Uncategorized

উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

Supported by Matador Stationary

গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

ফুয়াদকে গত ক্লাসে স্যারের কাছে ভালোই হেনস্তা হতে হয়েছে গুণিতক কোণ সম্পর্কে জ্ঞান না থাকাতে। সে আর এই ভুল করবে না, সে গত স্মার্ট বুকটি পড়ে নিয়ে গুণিতক কোণকে বেশ আয়ত্তে এনেছে। সে আবার ভাবসাব নিয়ে ক্লাশে হাজির হলো। কলেজের গণিতের স্যার দুপাটি দন্ত বিকশিত করে তাকে জিজ্ঞেস করলেন, “বলো তো ফুয়াদ, \( 2 sin \frac{A}{2}cos\frac{A}{2}\) কোত্থেকে এসেছে?” ফুয়াদ আবারও ভ্যাবাচ্যাকা খেয়ে গেলো। স্যার আবারও কীসব জিজ্ঞেস করছেন! তার ভাবসাব আবারও উবে গেলো। সে বাসায় এসে ভাবতে লাগলো, \( 2sin \frac{A}{2}cos \frac{A}{2} \) তো ছিলো না আগের সূত্রগুলোতে! কীভাবে আসলো এই \( 2sin \frac {A}{2} cos\frac{A}{2} \)

এবার উত্তর হচ্ছে এই \( \frac{A}{2}, \frac{A}{3}, \frac{A}{4}….. \) এগুলো হচ্ছে A কোণের উপগুণিতক কোণ। এবার আসি, এগুলোর উদ্ভব কীভাবে হলো?

\( A = \frac{A}{2}+\frac{A}{2} \), তাই না?
তাহলে, \(sinA = sin ( \frac{A}{2}+\frac{A}{2})\)
\(= sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}+ cos\frac{A}{2}sin\frac{A}{2}\)
\(∴ sinA = 2sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}………(1)\)

একইভাবে,
\(cosA = cos ( \frac{A}{2}+\frac{A}{2})\)
\(= cos^{2}\frac{A}{2}- sin^{2}\frac{A}{2}\)
\(∴ cosA = 2cos^{2}\frac{A}{2}- 1 = 1 – 2sin^{2}\frac{A}{2}……..(2)\)

আবার,
\(tanA = tan (\frac{A}{2}+\frac{A}{2})\)
\(∴ tanA =\frac{2tan\frac{A}{2}}{1 – tan^{2}\frac{A}{2}}……..(3)\)

(2) থেকে আমরা পাই,
\(1 + cosA = 2cos^{2}\frac{A}{2}……..(4)\)
\(1 – cosA = 2sin^{2}\frac{A}{2}…….. (5)\)

(5) কে (4) দিয়ে ভাগ করে পাই,

\(tan^{2}\frac{A}{2}=\frac{ 1 – cosA}{1 + cosA}…….. (6)\)


18 o এবং 36 o কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কীভাবে বের করবো, তা জেনে নেওয়া আসা যাক।


এবার বেশ কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান করে ফেলা যাক।

ধরণ-১: \(2sin\frac{\pi}{16} =\sqrt {2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
সমাধান:
এখানে,
\(2cos^{2}\frac{A}{2}= 1 + cosA\)
\(∴ 2cos^{2}\frac{\pi}{2}= 1 + cos\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow 2cos^{2}\frac{\pi}{8}= 1 +\frac{1}{\sqrt2}\)
\(\Rightarrow 2cos^{2}\frac{\pi}{8}= 1 +\frac{1}{\sqrt2} \)
\(\Rightarrow 2cos^{2}\frac{\pi}{8}= \frac{\sqrt{2}+1}{2}\)
\(\Rightarrow 2cos^{2}\frac{\pi}{8}= \frac{2+\sqrt2}{2}\)
\(\Rightarrow cos^{2} \frac{\pi}{8}= \frac{2+\sqrt2}{4}\)
\(∴ cos\frac{\pi}{8}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)

