Uncategorized

গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

Supported by Matador Stationary

~গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত~

ফুয়াদ সংযুক্তযৌগিক কোণের বিগত তিনটি স্মার্ট বুক পড়ে নাকি ত্রিকোণমিতিকে বেশ আয়ত্তে এনেছে। সে অনেকগুলো গাণিতিক সমস্যার সমাধানও করেছে বটে! সে ভাবসাব নিয়ে ক্লাশে হাজির হলো। বলে রাখা ভালো, সে কিছুদিন অসুস্থ ছিলো বিধায় ক্লাস ভালোই কামাই দিয়েছে। কলেজের গণিতের স্যার ভালো মানুষ, তিনি ফুয়াদকে কিচ্ছুটি বললেন না। ফুয়াদ ভাবলো, সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের আদ্যোপান্ত তো তার জানাই আছে, সে স্যারকে অংক কষে খুশি করে দিবে। কিন্তু বিধি বাম! স্যার জিজ্ঞেস করলেন, “বলো তো ফুয়াদ, sin2A থেকে আমরা কী পাই?” ফুয়াদ তো ভ্যাবাচ্যাকা খেয়ে গেলো। সে এতদিন কী কী পড়ে আসলো, আর স্যার এসব কী জিজ্ঞেস করছেন! তার ভাবসাব মুহূর্তে উবে গেলো। সে বাসায় এসে ভাবতে লাগলো, sin2A তো ছিলো না আগের সূত্রগুলোতে! কীভাবে আসলো এই sin2A?
উত্তর হচ্ছে এই 2A, 3A, 4A,…. এগুলো হচ্ছে A কোণের গুণিতক কোণ। এবার আসি, ফুয়াদের দ্বিতীয় চিন্তায় – এগুলোর উদ্ভব কীভাবে হলো?

আগের স্মার্ট বুকের বেশ কিছু সূত্র আবার মনে করার চেষ্টা করি আমরা। মনে না আসলেও সমস্যা নেই, দেখে ফেলো এই স্মার্ট বুক গুলো:


//H5p-table
//H5p- frag & draw

এতো গেলো 2A নিয়ে নাড়াচাড়া। এবার যদি গণিতের স্যার ফুয়াদকে sin2A এর জায়গায় sin3A বসাতে বলে, তখন ফুয়াদ কী উত্তর দিবে? ফুয়াদ আর মাথা চুলকোবে না, সে তার পূর্বের জ্ঞান দিয়েই এই সমস্যা থেকে বের হয়ে আসতে পারবে। সেটা কীভাবে?

\(sin3A = sin (2A + A)\)
\(= sin2A cosA + cos2A sinA\)
\(= (2 sinA cosA) cosA + (1 – 2sin^{2}A) sinA\)
\(= 2sinA (1 – sin^{2}A) + (1 – 2sin^{2}A) sinA\)
\(= 3sinA – 4sin^{3}A\)

\(cos3A = cos (2A + A)\)
\(= cos2A cosA – sin2A sinA\)
\(= (2cos^{2}A – 1) cosA – 2cosA sinA\)
\(= (2cos^{2}A – 1) cosA – 2cosA (1 – sin^{2}A)\)
\(= 4cos^{3}A – 3cosA\)

\(.tan3A = tan (2A + A)\)
\(= \frac{tan2A + tanA}{1 – tan2A tanA}\)
\(=\frac{\frac{ 2tanA}{1 – tan2A} + tanA}{1 – \frac{2tanA}{1 – tan2A} tanA}\)
\(= \frac{2tanA + tanA (1 – tan^{2}A) }{1 – tan^{2}A – 2tan^{2}A}\)
\(= \frac{3tanA – tan^{3}A}{ 1 – 3tan^{2}A }\)


এবার চলো, আমরা গুণিতক কোণবিষয়ক গাণিতিক কিছু সমস্যার সমাধান করে ফেলি।
ধরণ 1 : প্রমাণ কর যে, \(cos^{3}x + cos^{3}(120^{o} + x) + cos^{3}(240^{o} + x) =\frac{3}{4}cos3x\)
সমাধানঃ

\(cos3A = 4cos^{3}A – 3cosA \)
\(\Rightarrow cos^{3}A =\frac {1}{4}(cos3A + 3cosA)\)

\(cos^{3}x + cos^{3}(120^{o} + x) + cos^{3}(240^{o} + x)\)
\(= \frac{1}{4}(cos3x + 3cosx) +\frac{1}{4}{cos3(120^{o} + x) + 3cos(120^{o} + x)} +\frac{1}{4}{cos3(120^{o} + x) + 3cos(120^{o} + x) }\)
\(= \frac{1}{4}(cos3x + 3cosx) + \frac{1}{4}{cos(360^{o} + x) + 3cos(120^{o} + x)} + \frac{1}{4}{cos360^{o} + x) + 3cos(240^{o} + x) }\)
\(= \frac{1}{4}cos3x + 34cosx +\frac{1}{4}cos3x +\frac{3}{4}(120^{o} + x) + \frac{1}{4}cos3x + \frac{3}{4}(240^{o}+ x) \)
\(= \frac{3}{4}cos3x + \frac{3}{4}cosx + \frac{3}{4}. 2cos(180^{o} + x) cos60^{o}\)
\(=\frac{3}{4}cos3x + \frac{3}{4}cosx + \frac{3}{4}. 2(-cosx)\frac{1}{2}\)
\(= \frac{3}{4}cos3x + \frac{3}{4}cosx – \frac{3}{4}cosx\)
\(= \frac{3}{4}cos3x\)
\(∴ cos^{3}x + cos^{3}(120^{o} + x) + cos^{3}(240^{o} + x) =\frac{3}{4}cos3x\)

ধরণ 2 : প্রমাণ কর যে,\(secx =\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+cos4x}}}\)
সমাধানঃ

\(\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+cos4x}}}= \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2(1+cos4x)}}}\)
\(=\frac{ 2}{\sqrt{2+\sqrt{4cos^{2}2x}}}\)
\(= \frac{2}{\sqrt{2+2cos2x}}\)
\(= \frac{2}{\sqrt{2(1+cos2x)}\)
\(= \frac{2}{\sqrt2.2cosx}\)
\(= \frac{2}{2cosx}\)
\(= secx\)
ধরণ 3 : প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{sin10^{o}}-\frac{ \sqrt3}{cos10^{o}}=4\)
সমাধানঃ

\(\frac{1}{sin10^{o}}-\frac{ \sqrt3}{cos10^{o}}=\frac {cos10^{o} – 2sin60^{o}sin10^{o}}{sin10^{o}cos10^{o}}\)
\(= \frac {cos10^{o} – cos50^{o} + cos70^{o}}{sin10^{o}cos10^{o}}\)
\(=\frac{ 2sin30^{o}sin20^{o} + cos(90^{o}-20^{o})}{sin10^{o}cos10^{o}}\)
\(=\frac{ sin20^{o} + sin20^{o}}{sin10^{o}cos10^{o}}\)
\(= \frac {2 sin20^{o}}{sin10^{o}cos10^{o}}\)
\(= \frac{2. 2 sin10ocos10o}{sin10ocos10o}\)
\(= 4\)

ধরণ 4 : যদি acosx + bsinx = acosy + bsiny হয়,
তবে দেখাও যে, \(cos^{2}\frac{ (x+y)}{2}+ sin^{2} \frac{(x+y)}{2}\)= \(\frac{a^{2}- b^{2}}{a^{2}+ b^{2}}\)
সমাধানঃ

\(acosx + bsinx = acosy + bsiny \)
\(a(cosx – cosy) = b(siny – sinx)\)
\(2a sin\frac{(x+y)}{2}sin\frac{(y-x)}{2}= 2b cos\frac{(x+y)}{2}sin\frac{(y-x)}{2}\)
\(sin\frac{(x+y)}{2}cos\frac{(x+y)}{2}= ba \)
\(sin^{2}\frac{(x+y)}{2}cos^{2}\frac{(x+y)}{2}= b^{2}a^{2}\)
\(cos^{2}\frac{(x+y)}{2} – sin^{2}\frac{(x+y)}{2}cos^{2}\frac{(x+y)}{2}+ sin^{2}\frac{(x+y)}{2}= a^{2} – b^{2}a^{2} + b^{2}\)
\(∴ cos2 (x+y)2+ sin2 (x+y)2= a2 – b2a2 + b2\)