Uncategorized

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

Supported by Matador Stationary

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

ফুয়াদ ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের বেশ কিছু কোণের মান মুখস্থ করেছে। সে জানে, sin30⁰ কত, কিংবা cos90⁰ = 0 এটাও তার ভালো মতোই জানা আছে। কিন্তু আমরা তো জানি, এখন কোণ শুধু 00 থেকে 90⁰ তেই সীমাবদ্ধ নয়, যা আমরা ত্রিকোণমিতিক স্মার্ট বুক থেকে জানতে পেরেছি। কোনো রশ্মি ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীতে আবর্তন যতক্ষণ পর্যন্ত ঘুরতে বা আবর্তন করতে থাকে, কোণের মান ততোই কমতে বা বাড়তে থাকবে। সে হিসেবে কোণের মান কিন্তু 32000 কিংবা -2670⁰ ও হতে পারে। এই মুহূর্তে ফুয়াদ কীভাবে কোণের মুখস্থ মান দিয়ে সেটা নির্ণয় করবে? তখন ক্যালকুলেটর চেপে করা গেলেও নিজে নিজে, অর্থাৎ হাতেকলমে কীভাবে করবে সে? তাহলে আজকে ফুয়াদকে আমরা সেটাই জানাবো এবং তোমরাও জানতে পারবে কীভাবে বড় বড় কোণ নিয়ে তোমরা কাজ করতে পারবে। আর এজন্য আমাদের জানতে হবে সংযুক্ত কোণ কী আর সংযুক্ত কোণের মান কীভাবে নির্ণয় করতে হয়।

প্রথমেই কী ধরণের কোণ থাকলে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কীরকম থাকবে, তার একটা ধারণা নিয়ে আসি।

বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

সঠিক উত্তর মিলাও


ত্রিকোণমিতিক অনুপাত স্মার্ট বুকটিতে চতুর্ভাগ নিয়ে আলোচনা করা হয়েছিলো, তবুও তোমাদের সুবিধার্থে এক নজরে বোঝা জন্য সেই ছবিটি নিচে দেওয়া হলো।


আমরা উপরের আলোচনা থেকে দুটো ব্যাপার লক্ষ্য করলাম, যাদের প্রয়োজনীয় দুটো নিয়মও বলা যায়। কী কী সেগুলা?

দুইটি উল্লেখ্য নিয়ম

যদি কে 90 ডিগ্রির জোড় গুণিতকের সাথে ধনাত্মক বা ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত করা হয়( যেমনঃ 00+, 180⁰-, 360⁰-, ….) তবে ঐ কোণের অনুপাতকে কেবল কোণের অনুপাতে প্রকাশ করলে মূল অনুপাতের রূপান্তর হয় না। তবে চতুর্ভাগের নিয়ম থেকে আমরা সহজেই কোণের চিহ্ন নির্ণয় করতে পারি।

যদি কে 90 ডিগ্রির বিজোড় গুণিতকের সাথে ধনাত্মক বা ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত করা হয়( যেমনঃ 900+, 270⁰-, 540⁰-, ….) তবে ঐ কোণের অনুপাতকে কেবল কোণের অনুপাতে প্রকাশ করলে মূল অনুপাতটি এর সহ-অনুপাতে রূপান্তর হয়। আর চতুর্ভাগের নিয়ম থেকে তো আমরা সহজেই কোণের চিহ্ন নির্ণয় করতে পারি।

360⁰ এর চেয়ে বড় কোণ থাকলে সেটা ভেঙ্গে ভেঙ্গে ছোট কোন, অর্থাৎ 30⁰ 45⁰ 90⁰ তে আনার একটা সহজ উপায় আছে। আমরা একটা অংক কষে সেটা বোঝার চেষ্টা করবো।
sin675⁰ = sin (2360⁰ – 45⁰)
আমরা চতুর্ভাগে একবার পুরোটা ঘুরে আসলে হয় 360⁰. দুইবার ঘুরে 720⁰ অতিক্রম করলাম এবং সেখান থেকে 45⁰ বাদ দিয়ে 675⁰ পেলাম।
প্রথম চতুর্ভাগে সব কোণের মান ধনাত্মক, তাই সেখান থেকে আমরা পেলাম sin(-45⁰)
এখন,
\(sin(-45^{0}) = -sin45^{0}\)
\(= -\frac{1}{\sqrt{2}}[ sin45^{0} =\frac{1}{\sqrt{2}}]\)