এখন,
\(2sin^{2}\frac{pi}{16}= 1 – cos 2.\frac{pi}{16}\)
\(2sin^{2}\frac{pi}{16}= 1 – cos\frac{pi}{8}\)
\(2sin^{2}\frac{pi}{16}= 1 -\frac{ \sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
\(2sin^{2}\frac{pi}{16}= \frac{2 – \sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
\(4sin^{2}\frac{pi}{16}= 2 -\sqrt{ 2+\sqrt{2}}\)
\(∴ 2sin\frac{pi}{16}=\sqrt{ 2 – \sqrt {2+\sqrt{2}}}\)                       [Proved]


ধরণ-২: প্রমাণ কর যে, (cosa + cosb)^{2} + (sina – sinb)^{2} = 4cos^{2} \frac{a+b}{2}
সমাধান: \((cosa + cosb)^{2} + (sina – sinb)^{2}\)
\(= cos^{2}a + cos^{2}b + 2cosa cosb + sin^{2}a + sin^{2}b – 2sina sinb\)
\(= 1 + 1 + 2(cosa cosb – sina sinb)\)
\(= 2 + 2cos(a + b)\)
\(= 2 { 1 + cos(a + b) }\)
\(= 2. 2cos^{2}\frac{a+b}{2}\)
\(= 4cos^{2}\frac{a+b}{2}\)
\(∴ (cosa + cosb)^{2} + (sina – sinb)^{2} = 4cos^{2}\frac{a+b}{2}\)
[Proved]

ধরণ-৩: প্রমাণ কর যে, যদি \( sina + sinb = x , cosa + cosb = y \) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( cos (a + b) =\frac {b^{2}-a^{2}}{b^{2}+a^{2}} \)

সমাধানঃ \(sina + sinb = x\)
\(\Rightarrow 2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}= x ……(1)\)
\(cosa + cosb = y\)
\(\Rightarrow 2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}= y ……(2)\)

\( (2)(1) \Rightarrow \)
\(sina + sinb = x \)
\(\Rightarrow 2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}= x ……(1)\)
\(cosa + cosb = y\)
\(\Rightarrow 2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}= y ……(2)\)

\((2)(1) \Rightarrow\)
\(\frac{sin\frac{a+b}{2}}{cos\frac{a+b}{2}}= \frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{sin2\frac{a+b}{2}}{cos2\frac{a+b}{2}}= \frac{a^{2}}{b^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{ cos^{2}\frac{a+b}{2} – sin2\frac{a+b}{2}}{cos2\frac{a+b}{2} + sin2\frac{a+b}{2}}= \frac{b2-a2}{b2+a2}\)

\(\Rightarrow cos (a + b) = \frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}+a^{2}}\)    [Proved]


ধরণ-৪: যদি \( tan \frac {a}{2} = \sqrt \frac{1 – e}{1 + e} tan \frac{b}{2} \) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( cosb = \frac {cosa – e}{1 – ecosa} \)

সমাধানঃ \(tan\frac{a}{2}= \sqrt{\frac{1 – e}{1 + e}}tan\frac{b}{2}\)
\(tan^{2}\frac{a}{2}= \frac{1 – e}{1 + e}tan^{2}\frac{b}{2}\)
\(tan^{2}\frac{b}{2}=\frac{ 1 + e}{1 – e}tan^{2}\frac{a}{2}\)
\(\frac {sin^{2}\frac{b}{2}}{cos^{2}\frac{b}{2}}= \frac{(1 + e)sin^{2}\frac{a}{2}}{(1 – e)cos^{2}\frac{a}{2}}\)

∴ যোজন বিয়োজন করে আমরা পাই,

\(\frac{cos^{2}b2- sin^{2}\frac{b}{2}}{cos^{2}\frac{b}{2}+ sin^{2}\frac{b}{2}}=\frac{ (1 – e)cos^{2}\frac{a}{2} – (1 + e) sin^{2}\frac{a}{2}}{(1 – e)cos^{2}\frac{a}{2} + (1 – e)sin^{2}\frac{a}{2}}\)
\(∴ cosb = \frac{(cos^{2}\frac{a}{2}- sin^{2}\frac{a}{2}) – e(cos^{2}\frac{a}{2} + sin^{2}\frac{a}{2})}{(cos^{2}\frac{a}{2}+ sin^{2}\frac{a}{2}) – e(cos^{2}\frac{a}{2} – sin^{2}\frac{a}{2})}\)
\(= \frac{cosa – e}{1 – ecosa}\)        [Proved]