Uncategorized

লজিক ফাংশন সরলীকরণ

Supported by Matador Stationary

আমরা দৈনন্দিন কতোই না কাজে বৈদ্যুতিক যন্ত্র বা Electronic Device ব্যবহার করি। সকালে ঘুম থেকে উঠার পর কাপড় পরিপাটি করবার ইস্ত্রি থেকে শুরু করে রাতে ঘুমাতে যাবার সময় টিভি, LED Light, ফ্যান, এসি; তারপর সারাদিন ডিজিটাল ঘড়ি,অ্যালার্ম ঘড়ি,  মোবাইল, কম্পিউটার, স্পিকার বা সাউন্ড বক্সে গান তো আছেই। আচ্ছা এই যে টিভি, এসি, মোবাইল, কম্পিউটার , স্পিকার বা সাউন্ড বক্স, ডিজিটাল ঘড়ি,অ্যালার্ম ঘড়ি,  LED Light,  এর কথা বললাম, এইরকম যন্ত্রগুলো কাজ করে কিভাবে ? শুধু বৈদ্যুতিক সংযোগ বা প্লাগ ইন বা ব্যাটারি লাগালেই কি কাজ করা শুরু করে দেয়???


আমরা জানি প্রত্যেক বৈদ্যুতিক যন্ত্রের মূল বা আসল বিষয় হল বৈদ্যুতিক বর্তনী বা Electric Circuit । এই বর্তনীতে থাকে লজিক্যাল ফাংশন; যেটি যন্ত্রটি কে নিয়ন্ত্রন করে। আর এই জন্যই যন্ত্রে ব্যবহার করা হয় লজিক গেইট লজিক গেইট সম্পর্কে আরও বিস্তারিত জানতে ইচ্ছে হলে দেখে নিতে পারো এই Video টি।
লজিক গেইট

এই যে বৈদ্যুতিক যন্ত্রে লজিক গেইট গুলো ব্যবহার করা হয়, লজিক গেইট এর ব্যবহার সহজতর করবার জন্য লজিক ফাংশন গুলো সরল করা হয়। 

 

এর ফলে উদাহরণস্বরূপ যেখানে আমার চারটি লজিক্যাল অপারেটর এর জন্য দুটি লজিক গেইট লাগে, সরলীকরণের পর দেখা যায় সেখানে আমার ঐ অপারেটর এর জন্য মাত্র একটি লজিক গেইট ব্যবহার করলেই হচ্ছে। এতে আমার অর্থ ও সময়; দুটিই রক্ষা হচ্ছে। আর এই জন্যই লজিক ফাংশন কে সরলীকরণ করা হয়।

একটি LED Digital ঘড়ির লজিক্যাল বর্তনী বা Logical Circuit
একটি LED Digital ঘড়ির লজিক্যাল বর্তনী বা Logical Circuit

লজিক ফাংশন সরলীকরণ অনেকটা প্রচলিত বীজগণিতের মতো সমীকরণ নির্ভর। বুলিয়ান উপপাদ্য ও ডি- মরগানের উপপাদ্যের সাহায্যে লজিক ফাংশন সরলীকরণ করা যায়। সুতরাং লজিক ফাংশন সরলীকরণ ভালভাবে শিখতে হলে বুলিয়ান উপপাদ্য ও ডি- মরগানের উপপাদ্য সম্পর্কে ভাল ধারণা থাকা জরুরী।