এবার আমরা সংযুক্ত কোণবিষয়ক আরো বেশ কিছু বইয়ের অঙ্ক কষে ফেলি।

ধরণ – ১: মান নির্ণয় করঃ cos18⁰+ cos162⁰+cos234⁰+cos1386⁰
সমাধান:
\(cos18^{0} + cos162^{0}+ cos234^{0} + cos1386^{0}\)
\(= cos18^{0} + cos(180^{0}-18^{0}) + cos(270^{0}-36^{0}) + cos(360^{0} \times 4 -54^{0})\)
\(= cos18^{0} – cos18^{0} – sin36^{0} + cos 54^{0}\)
\(= – sin36^{0} + cos(90^{0} – 36^{0})\)
\(= – sin 36^{0} + sin36^{0}\)
\(= 0 (Ans.)\)

 

ধরণ – ২: প্রমাণ কর \( cos^2 \frac{π}{12}+ cos^2\frac{3π}{12}+ cos^2\frac{5π}{12}+ cos^2\frac{7π}{12}+ cos2\frac{9π}{12}+ cos2\frac{11π}{12}= 3\)
সমাধান:

\(= cos^{2} \frac {π}{12}+ cos^{2}\frac{3π}{12}+ cos^{2}\frac{5π}{12}+ cos^{2}\frac{7π}{12}+ cos^{2}\frac{9π}{12}+ cos^{2}\frac{11π}{12}\)
\(= cos^{2}\frac{π}{12}+ cos^{2}\frac{π}{4}+ cos^{2}\frac{5π}{12}+ cos^{2}{12π-5π}{12}+ cos^{2}\frac{12π-3π}{12}+ cos^{2}\frac{12π-π}{12}\)
\(= cos^{2}\frac{π}{12}+ (\frac{1}{\sqrt2})^{2}+ cos^{2}\frac{5π}{12}+ cos^{2}(π-\frac{5π}{12}) + cos2(π-\frac{3π}{12})+ cos^{2}(π-\frac{π}{12})\)
\(= cos^{2} \frac{π}{12}+\frac{1}{2}+ cos^{2}\frac{5π}{12}+ cos^{2}\frac{5π}{12}+ cos^{2}(π-\frac{π}{4})+ cos^{2}\frac{π}{12}\)
\(= 2 { cos^{2}\frac{π}{12}+ cos^{2}\frac{5π}{12}} +\frac{1}{2}+ {(- cos\frac{π}{4})^{2}}^{2}\)
\(= 2 { cos^{2}\frac{π}{12}+ cos^{2}(\frac{π}{2}-\frac{π}{12}) } +\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\)
\(= 2 { cos^{2}\frac{π}{12}+ sin^{2}\frac{π}{12}} + 1\)
\(= 2 \times 1 + 1\)
\(= 3 =\) ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

 

ধরণ – ৩: যদি \(sin \theta = \frac {5}{13} \) এবং \(cos \theta\) ঋণাত্মক হয়, তবে \(\frac{tan \theta+ sec(\theta)}{cot\theta + cosec(\theta)}\) এর মান কত?
সমাধান:
\( \therefore cos \theta = – \sqrt{1-sin^2\theta} = – \sqrt{1- \frac{25}{169}} = – \frac{12}{13} \)
\( tan \theta = \frac {sin \theta} {cos \theta}= \frac {5/13}{-12/13} = – \frac {5}{12} \)
এখন,
\(\frac {tan \theta + sec(\theta)}{cot\theta + cosec(\theta)}=\frac { tan \theta + sec\theta}{ cot\theta – cosec \theta}\)
\(= \frac{\frac{-5}{12}-\frac{13}{12}}{\frac{-1}{25}-\frac{1}{35}}\)
\(= 310\) (Ans.)

