Uncategorized

ডি- মরগানের উপপাদ্য (De-Morgan’s Theorem)

Supported by Matador Stationary

আমরা মি. জর্জ বুল এর বুলিয়ান বীজগণিত সম্পর্কে শুনেছি বা জেনেছি। যা আসলে লজিক এর সত্য ও মিথ্যা; কেবলমাত্র এই দুটি স্তরের উপর ভিত্তি করেই তৈরি করা হয়েছে। লজিক সত্য হলে বাইনারি সংখ্যায় এর মান হবে 1 আর মিথ্যা হলে 0 হবে। বুলিয়ান বীজগণিতের সমস্ত কাজ শুধুমাত্র বুলিয়ান যোগ ও বুলিয়ান গুন এর সাহায্যে করা হয়। আর এই যোগ ও গুনের উপর ভিত্তি করেই OR, AND, NOT নামের তিনটি Logical Operation এর সাথে পরিচয় করানো হয়েছে।

ফরাসি গণিতবিদ ডি-মরগান এই বুলিয়ান বীজগণিত নিয়ে কাজ করে তিনি বুঝতে পারলেন এর ভবিষ্যৎ সম্ভাবনা; যেমন পরিসংখ্যান ডিজিটাল সিস্টেম ডিজাইন এবং কম্পিউটার ও ডিজিটাল ইলেক্ট্রনিকস এর ব্যবহার । তারপর তিনি এই বুলিয়ান বীজগণিত নিয়ে গবেষণা করে এমন দুইটি সুত্র বের করলেন যে সুত্র গুলো দিয়ে বড় বড় লজিক রাশিমালা ও বুলিয়ান বীজগণিতের বিভিন্ন সমস্যা সহজেই প্রমান করা সম্ভব। এই দুইটি সুত্রই De-Morgan’s Theorem বা ডি-মরগানের উপপাদ্য নামে পরিচিত। যা মূলত বুলিয়ান যোগ বা লজিক্যাল OR , বুলিয়ান গুন বা লজিক্যাল AND এবং লজিক্যাল NOT সম্পর্কিত। সুতরাং ডি-মরগানের উপপাদ্য ভালভাবে শিখতে হলে বুলিয়ান বীজগণিত সম্পর্কে ভাল ধারণা থাকা দরকার।

তাহলে চল এবার  ডি – মরগানের উপপাদ্য সম্পর্কে বিস্তারিত জেনে নেয়া যাক।

ডি – মরগানের উপপাদ্য

 

এখন নিজেকে একটু যাচাই করা যাক!



 

এবার নিজেকে একটু যাচাই করা যাক!


[সত্যক সারণিসত্যক সারণি হচ্ছে এক প্রকার গাণিতিক সারণি। বুলিয়ান বীজগণিত, বুলিয়ান ফাংশন, এবং প্রপরশনাল ক্যালকুলাসের বিভিন্ন যুক্তি দ্বারা এই টেবিল তৈরী করা হয়। মূলত, কোন গাণিতিক বাক্যের জন্য প্রদত্ত সকল মানের জন্য বাক্যটি সত্য কিনা সেটা যাচাই করার জন্য সত্যক সরণি ব্যবহার করা হয়।]

এবার সত্যক সারণিটি লক্ষ্য করি! 

সত্যক সারণিটি কিভাবে তৈরি হয়েছে তা জানা যাক। সত্যক সারনিতে A ও B এর সম্ভাব্য মান গুলো নং কলামে দেখা যাচ্ছে। তারপর নং কলামের A এর প্রত্যেকটি মান থেকে  বুলিয়ান

বীজগণিতের Not অপারেশন অনুযায়ী A এর মান বের করে নং কলামে  সন্নিবেশিত করা হয়েছে। একই ভাবে নং কলামের B এর প্রত্যেকটি মান থেকে বুলিয়ান বীজগণিতের Not অপারেশন

অনুযায়ী  B এর মান বের করে নং কলামে  সন্নিবেশিত করা হয়েছে। এরপর বুলিয়ান বীজগণিতের OR অপারেশন অনুযায়ী নং কলামের A ও নং কলামের B যোগ করে A+B এর মান বের করে নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে। তারপর নং কলামের A+B এর প্রত্যেকটি মান বুলিয়ান বীজগণিতের Not অপারেশন অনুযায়ী A+B এর মান বের করে নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে। তারপর বুলিয়ান বীজগণিতের OR অপারেশন অনুযায়ী নং কলামের A ও নং কলামের B যোগ করে  A+B এর মান বের করে নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে।

এরপর বুলিয়ান বীজগণিতের AND অপারেশন অনুযায়ী নং কলামের A ও নং কলামের B গুন করে A . B এর মান বের করে নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে। তারপর নং কলামের A.B এর প্রত্যেকটি মান বুলিয়ান বীজগণিতের Not অপারেশন অনুযায়ী A.B এর মান বের করে নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে। তারপর বুলিয়ান বীজগণিতের AND অপারেশন অনুযায়ী নং কলামের  A ও নং কলামের B গুন করে A . B এর মান বের করে ১০ নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে।