এইচএসসি পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র

ভেক্টর: ডট ও ক্রস গুণন

Supported by Matador Stationary

ভেক্টর ডট গুণন

এক বিকেলবেলা জিহান একা একাই ফুটবল খেলার প্র্যাকটিস করছিল। একটা দেয়ালের সামনে দাঁড়িয়ে সে ফুটবলে কিক করছিল আর ফুটবল দেয়ালে ধাক্কা খেয়ে ফিরে আসছিল। কিন্তু হঠাৎ একবার কিক করার পর ফুটবলটি দেয়ালের উপর উঠে গেল! দেয়ালটা বেশ উঁচু, জিহান তাই অনেক চেষ্টা করেও ফুটবলটি নামাতে পারল না দেয়াল থেকে। কি আর করা! সে দেয়ালের পাশে বসে অপেক্ষা করতে লাগল, যদি লম্বা কেউ ঐ পথ দিয়ে যায়।
অপেক্ষা করার সময় তার মাথায় চিন্তা আসল যে, ফুটবলটি যে দেয়ালের উপরে উঠে গেল এই ঘটনায় পদার্থবিজ্ঞানের কি কি বিষয় লুকিয়ে আছে? সে আবার পুরো ঘটনার একটা ছবি মনের মধ্যে আঁকা শুরু করল।

দেখতো বন্ধুরা, জিহানের মনে মনে আঁকা ছবির সাথে তোমাদের কল্পনা মিলে যায় কি না?

 


সে চিন্তা করল যে , মাটিতে বলটি ছিল A অবস্থানে, দেয়াল ছিল A থেকে কিছুটা দূরে B অবস্থানে। জিহান কিক করেছিল ভূমি বরাবর অর্থাৎ AB এর দিকে। কিন্তু বলটি চলে গেল দেয়ালের উপরে। সে ধরে নিল দেয়ালের উপরের অবস্থান হল C.
অর্থাৎ AB বরাবর বল প্রয়োগ করায় ফুটবলের সরণ হল AC বরাবর! জিহান এখন চিন্তা করা শুরু করল ফুটবলের সরণ AC = s হয় এবং তার কিকের মাধ্যমে যদি F বল প্রয়োগ হয়ে থাকে ফুটবলের উপরে, তাহলে পুরো ঘটনায় কি পরিমাণ কাজ হল!

জিহান ভেবে দেখল এখানে সে যেদিকে বল প্রয়োগ করেছে, ফুটবলের সরণ সেদিকে হয় নি যেহেতু তাই সে বল প্রয়োগের দিকে অর্থাৎ ভূমি বরাবর ফুটবলের সরণের উপাংশ কত সেটা বের করার চেষ্টা করল। এজন্য সে বল এবং সরণের মাঝে θ কোণ কল্পনা করে নিল!
সে হিসাব করে দেখল ভূমি বরাবর সরণকে উপাংশে বিভাজন করলে সেই অনুভূমিক উপাংশের মান হয় scosθ. এই উপাংশের দিক আর বল প্রয়োগের দিক একই!

তাহলে বন্ধুরা, বলটি দেয়ালের উপরে তুলতে জিহান কি পরিমান কাজ করেছিল বলে তোমাদের মনে হয়!
জিহানের হিসাব অনুযায়ী তার কাজের পরিমান-

W=Fscosθ ……… (1)

আশা করি তোমাদের হিসাব অনুযায়ী কাজের পরিমাণ এটাই এসেছে!

কিন্তু, বন্ধুরা ভেবে দেখতো, এই (1)নং সূত্র দিয়ে কাজের পরিমাণ বের করা যায় তখনই যখন বল ও সরণের মান এবং একই সাথে বল আর সরণের মাঝের কোণের মান দেওয়া থাকবে!
যদি কখনো আমাদেরকে কখনও বল আর সরণের ভেক্টর রূপ দিয়ে দেওয়া হয় তাহলে কি আমরা কাজের পরিমাণ বের করতে পারব? কি মনে হয় বন্ধুরা?
একটি বিশেষ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে আমরা কিন্তু এই সমস্যার সমাধান করতে পারব। সেই প্রক্রিয়াটি হচ্ছে “ভেক্টরের ডট গুণন” ।

এই ডট গুণনের প্রক্রিয়াটি বেশ মজার! এক্ষেত্রে , A এবং B দুইটি ভেক্টর হলে আর এদের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে, A এবং B এর ডট গুণনের মান হবে “ABcosθ”, অর্থাৎ-

A ও B এর ডট গুণন = A এর মান x B এর মান x A ও B এর মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন অনুপাত

গানিতিকভাবে ডট গুণনকে প্রকাশ করা হয় এভাবে

A.B = ABcosθ ……… (2)

লক্ষ্য কর, (2) নং সূত্রে যদি আমরা A এর জায়গায় বল F বসাই এবং B এর জায়গায় সরণ s বসাই তাহলে আমরা (1) নং সূত্র অনুযায়ী কাজের মান পেয়ে যাই! তাহলে বল ও সরণের ডট গুণনের মাধ্যমে কাজের মান বের করা যায়! এটি ডট গুণনের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার!

আমরা জানি একটি সংখ্যাকে আরেকটি সংখ্যা দিয়ে গুন করলে ফলাফলে একটি সংখ্যা পাওয়া যায়! কিন্তু ডট গুণনের বেলায় কি হয় লক্ষ্য করেছ বন্ধুরা? এই বিশেষ গুণন প্রক্রিয়ায় দুইটি ভেক্টরের গুনফল হিসেবে স্কেলার ফলাফল পাওয়া যায়!
তাহলে আমরা বলতে পারি ডট গুণন হল সেই প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে দুইটি ভেক্টরকে গুন করলে ফলাফলে স্কেলার রাশি পাওয়া যায়!
যেহেতু ডট গুণনের ফলাফল হিসেবে স্কেলার রাশি পাওয়া যায়, তাই অনেক সময় এই প্রক্রিয়াকে স্কেলার গুণনও বলা হয়ে থাকে।

আরেকটি মজার বিষয় হল ডট গুণনকে জ্যামিতিক ভাবেও প্রমাণ করা যায়। আমরা (২) নং সূত্র থেকে জেনে এসেছি যে- “ A.B = ABcosθ ”
এখানে Bcosθ’র জ্যামিতিক অর্থ হচ্ছে ভেক্টর B এর “লম্ব অভিক্ষেপ”! কিন্তু প্রশ্ন হল এই লম্ব অভিক্ষেপ আবার কি জিনিস? B এর “লম্ব অভিক্ষেপ” বলতে বোঝায় B ভেক্টরের ছায়াকে, যা A ভেক্টর বরাবর কাজ করছে। একটা টর্চলাইট মনের মাঝে জ্বালিয়ে নিয়ে B ভেক্টরের উপর আলো ফেলে ছায়ার ব্যাপারটি কি কল্পনা করতে পারছ বন্ধুরা? একটু মিলিয়ে নাও তো এই ছবিগুলোর সাথে।