 

ধরণ – ৪: মান নির্ণয় কর: \(sin^{2}\frac{π}{7}+ sin^{2}\frac{5π}{14}+ sin^{2}\frac{8π}{7}+ sin^{2}\frac{9π}{14}\)
সমাধান:
\(sin^{2}\frac{π}{7}+ sin^{2}\frac{5π}{14}+ sin^{2}\frac{8π}{7}+ sin^{2}\frac{9π}{14}\)
\(= sin^{2}\frac{π}{7}+ sin^{2}\frac{5π}{14}+ sin^{2}\frac{7π + π}{7}+ sin^{2}\frac{14π – 5π}{14}\)
\(= sin^{2}\frac{π}{7}+ sin^{2}\frac{5π}{14}+ sin^{2}(π +\frac{π}{7})+ sin^{2}(π -\frac{5π}{14})\)
\(= sin^{2}\frac{π}{7}+ sin^{2}\frac{5π}{14}+ sin^{2}\frac{π}{7}+ sin^{2}\frac{5π}{14}\)
\(= 2 (sin^{2}\frac{π}{7}+ sin^{2}\frac{5π}{14})\)
\(= 2 { sin^{2}\frac{π}{7}+ sin^{2} (\frac{π}{2} -\frac{ π}{7}) }\)
\(= 2 ( sin^{2}\frac{π}{7}+ cos^{2} \frac {π}{7}) \)
\(= 2\) (Ans.)

 

ধরণ – ৫: যদি \( a = \frac {11π}{4} \) হয়, মান নির্ণয় কর: \( sin^{2} a – cos^{2} a – 2 tan a – sec^{2} a. \)
সমাধান:
\(sin^{2}a – cos^{2}a – 2 tan a – sec^{2}a\)
\(= sin^{2}\frac{11π}{4} – cos^{2}\frac {11π}{4} – 2tan\frac{11π}{4} – sec^{2}\frac{11π}{4}\)
\(= sin^{2}\frac{12π – π}{4} – cos^{2}\frac{12π – π}{4} – 2tan\frac{12π – π}{4} – sec^{2}\frac{12π – π}{4}\)
\(= sin^{2}(3π – \frac{π}{4}) – cos^{2}(3π – \frac{π}{4}) – 2tan(3π – \frac{π}{4}) – sec^{2}(3π – \frac{π}{4})\)
\(= sin^{2}\frac{π}{4} – cos^{2}\frac{π}{4} – 2tan\frac{π}{4} – sec^{2}\frac{π}{4}\)
\(=(\frac{1}{\sqrt2})^{2} -(\frac{1}{\sqrt2})^{2} – 2 – (\sqrt2)^{2} \)
\(= 0\) (Ans.)

 

ধরণ – ৬: প্রমাণ কর \(sin^215^0 + sin^220^0 + sin^225^0 + …….. + sin^275^0 = \frac {13}{2} \)
সমাধান:
এখানে, ধারাটির পদের সংখ্যা = 13, [5⁰ করে বৃদ্ধি পেয়েছে]
sin245⁰ কে আলাদা রেখে দিলাম।
তাহলে পদ থাকলো 12টা।
\((sin^{2}15^{o} + sin^{2}75^{o}) = cos^{2}(90^{o} – 75^{o}) + sin^{2}75^{o}\)
\(= cos^{2}75^{o} + sin^{2}75^{o}\)
\(= 1\)
এরকম জোড়া আছে 6টি, যেগুলোর যোগফল থেকে আমরা পাবো 6.আর sin2450 = ½
অর্থাৎ, \((6 + \frac{1}{2} ) =\frac{ 13}{2}\)
\(\therefore sin^{2}15^{0}+ sin^{2}20^{0} + sin^{2}25^{0}+ …….. + sin^{2}75^{0} =\frac{ 13}{2}\) [Proved]

 

ধরণ – ৭: প্রমাণ কর \(sina + sin(+ a) + sin(2+ a) + ……….. + sin(n+ a)\) বা 0, যখন n যথাক্রমে জোড় ও বিজোড় সংখ্যা।
সমাধান:
\(sina + sin(+ a) + sin(2+ a) + ……….. + sin(n+ a)\)
\(= sina – sina + sina – sina + ……….. + (-1)^{n} sin a = sina\)
যখন n যথাক্রমে জোড় ও বিজোড় সংখ্যা। [Proved]

 

ধরণ – ৮: যদি ABCD চতুর্ভুজের কোণগুলি যথাক্রমে A, B, C, D হয়, তবে দেখাও যে, sin(A + B + C) + sin(A + B + C + 2D) = 0
সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল 2
অর্থাৎ, \(A + B + C + D = 2\)
\(∴ sin(A + B + C) + sin(A + B + C + 2D) = sin(2- D) + sin(2- D + 2D) \)
\(= -sinD + sinD\)
\(= 0\)
\(∴sin(A + B + C) + sin(A + B + C + 2D) = 0\) [Proved]