লজিক ফাংশন সরলীকরণের নিয়ম

আমরা চতুর্থ বা পঞ্চম শ্রেনিতে গনিতে সরল করার সময় সরলীকরণের পর্যায়ক্রম মনে রাখতে BODMAS নিয়ম ব্যবহার করেছিলাম। লজিক ফাংশন সরলীকরণেও এরকম ই কিছু নিয়ম আছে।
নিয়ম গুলোকে পর্যায়ক্রমে মনে রাখার জন্য বলতে পার “Left to Right B NAO”!
(লেফট টু রাইট বি নাও )
বুঝলে কিছু? সমস্যা নেই! না বুঝলে এখনি বুঝবে। আগে নিয়ম গুলো দেখে নিই।
১. সমীকরণের বাম দিক থেকে ডানে সরলীকরণ করতে হবে। তাই এই জন্য Left to Right। তবে কিছু বইয়ে “সরলীকরণ ডান বা বাম; যেকোনো দিক থেকেই করা যায়” বলে উল্লেখ আছে। তাতেও কোন সমস্যা নেই।
২. বন্ধনি বা Bracket “(…..)” এর কাজ আগে করতে হবে। তাই এই জন্য B ।
৩. এরপর পূরক বা NOT অপারেশনের কাজ করতে হবে। তাই এই জন্য N ।
৪. তারপর AND অপারেশনের কাজ করতে হবে। তাই এ জন্য A ।
৫. এরপর সকল OR অপারেশনের কাজ করতে হবে। তাই এ জন্য O ।

আর এই হল Left to Right B NAO নিয়ম !
আরও একটা বিষয় এক্ষেত্রে মনে রাখবে, সরলীকরণের প্রতিটি ধাপে এবং যথাস্থানে বুলিয়ান উপপাদ্য, স্বতঃসিদ্ধ, সূত্র এবং ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য যদি প্রয়োগ করতে হয়, অবশ্যই তা প্রয়োগ করবে। এটাও কিন্তু একটি নিয়ম।
এবার একটু যাচাই করে দেখা যাক কেমন শিখলাম …


এতক্ষণ আমরা লজিক ফাংশন সরলীকরণ কি এবং এর নিয়ম সম্পর্কে জানলাম। এখন দেখা যাক এর লজিক ফাংশন সরলীকরণ কিভাবে করব। সাধারণত “সরল কর”, “প্রমাণ কর” কিংবা “দেখাও যে” ; এভাবে প্রশ্ন গুলো করা হয়। আগেই বলে রাখা ভাল, বিভিন্ন ভাবে বুলিয়ান ও ডি- মরগান উপপাদ্যের বিধি গুলো প্রয়োগ করে সরলীকরণ করা যায়। তবে অবশ্যই তা হতে হবে বুলিয়ান ও ডি- মরগান উপপাদ্যের সাথে সম্পর্কযুক্ত যুক্তিযুক্ত ও সঠিক প্রয়োগ।

তো চলো আমরা শুরু করি …

প্রথমে আমরা করব   অংশের কাজ। কারন সরলীকরণের নিয়ম অনুসারে Bracket এর ভিতরের কাজ আগে করতে হয়। তাই পরের লাইনে ডি-মরগানের ১ম উপপাদ্য অনুযায়ী হবেঃ

এখানে আমাদের Bracket এর কাজ শেষ। তারপর আমরা অংশের কাজ করব কারন সরলীকরণের নিয়ম অনুসারে Bracket এর পর NOT অপারেশনের কাজ। তাই পরবর্তী লাইনে ডি-মরগানের ২য় উপপাদ্য অনুযায়ী হবেঃ

এক্ষেত্রে বলে রাখা ভাল, চাইলে বুঝার সুবিধার জন্য তুমি Bracket ব্যবহার করতে পার। তবে প্রশ্নে দেয়া Bracket এর কাজ শেষ হবার পর তা করলে ভাল হয়।

তারপর Normal এবং Pure বীজগাণিতিক গুন।

বুঝার সুবিধার জন্য একটু সাজিয়ে লিখতে পারি-

এখন A’ (A bar) কে A  ধরে বুলিয়ান উপপাদ্যের মৌলিক নিয়ম A.A=A অনুসারে আমরা লিখতে পারি  সুতরাং মান বসিয়ে পাই –

তেমনি B’ (B bar) ও C’ (C bar) এর ক্ষেত্রে ঠিক একই ভাবে বুলিয়ান উপপাদ্যের মৌলিক নিয়ম A.A=A অনুসারে আমরা লিখতে পারি –

এখন আমরা  যদি  Common নিই তাহলে কি দাঁড়াবে?

