frac{1}{16}.\frac{1}{24}.\frac{1}{32}- ……\) \(= ( 1 - 28)^{\frac{1}{2}} \) \(= (68)^{\frac{1}{2}}\) \(= 32\) (Ans.)


ধরণ-2: দেখাও যে, (1 – 4x)½ এর বিস্তৃতিতে xʳ এর সহগ \(\frac{(2r)!}{(r!)}2[ |x| <1 ]\) সমাধান:

আমরা জানি, \(T_{(r+1 )} = ^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}\)
\(=\frac {(2r)!}{(r!)^{2}}\)
\(= \frac{-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)…..\left\{{-\frac{1}{2}-(r-1)}\right\}} {r!}(-4x)^{r}\)
\(=(-1)^{r} \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}+2)…..(\frac{1}{2}+r-1)}{r!}(-1)^{r} . 4^{r} . x^{r}\)
\(=(-1)^{2r} \frac{\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.\frac{5}{2}…..\frac{2r-1}{2}}{r!} 2^{2r} . x^{r}\)
\(=\frac{(1.3.5…..2r-1)2^{r}}{ r!}.x^{r} [ (-1)^{2r} =1, 2r=\) জোড়সংখ্যা]
\(=\frac{ (1.3.5…..2r-1). (2.4.6.8…..2r).2^{r}}{(2.4.6.8…..2r) . r!}.x^{r}\)
[ লব ও হরকে (2.4.6.8…..2r) দ্বারা গুণ করে]
\(= \frac{\left\{(1.2.3.4.5.6…..(2r-1).2r\right\}.2^{r}}{\left\{(1\times2).(2\times2).(3\times2).(4\times2)…..2\times r \right\} . r!}.x^{r}\)
\(= \frac{\left\{(1.2.3.4.5.6…..(2r-1).2^{r}\right\}.2r}{\left\{1.2.3.4…..r\right\} .2^{r}. r!}.x^{r}\)
\(=\frac{(2r)!.2^{r}} {r! .2^{r}. r!}.x^{r}\)
\(= \frac{(2r)!}{(r!)^{2}}.x^{r}\)

∴ xʳ এর সহগ \(\frac{(2r)!}{(r!)^{2}}\) [Showed]


ধরণ-3: \( \frac{1+x}{1-x} \) এর বিস্তৃতি থেকে x⁹ এর সহগ নির্ণয় কর।
সমাধান:

\(\frac {1 + x}{1 – x}= (1+x) (1-x)^{-1}\)
\(= (1+x) \left\{ 1 + (-1) (-x) + \frac{-1(-1-1)}{2!}. (-x)^{2} +\frac{ -1(-1-1)(-1-2)}{3!}. (-x)^{3} + ……\right\}\)
\(= (1+x) (1+x+x^{2}+x^{3}+ ……..+x^{8}+x^{9}+…….)\)
\(=1(1+x+x^{2}+x^{3}+……x^{8}+x^{9}+x^{10}+…….) + x(1+x+x^{2}+x^{3}+……x^{8}+x^{9}+x^{10}+…….)\)
\(= (1+x+x^{2}+x^{3}+……x^{8}+x^{9}+x^{10}+…….) + (x+x^{2}+x^{3}+……x^{8}+x^{9}+x^{10}+…….)\)

এখানে, দুইটি x⁹ দেখা যাচ্ছে, এর আগে বা পরে আর x⁹ পাওয়ার সম্ভাবনা নেই। অর্থাৎ, x⁹ এর সহগ = 2 (Ans.)

অসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতির অভিসৃতি

কথিকাকে এবার অসীম ধারাটি পুনরায় দেখতে বললাম। সে জানে না, ধারার অভিসৃতি কাকে বলে। ধারাটিকে যদি আমরা এরকম মনে করি, u₁ + u₂ + u₃ + …… + uᵣ + …… + ∝, তবে এটি অভিসৃত হবে তখনই, যখন ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফলের সীমাস্থ মান একটি সসীম সংখ্যার সমান হবে।

অবশ্য আমরা কিন্তু অনেক সহজেই বের করে ফেলতে পারি, একটি ধারা অভিসৃত কিনা। অনুপাতের মাধ্যমে।
যদি \( \frac {u_{n+1}} {u_n} = a \) হয়, তবে তা অভিসৃত ধারা। তবে a<1 হতে হবে বটে।


এ বিষয়ক দুটো গাণিতিক সমস্যা সমাধান করলে বিষয়টা আরো পরিষ্কার হবে তোমাদের।


ধরণ-4: যদি ।x। < 1 হয়, প্রমাণ কর যে, (1+x)½ বিস্তার করে একটি অভিসৃত দ্বিপদী ধারা পাওয়া যায়। সমাধানঃ

