Uncategorized

বেগের সুত্রসমূহ

Supported by Matador Stationary

বেগ ও অন্যান্য ধারণা

কোনো গতিশীল বস্তুর সময়ের সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট দিকে অতিক্রান্ত দূরত্বের পরিবর্তনের হারকে ঐ বস্তুর বেগ বলা হয়। v দ্বারা বেগ প্রকাশ করা হয় \(\left[v=\frac{s}{t}\right]\)

বেগ পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলা হয়। প্রকাশ করা হয় f দিয়ে \(\left[f=\frac{y}{t}\right]\)। বেগ এবং ত্বরণ দুটিই ভেক্টর রাশি, যাদের মান ও দিক-দুটোই থাকে।

উসাইন বোল্টকে আমরা কমবেশি সবাই চিনি। গ্রহের দ্রুততম মানব বলে আখ্যায়িত বোল্ট অলিম্পিক ক্যারিয়ারে তাঁর শেষ 100 মিটারের দৌড় শেষ করেন 9.95 সেকেন্ডে। কিন্তু দুর্ভাগ্যজনকভাবে , তিনি সেবার স্বর্ণপদক নয় , ব্রোঞ্জপদক পান। তাঁর সহপ্রতিযোগী গ্যাটলিন সেবার 9.92 সেকেন্ডে 100 মিটার ভ্রমণ করেছিলেন। দেখো, মাত্র 0.03 সেকেন্ডের ব্যবধানে বোল্ট প্রথম হতে পারেননি। এবার আমরা দেখে নেই,আসলে তাঁর বেগ কতো ছিলো। আর এই বেগটাই বা কী ! তাঁর দৌড় শুরুর বেগ শূন্য ধরে নিলে আর দৌড়ের সময়ের বেগ ,আমরা বাকিসব সূত্র ভুলে গিয়ে শুধুমাত্র ঐকিক নিয়মের আশ্রয় নিয়ে তাঁর বেগ বের করতে পারি।
যেহেতু 9.95 সেকেন্ডে বোল্ট 100 মিটার অতিক্রম করেছিলেন, 1 সেকেন্ডে কতো মিটার অতিক্রম করেছিলেন? \(\frac{s}{t}=\frac{\text{100}m}{\text{9.95}s}=10.05ms^{-1}\)
অর্থাৎ প্রতি সেকেন্ডে তিনি 10.05 মিটার অতিক্রম করেছেন(সুষম বেগে)। আর প্রতি সেকেন্ডে তাঁর এই সরণের হারকেই বেগ বলি আমরা। বেগ আর গতির মধ্যে একটা সূক্ষ পার্থক্য বিদ্যমান বটে। বেগ একটি ভেক্টর রাশি,কিন্তু দিক একটি স্কেলার রাশি। গতির মান থাকলেও কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই,যা বেগের রয়েছে।

এবার আমরা একনজরে বেগ সম্পর্কিত কিছু সূত্র দেখে নেই।

বেগের সূত্রসমূহ

এক নজরে বেগের কতিপয় সূত্রাবলী

1. \(v=u+ft\)
2. \(s=ut+\frac{1}{2}ft^{2}\)
3. \(v^{2}=u^{2}+2fs\)
4. \(s_{t}=u+\frac{1}{2}f\left(2t-1\right)\)
5. \(v _{avg}=\frac{u+v}{2}\)

এখানে, u = আদিবেগ, v = শেষবেগ, \(v _{avg}\) = গড়বেগ (Average Velocity)
f = ত্বরণ, t = সময় , sₜ = t তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব

 

সূত্রগুলো একটু প্রমাণ করার চেষ্টা করে দেখা যাক।

1. v=u+ft

ধরি, বোল্ট OX সরলরেখা বরাবর f সমত্বরণে A বিন্দু থেকে u আদিবেগে দৌড় শুরু করলেন। t সময়ে P বিন্দুতে এবং (t+t) সময়ে Q বিন্দুতে পৌঁছান,এখানে P এবং Q একে অপরের খুবই নিকটবর্তী।

অতিক্ষুদ্র সময় \(\triangle t-\)এ P থেকে Q পৌঁছালে তাঁর বেগের অতিক্ষুদ্র পরিবর্তন হয়(v থেকে (v+\(\triangle v\)) হয়)। আর আমরা জানি, সময়ের সাপেক্ষে বেগ বৃদ্ধির হারকে ত্বরণ বলে।

সুতরাং, ত্বরণ, \(f=\begin{array}{c}\bf lim\\ \triangle t\rightarrow 0 \end{array} \frac{\left(v+\triangle v\right)-v}{\triangle t}\)
\(=\begin{array}{c}\bf lim\\ \triangle t\rightarrow 0 \end{array} \frac{\triangle v}{\triangle t}\)
\(=\frac{dv}{dt}\)

