Uncategorized

যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের ম্যাথ

আমরা ইতিমধ্যে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সম্পর্কে জেনেছি। এখন চলো আমরা যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সম্পর্কিত বিভিন্ন গাণিতক সমস্যাগুলি সমাধান করার সহজ উপায় জেনে নিই।

যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সংশ্লিষ্ট বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের আগে আমাদের নিচের বিষয়গুলি সম্পর্কে ধারণা থাকতে হবে।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সংশ্লিষ্ট বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যাবলি


টাইপ ১:অভীষ্ট ফাংশন ও অসমতাগুলি দেয়া থাকলে অভীষ্ট ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়করণ

লেখচিত্রের মাধ্যমে \(z = 3x + 4y\) এর মান সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর। যেখানে সীমাবদ্ধতাগুলো হচ্ছে \(x + y \leq 7, 2x + 5y \leq 20, 0 \leq x, y\)

এই সমস্যাটি আমরা নীচের মত কয়েকটি ধাপে সমাধান করবো।

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন

সর্বোচ্চকরণ কর: \(z = 2x + 3y\)
যার সীমাবদ্ধতা: \(x + 2y \leq 10, x + y \leq 6, x \leq 4, x,y \geq 0\)সমাধান:
\(x + 2y \leq 10\) এই অসমতা অনুরূপ সমীকরণ
x + 2y = 10
\(\frac{x}{10} + \frac{y}{5} = 1\)
\(x + y \leq 6\) এই অসমতা অনুরূপ সমীকরণ
x + y = 6
\(\frac{x}{6} + \frac{y}{6} = 1\)
\(x \leq 4, x,y \geq 0\) অসমতা অনুরূপ সমীকরণ,
x = 4, x = 0, y = 0
ছক কাগজের x ও y অক্ষ এবং মুলবিন্দু চিহ্নিত করি। ছক কাগজের প্রতি ক্ষুদ্রতম 2 বর্গের বাহুকে 1 একক ধরে সমীকরণ তিনটির লেখ আঁকি।
ছক কাগজ হতে দেখা যায় সমাধান এলাকা ABOCD । A, B, C, O, D এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
A(2, 4) বিন্দুতে Z = 2×2 + 3×4 = 16
B(0, 5) বিন্দুতে Z = 2×0 + 3×5 = 15
A(4, 0) বিন্দুতে Z = 2×4 + 3×0 = 8
D(4, 2) বিন্দুতে Z = 2×4 + 3×2 = 14
অতএব, Z এর সর্বোচ্চ এর মান 16

সর্বোচ্চকরণ কর: z = 4x + 6y
যার সীমাবদ্ধতা: x + y = 5, \( x \geq 2,\ y \leq 4,\ x,y \geq 0\)সমাধান:
x + y = 5
বা, \(\frac{x}{5}+\frac{y}{5}=1\)
\( x \geq 2\) এই অসমতা অনুরূপ সমীকরণ
x = 2
\(y \leq 4\) এই অসমতা অনুরূপ সমীকরণ
y = 4
ছক কাগজের x ও y অক্ষ এবং মুলবিন্দু চিহ্নিত করি। ছক কাগজের প্রতি ক্ষুদ্রতম 2 বর্গের বাহুকে 1 একক ধরে সমীকরণ তিনটির লেখ আঁকি।
ছক কাগজ হতে দেখা যায় সমাধান এলাকা ABC । A, B, C এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
A এর স্থানাঙ্ক (2, 0)
B এর স্থানাঙ্ক (2, 3)
C এর স্থানাঙ্ক (5, 0)
এখানে A প্রদত্ত শর্ত পূরণ করেনা। কারণ A বিন্দুর ভুজ ও কোটির যোগফল 5 না।
B(2, 3) বিন্দুতে \(Z = 4×2 + 6×3 = 26\)
C(5, 0) বিন্দুতে \(Z = 4×5 + 6×0 = 20 \)
অতএব, Z এর সর্বনিম্ন এর মান 20

টাইপ ২: অভীষ্ট ফাংশন ও অসমতাগুলি সরাসরি দেয়া না থাকলে প্রদত্ত সমস্যা হতে অভীষ্ট ফাংশন ও অসমতাগুলি গঠণ করে অভীষ্ট ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়করণ