আর আমরা খুব ভাল করেই জানি বুলিয়ান বীজগাণিতিক গুনের নিয়মানুসারে 1+1=1; তাহলে বিষয়টা দাঁড়ায় 1+1+1 = 1+1  = 1

সুতরাং আমরা লিখতে পারিঃ

  ধরলে বুলিয়ান উপপাদ্যের মৌলিক নিয়ম A.1=A অনুসারে আমরা লিখতে পারি –

তারপর ডি- মরগানের ১ম উপপাদ্য অনুযায়ী আমরা লিখতে পারিঃ

এরপর আর সরলীকরণ করলে  ই আসে। তাই Final উত্তর হবে 

মনে রাখবে, A.B=AB=(A)(B). তাই ভয় পাওয়ার কোনো কারণ নেই! 

তাহলে লজিক ফাংশনটি আর একবার সুন্দর ভাবে দেখি যেভাবে আমাদের সম্মানিত ও প্রিয় শিক্ষক-শিক্ষিকাবৃন্দ খাতায় দেখতে চান –

আরও একটি উদাহরণ আমরা দেখি-

উপরের দুটি সরলীকরণ আশাকরি আমরা বুঝতে পেরেছি। তাহলে আর ও দুটি সরলীকরণ দেখা যাক-

৪. সরল করঃ z(y+z)(x+y+z)

= (z.y+z.z)(x+y+z)

= (z.y+z)(x+y+z); [বুলিয়ান উপপাদ্যের মৌলিক বিধি অনুযায়ী z.z=z]

= z(y+1)(x+y+z)

= z(x+y+z); [বুলিয়ান উপপাদ্যের মৌলিক বিধি অনুযায়ী y+1=1]

= zx+zy+zz

= zx+zy+z; [বুলিয়ান উপপাদ্যের মৌলিক বিধি অনুযায়ী z.z=z]

= z(x+y+1)

= z(x+1); [বুলিয়ান উপপাদ্যের মৌলিক বিধি অনুযায়ী y+1=1]

= z; [বুলিয়ান উপপাদ্যের মৌলিক বিধি অনুযায়ী y+1=1]

Answer: z

এতক্ষণ আমরা সরলীকরণের চারটি উদাহরণ দেখলাম। ১ম দুটি উদাহরণে আমরা  কিভাবে সরলীকরণ করব, উপপাদ্য বা বিধি গুলো কিভাবে প্রয়োগ করব; তা বিস্তারিতভাবে জানার চেষ্টা করেছি। মাঝেমধ্যে তোমাকে কিছু Tricks বা কৌশল প্রয়োগ করতে হতে পারে। আর এই ধরণের দক্ষতার জন্য  দরকার প্রচুর Practice ।  আবারও মনে করিয়ে দিচ্ছি, বিভিন্ন ভাবে বুলিয়ান ও ডি- মরগান উপপাদ্যের বিধি গুলো প্রয়োগ করে বিভিন্নভাবে সরলীকরণ করা যায়।  তবে অবশ্যই তা হতে হবে বুলিয়ান ও ডি- মরগান উপপাদ্যের সাথে সম্পর্কযুক্ত, যুক্তিযুক্ত ও সঠিক প্রয়োগ। তাহলেই সরলীকরণটি গ্রহণযোগ্য হবে।

 

আরও এক ভাবে সরলীকরণ দেয়া হয় যা প্রমাণ করে দেখাতে বলা হয়। ডানপক্ষ ও বামপক্ষ দেয়া থাকে; যে কোন এক পক্ষ সরলীকরণ করে অপর পক্ষের সমান দেখাতে পারলেই প্রমাণ শেষ।