∴ dv = f . dt

নির্দিষ্ট যোগজীকরণ করে,

\(\int_{u}^{v} dv=f\int_{0}^{t}\)
\(\Rightarrow\left[v\right]^u_v=f\left[t\right]^t_0\)
\(\Rightarrow v-u=f\left(t-o\right)\)\

∴v = u + ft [প্রমাণিত]

2. \(\underline{s=ut+}\frac{1}{2}\underline{ft}^2\)

P এবং Q যদি খুবই নিকটবর্তী হয়, তবে ধরে নেই, \(PQ=\triangle s\).

ধরি, AP=s এবং \(AQ=s+\triangle s.\) তাহলে বোল্ট অতিক্ষুদ্র \((t+\triangle t)-t =\triangle t\) সময়ে \(PQ = (s+\triangle s)-s= \triangle s\) দূরত্ব অতিক্রম করে। আমরা জানি , সময়ের সাপেক্ষে নির্দিষ্ট দিকে সরণের পরিবর্তনের হারলে বেগ বলে।

সুতরাং, বেগ, \(v=\begin{array}{c}\bf lim\\ \triangle t\rightarrow 0 \end{array} \frac{\left(s+\triangle s\right)-s}{\triangle t}\)
\(=\begin{array}{c}\bf lim\\ \triangle t\rightarrow 0 \end{array} \frac{\triangle s}{\triangle t}\)
\(=\frac{ds}{dt}\)

∴ds = v . dt
\(\Rightarrow ds = (u+ft).dt\) [প্রথম প্রমাণ থেকে)

ক্যালকুলাস থেকে পাই,

\(\int_{0}^{s} ds=f\int_{0}^{t}\left(u+ft\right)dt\)
\(\Rightarrow \left[s\right]^s=\left[ut+\frac{1}{2}ft^2\right]_0^t\)
\(\Rightarrow s-0=\left(ut+\frac{1}{2}ft^2\right)\)
\(\therefore s=ut+\frac{1}{2}ft^2\) [প্রমাণিত]

3. v²=u²+2fs

আমরা প্রথম আর দ্বিতীয় প্রমাণে দেখেছিলাম, \(f = \frac {dv}{dt}\)

এবং \(v = \frac {ds}{dt}\)
\(= \frac {ds}{dv} . \frac{dv}{dt}\)
\(= f \frac {ds}{dv} [ f = \frac {dv}{dt} ] \)
\(\Rightarrow v.dv = f.ds \)
ক্যালকুলাস থেকে পাই,
\(\int_{u}^{v} vdv=\int_{0}^{s} fds\)
\(\Rightarrow [\frac{v^{2}}{2}]^{v}_{u} =f[s]^{s}_{o}\)
\(\frac{v^{2}}{2}-\frac{u^{2}}{2} = f[s-0]\)
\(v^{2}-u^{2} = 2fs\)
\(∴v^{2} = u^{2} + 2fs\) [প্রমাণিত]
[ত্বরণের বদলে মন্দনের ক্ষেত্রে f = -f হবে]

4. \(u+\frac{1}{2}f{(2t-1)}\)

বোল্ট যদি t সেকেন্ডে 100মিটার আর (t-1) সেকেন্ডে 90মিটার দূরত্ব অতিক্রম করেন, তাহলে এই এক সেকেন্ডে সে (100-90)=10মিটার অতিক্রম করলো, তাই না? আর এই দূরত্ব তিনি t-তম সেকেন্ডে অতিক্রম করেছেন।এটা থেকে একটা সূত্র পাওয়া যেতে পারে না?

Sₜ = t-সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব – ( t-1)সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব

\(=(ut+\frac{1}{2}{ft}^{2}) – {u(t-1)+\frac{1}{2}f(t-1)^{2}}\)
\(=ut+\frac{1}{2}{ft}^{2}-ut-u+\frac{1}{2}f(t-2t+1)\)
\(=u+\frac{1}{2}f{(2t-1)}\)

5. \(v_{avg}=\frac{u+v}{2}\)

বোল্টের দৌড়ের বেগ সুষম না থাকলে,অর্থাৎ তাঁর একটা ত্বরণ থাকলে আমরা তাঁর গড়বেগ বের করতে পারি।

গড়বেগ \(=\frac{s}{t}\)
\(=\frac{ ut+\frac{1}{2}ft^{2}}{ t}\)
\(=ut+\frac{1}{2}ft\)
\(=\frac{2u+ft}{2}\)
\(\therefore \frac{u+(u+ft)}{2}\)