দ্বিপদী বিস্তারের সূত্র থেকে আমরা পাই,
\( (1+x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}+ \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} – 1)}{2!}x^{2} + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} – 1) (\frac{1}{2} – 2)}{3!}x^{3} + …… \)
এভাবে আমরা \( 1 + \frac{1}{2}+ \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} – 1)}{2!}x^{2} + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} – 1) (\frac{1}{2} – 2)}{3!}x^{3} + …… \) অসীম ধারাটি পাই।
ধরি, r → ∝ এবং uᵣ ও uᵣ₊₁ যথাক্রমে ধারাটির r-তম ও (r+1)-তম পদ।
\(∴ u_{r} = \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} – 1) (\frac{1}{2} – 2)…..(\frac{1}{2} – r + 2)}{(r – 1)!} x^{r+1} \)
এবং \( u_{r+1} =\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} – 1) (\frac{1}{2} – 2)…..(\frac{1}{2} – r + 1)}{r!}x^{r} \)
এখন,
\( \frac{u_{r+1}}{u_{r}} = \frac{\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} – 1) (\frac{1}{2} – 2)…..(\frac{1}{2} – r + 1)}{r!}x^{r}} {\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} – 1) (\frac{1}{2} – 2)…..(\frac{1}{2} – r + 2)}{(r – 1)!} x^{r+1}} \)
\( = \frac{(\frac{1}{2} – r + 1) (r -1)!}{r!}x \)
\( = \frac {\frac{3}{2} – r}{r} x \)
\( ∴ \lim_{r\rightarrow∝} \frac {u_ {r+1}} {u_{r}} = -x < 1 \) সুতরাং প্রদত্ত ধারাটি অভিসৃত। [Proved]



ধরণ-5: y = x – x² + x³ – x⁴ + …… হলে, দেখাও যে, x = y + y² + y³ + y⁴ + …….
সমাধানঃ

এখানে, \(y = x – x^{2} + x^{3} – x^{4} + ………\)
\(\Rightarrow -y = -x + x^{2} – x^{3} + x^{4} – ………\)
\(\Rightarrow 1-y = 1 – x + x^{2} – x^{3} + x^{4} – ………\)
\(\Rightarrow 1-y = (1+x)^{-1}\)
\(\Rightarrow 1-y = \frac {1}{1+x}\)
\(\Rightarrow 1+x = \frac {1}{1-y}\)
\(\Rightarrow 1+x= (1-y)^{-1}\)
\(\Rightarrow 1+x = 1 + y + y^{2} + y^{3} + y^{4} + …….\)
\(∴ x = y + y^{2} + y^{3} + y^{4} + …….\) [Showed]


আশা করি, অসীম ধারা সম্পর্কে বেশ ভালো একটি ধারণা পেয়ে গিয়েছো তোমরা। আমরা পরের স্মার্ট বুকে দেখবো, ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে কীভাবে অসীম ধারা প্রকাশ করা যায়। শেষ করবো সমষ্টি নির্ণয় করার একটি গাণিতিক সমস্যা দিয়ে।


ধরণ-6: সমষ্টি নির্ণয় করঃ \( 1 \frac {1}{5}+ \frac {1.4} {5.10} \frac {1.4.7} {5.10.15}+ …… \)
সমাধানঃ

ধরি, \(1 \frac {1}{5}+ \frac {1.4}{5.10} \frac {1.4.7}{5.10.15}+ …… = (1+x)^{n}\)
আমরা জানি,
\( (1+x)^{n} = 1 + nx + \frac {n(n-1)}{2!}x^{2} + ……… \)
এই সমীকরণের সাথে প্রদত্ত ধারার সাথে আমরা মিলিয়ে পাই,
\( nx = -\frac{1}{5} n^{2}x^{2} =\frac {1}{25} \)
এবং \( \frac{n(n-1)}{2!}x^{2} = \frac {1.4}{5.10} \)
\(\frac{\frac{{ n(n-1)}}{2!}x^{2}}{{n^{2}x^{2}}}=\frac{ \frac{1.4}{5.10}}{\frac{1}{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{n-1}{2n} = 2\)
\(\Rightarrow 4n = n – 1\)
\(\Rightarrow 3n= -1\)
\(∴ n = – \frac{1}{3}\)
এখন,
\(nx = -\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow – \frac{1}{3}x = -\frac{1}{5}\)
\(∴ x =\frac{3}{5}\)

∴ সমষ্টি \(= (1 + x)^{n} = (1 + \frac{ 3}{5})- \frac{1}{3}\)
\(= \frac{\sqrt[3]{5}}{2}\)