জনৈক ভদ্রলোক সর্বোচ্চ 100 টাকা ব্যয় করে কিছু সংখ্যক কলম ও পেন্সিল কিনতে চান। প্রতিটি কলম ও পেন্সিলের দাম যথাক্রমে 12 টাকা এবং 8 টাকা। তিনি অন্তত 1 টি কলম কিনবেন ও 8 টির অধিক পেন্সিল কিনবেন না। ঐ ভদ্রলোক কতগুলি জিনিস কিনলে একত্রে সর্বাধিক সংখ্যক জিনিস কিনতে পারবে।
এই সমস্যাটি আমরা নীচের মত কয়েকটি ধাপে সমাধান করবো।

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।

একজন কাপড় প্রস্তুতকারক ভদ্রলোক সপ্তাহে কমপক্ষে 6 খানা লুংগি ও 12 খানা প্রস্তুত করতে পারেন। প্রতিখানা লুংগি এবং গামছার পস্তুত খরচ যথাক্রমে 80 টাকা এবং 40 টাকা। সর্বোচ্চ 1200 টাকা টাকা খরচ করে কোন প্রকারের কতটা কাপড় প্রস্তুত করলে লুংগি ও গামছার সংখ্যা সর্বোচ্চ হবে?

সমাধান:
মনে করি,
লুংগির সংখ্যা = x, গামছার সংখ্যা = y
শর্তানুসারে, \(x\geq 6, y \geq 12\) এবং \(80x + 40y \leq 1600, x,y \leq 0\)
\(80x + 40y \leq 1600\) এই অসমতা অনুরূপ সমীকরণ
80x + 40y = 1600
\(\frac{x}{20} + \frac{y}{40} = 1\)
\(x\geq 6, y \geq 12\) এই অসমতা অনুরূপ সমীকরণ
x = 6; y =12
ছক কাগজের x ও y অক্ষ এবং মুলবিন্দু চিহ্নিত করি। ছক কাগজের প্রতি ক্ষুদ্রতম 1 বর্গের বাহুকে 2 একক ধরে সমীকরণ তিনটির লেখ আঁকি।

ছক কাগজ হতে দেখা যায় সমাধান এলাকা ABC । A, B, C এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
A(14, 12) বিন্দুতে Z = 14 + 12 = 26
B(6, 28) বিন্দুতে Z = 6 + 28 = 34
C(6, 12) বিন্দুতে Z = 6 + 12 = 18
অতএব, Z এর সর্বোচ্চ এর মান 34
অতএব, লুংগির সংখ্যা x =6 গামছার সংখ্যা y = 28

A ও B দুই ধরণের খাবার আছে, যেগুলির প্রতি কিলোতে নিম্নছক অনুযায়ী প্রোটিন ও ফ্যাট আছে:

সমাধান:
মনে করি,
X কেজি A খাদ্য ও y কেজি B খাদ্য প্রয়োজন। তাহলে, মোট খরচ z = 2x + 3y
সীমাবদ্ধতাঃ (প্রোটিন) \(x + 3y \geq 9\) , (ফ্যাট) \(3x + 2y \geq 12\) এবং \(x,y \geq 0\)
\(x + 3y \geq 9\) এই অসমতা অনুরূপ সমীকরণ
\(x + 3y \geq 9\)
\(\frac{x}{9}+\frac{y}{3}=1\)
3x + 2y=12 এই অসমতা অনুরূপ সমীকরণ
\(3x + 2y \geq 12\)
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1\)ছক কাগজের x ও y অক্ষ এবং মুলবিন্দু চিহ্নিত করি। ছক কাগজের প্রতি ক্ষুদ্রতম 1 বর্গের বাহুকে 1 একক ধরে সমীকরণ তিনটির লেখ আঁকি।

ছক কাগজ হতে দেখা যায় সমাধান এলাকা AB ও BC রেখাস্থ ও ডানপাশের সকল বিন্দু সমাধান এলাকা । A, B, C এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
A(9,0) বিন্দুতে Z = 2×9 + 3×0 = 18
B((\(\frac{18}{7}\), \(\frac{15}{7}\)) বিন্দুতে Z = 2×(\(\frac{18}{7})\) + 3× \(\frac{15}{7}\) = \(\frac{81}{7}\)
C(0,6) বিন্দুতে Z = 2×0 + 3×6 = 18

অতএব, Z এর সর্বনিম্ন মান \(\frac{81}{7}\)। অর্থাৎ সবচেয়ে কম খরচ \(\frac{81}{7}\) টাকা
সুতরাং (\(\frac{18}{7})\) কেজি A খাদ্য ও \(\frac{15}{7}\) কেজি B খাদ্য প্রয়োজন।

সঠিক উত্তরে ক্লিক করো

আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।

Never Stop Learning