এবার চলো কিছু অংক কষে ফেলা যাক।

ধরণ-1:
উসাইন স্থিরাবস্থা থেকে সমত্বরণে সরলপথে চলে একটি নির্দিষ্ট সূরত্ব অতিক্রম করলো। সে প্রথম সেকেন্ডে 16মিটার এবং শেষ সেকেন্ডে মোট দূরত্বের 925অংশ অতিক্রম করে, তবে তার ত্বরণ,মোট দূরত্ব ও ভ্রমণকাল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ

স্থিরাবস্থা থেকে শুরু করলে u=0.
\(\therefore s= 0.t+\frac12ft^{2}\)
\(\rightarrow s=\frac12ft^{2}\) …….(i)

আবার, সে প্রথম সেকেন্ডে 16m অতিক্রম করে।
\(\therefore 16= 0.t+\frac12ft^{2}\)
\(\rightarrow f=32ms^{-2}\)

এবং শেষ সেকেন্ডে(t-তম সেকেন্ড) অতিক্রান্ত দূরত্ব,

\(\frac{9_{s}}{25}= 0+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
\(\frac{9_{s}}{25} \times \frac{1}{2}ft^{2} =\frac{1}{2}f(2t-1)\)
\(\rightarrow 9t^{2}-50t+25=0\)
\(∴t = 5,\frac{5}{9}\)

কিন্তু উসাইন যেহেতু প্রথম সেকেন্ডেই যায় 16m, t>1 হতেই হবে। অর্থাৎ, t = 5

∴মোট দূরত্ব, \(s = \frac{1}{2}ft^{2} = \frac{1}{2} \times 32 \times (5)^{2} = 400\) মিটার (Ans.)

ধরণ-2:
একটি বাস স্থিরাবস্থা থেকে সুষম ত্বরণে ছাড়া শুরু করলো। বাসের 120 মিটার পিছে উসাইন ঠিক তখনই বাসটি ধরার জন্য দৌড় শুরু করলো। যদি সে এক মিনিটে কোনো রকমে বাসটি ধরতে সক্ষম হয়, তবে তার বেগ ও বাসের ত্বরণ কত?
সমাধানঃ

উসাইন এবং বাসের বেগ ধরে নেই যথাক্রমে u ms⁻¹ এবং v ms⁻¹
এক মিনিট বা 60সেকেন্ডে উসাইনের অতিক্রান্ত দূরত্ব = 60u মিটার [s=vt]
বাসের অতিক্রান্ত দূরত্ব = \(0 + \frac{1}{2} f (60)^2\)
আর এই 60সেকেন্ডে বাসের অর্জিত বেগ,v = 60f……(i) [v=u+ft, u=0]
যেহেতু উসাইন 120 মিটার পিছিয়ে আছে, তাই তাকে সেই দূরত্বও অতিক্রম করতে হয়েছে।

\(∴120+\frac{1}{2}f(60)^{2}=60u\)
\(\rightarrow 2+30f = u\)…..(ii)

যখন উসাইন বাসটা ধরে ফেলে, তখন তাদের বেগ সমান।
u=v
\(\Rightarrow \)2+30f = 60f [সমীকরণ (i),(ii) থেকে]
\(\Rightarrow f =\frac {1}{15} ms^{-2} \)
উসাইনের বেগ,u = 60f = 4 ms⁻¹ (Ans.)

ধরণ-3:
একটি ট্রেন রেলপথে ২কিমি ব্যবধানে দুইটি স্টেশনে থামে। প্রতি স্টেশনে পৌঁছুতে লাগে 4মিনিট। ট্রেনটি গতিপথের প্রথম অংশ x সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ y সমমন্দনে চলে। প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 \)
সমাধানঃ

 

ধরি, ট্রেনটি স্টেশন-A থেকে t₁ সময়ে স্টেশন-B তে যায়, তখন তার বেগ হয় v.
তারপর B থেকে v বেগে y সমমন্দনে t₂ সময়ে স্টেশন-C তে থামে।
তাহলে এখানে দুটো অংশে ভাগ করে নেই, AB & BC
\(\underline {AB:}\)
এখানে আদিবেগ শূন্য এবং শেষবেগ=v
\(AB=s_{1}\)
\(∴v=0+xt_{1}\)
\(\Rightarrow t_{1}=\frac{v}{x}\) …..(i)
এবং \(s_{1}=\frac{0+v}{2} \times t_{1} = \frac{vt_{1}}{2}\)…..(i)

\(\underline {BC:}\)
এখানে ধরি, BC=s₂
\(0 = v-yt_{2} [v=u-ft]\)
\(\rightarrow t_{2}=\frac{v}{y}\)…..(iii)
এবং \(s_{2}=\frac{v+0}{2} \times t_{2} = \frac{{vt}_{2}}{2}\)……(iv)
(ii)+(iv) করে পাই,
\((s_{1}+s_{2}) = \frac{v}{2}(t_{1}+t_{2})\)

\(\rightarrow s = \frac{v}{2} \times t\) [মোট সময় t=t1+t2]
\(\rightarrow 2 = \times 4\)
\(\rightarrow v = 1\) কিমি/মিনিট

এবার (i)(iii) করলে,

\((t_{1}+t_{2}) =\frac{v}{x}+\frac{v}{y}\)
\(\Rightarrow 4 = \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)[v=1]
\(∴\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\)[প্রমাণিত]

ধরণ-4:
একটি বুলেট ২ইঞ্চির একটি দেয়াল ভেদ করার পরে এর অর্ধেক বেগ হারায়। বাকি বেগটুকু নিয়ে বুলেটটি আরো কতটুক ভেদ করতে পারবে?
সমাধানঃ

আমরা সমাধানটা দুইভাগে ভাগ করে নেই- বেগ হারাবার আগে,আর বেগ হারাবার পরে।
প্রথম ক্ষেত্রে,
ধরি, বুলেটের আদিবেগ = u ms⁻¹ এবং ত্বরণ = f ms⁻²
∴অর্ধেক বেগ হারানোর ফলে তার শেষবেগ হবে \( = u-\frac{u}{2} = \frac{u}{2} ms^{-1} \)
আমরা জানি,
‘[‘[ এখানে মন্দন কাজ করছে,যেহেতু বেগ কমে যাচ্ছে]
\(\Rightarrow f = \frac{3}{16}u^{2}\)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,
বুলেটটির গতি কমে যেতে যেতে একসময় থেমে যাবে, তাই শেষবেগ হবে, v = 0 ms-1। আর গতি অর্ধেক হয়ে যাওয়ার পরে যে বেগ পাওয়া গিয়েছিলো,সেটাই এখন তার আদিবেগ।
এখানে,
\(0^{2} = (\frac{u}{2})^{2}+2.(-f).s\)
\(\Rightarrow \frac{u^{2}}{4}= 2\times \frac{3}{16} u^{2}\times s\)
\(∴s =\frac{2}{3}\) ইঞ্চি (Ans.)

ধরণ-5:
একটি সরলরেখায় সুষম ত্বরণে চলমান একটি বিন্দুর তিনটি ধারাবাহিক সময় t1 ,t2 ,t3 এর ব্যবধানে v1 ,v2 ,v3 হচ্ছে যথাক্রমে তিনটি গড়বেগ। দেখাও যে, v1-v2v2-v3= t1+t2t2+t3.
সমাধানঃ

 

ধরে নেই, u আদিবেগ নিয়ে A থেকে শুরু করে বিন্দুটি B,C,D তে গিয়ে t1 ,t2 ,t3 সময়ে যথাক্রমে u1 ,u2 ,u3 বেগলাভ করে। এখানে ত্বরণ ধরি f.
AB অংশে, u₁ = u + ft₁
BC অংশে, u₂ = u1+ ft₂ = u + ft₁ + ft₂
CD অংশে, u₃ = u₂+ ft₃ = u + ft₁ + ft₂ +ft₃

যেহেতু v₁ ,v₂ ,v₃ হচ্ছে তিনটি গড়বেগ, \(v_{1} = \frac{u + u_{1}}{2}, v_{2} =\frac{ u_{1}+ u_{2}}{2}, v_{3} = \frac{ u_{2} + u_{3}}{2}\)
\(∴\frac{v_{1}-v_{2}}{v_{2}-v_{3}}=\frac {\frac{u_{} + u_{1}}{2} -\frac{ u_{1}+ u_{2}}{2}}{\frac{u_{1} + u_{2} }{2} -\frac{ u_{2} + u_{3} }{2}}\)
\(= \frac{u_{} – u_{2} }{u_{1} – u_{3} }\)
\(= \frac{u – (u + ft_{1} + ft_{2}) }{(u + ft_{1}) – (u +ft_{1} + ft_{2} + ft_{3})}\)
\(= \frac{-f(t_{1} + t_{2})}{ -f(t_{2} + t_{3})}\)
\(∴\frac{v_{1}-v_{2}}{v_{2}-v_{3}} =\frac{{ t_{1}+t_{2}}}{{t_{2}+t_{3}}}\) [Showed]

সত্য মিথ্যা যাচায় করো!