Uncategorized

উল্লম্ব তলে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার গতি (ম্যাথ)

Supported by Matador Stationary

উল্লম্ব তলে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার গতি

আগের স্মার্টবুকটিতে আমরা উল্লম্ব তলে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার গতি সম্পর্কে সম্পর্কে জেনেছি।

সেখানে আমরা দেখলাম, বাংলাদেশের অন্যতম সেরা ফিল্ডার,নাসির হোসেন থারাঙ্গাকে ক্যাচ আউট করলেন! থারাঙ্গার ব্যাট আর নাসিরের তালু, এই দুটির মধ্যে বলটি ভূমি বরাবর যে সরলরৈখিক দূরত্ব অতিক্রম করেছে, সেটা আসলে ওই বলটির আনুভূমিক পাল্লা, যা R দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
আর এই বলটা যে উচ্চতায় যাওয়ার পরে, অভিকর্ষণের প্রভাবে পুনরায় ভূমির দিকে পড়তে শুরু করে, সেটাই এর সর্বাধিক উচ্চতা,যা H দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
বলটি যে সময় নিয়ে সর্বাধিক উচ্চতায় পৌছায়, সেটা প্রকাশ করা হয় T দিয়ে। আর এটি যতক্ষণ শূন্যে ভেসে ছিলো, পুরোটা সময়কেই বলা হয় বিচরণকাল। প্রকাশ করা হয় t দ্বারা।
আমরা নিচে আরও বিস্তারিত জানতে পারবো এই চারটি ধারণা সম্পর্কে।

থারাঙ্গার ব্যাট থেকে নাসিরের হাতে বল আসার পূর্বে বলটি নিচের ছবিটির মতো একটি পথ অতিক্রম করলো। স্পষ্টই দেখা যাচ্ছে, পথটি একটি বক্ররেখা। একেই বলা হয়, একটি বস্তুর গতিপথ।


আমরা তাহলে দেখে আসি, এই বক্ররেখাটি আসলে কী ধরণের। পরাবৃত্ত, নাকি অন্য কিছু।

যদি থারাঙ্গা a কোণে বলটি প্রক্ষেপণ করেন, ধরে নেই , t সময় পরে P(x,y) বিন্দুতে বলটি অবস্থান করে।
আমরা জানি, আনুভূমিক দিকে মধ্যাকর্ষণজনিত কারণে g এর মান শূন্য এবং খাড়া উপরের দিকে ঋণাত্মক। u এর অংশক আনুভূমিক ও উলম্ব দিকে যথাক্রমে ucosa এবং usina.
t সময় পরে বস্তুটির খাড়া সরণ:
\( y= u\sin a.t – \frac{1}{2}gt^{2} …… (i) \)
আনুভূমিক সরণ, x = ucosa.t
\( \Rightarrow t = \frac{x}{u\cos a} \)
(i) এ t এর মান বসিয়ে পাই,
\(y = u\sin a.\frac{x}{u\cos a} – \frac{1}{2} g. \frac{x^{2}}{u^{2}cos^{2}a}\)
\( \Rightarrow y = x\tan a – \frac{gx^{2}}{2u^{2}\cos^{2}a} \)
\(- \frac {gx^2}{2u^2cos^2a} = a, xtana = b \) ধরে পাই, \(y = ax^2 + bx.\) এটি t বর্জিত এবং a 0, তাই এটি একটি পরাবৃত্ত।
অর্থাৎ, উলম্ব তলে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার গতিপথ সর্বদাই একটি পরাবৃত্ত।



এখান থেকে আমরা দুটো সূত্রও পেয়ে যাই।
\( y = x\tan a – \frac{gx^{2}}{2u^{2}\cos^{2}a} \)
\( \Rightarrow y = x\tan a (1 – \frac{gx}{u^{2}\sin 2a}) \)
\( \Rightarrow y = x\tan a (1 – \frac{x}{R}) \) [\(\frac {u^2 sin^2a}{g}= R\), আগের স্মার্টবুকটি দেখে আসতে পারো ]
প্রক্ষেপণ কোণ, \( a = \tan^{-1} ( \frac{x}{R} . \frac{R}{R-x}) \)

সূত্রগুলো মিলাও।


এবার চলো বেশ কিছু গাণিতিক সমস্যা সমাধান করে ফেলা যাক।

রুবেল ভূমি থেকে u আদিবেগে বলটি ছুঁড়ে মারলেন। বৃহত্তম উচ্চতা H হলে প্রমাণ কর, আনুভূমিক পাল্লা, \( R = 4 \sqrt{H(\frac{u^{2}}{2g} – H)} \)

একটি বস্তুকে আনুভূমিকের সাথে 60o কোণে এমনভাবে প্রক্ষেপ করা হলো, যেন তা 7 মিটার ব্যবধানে অবস্থিত 3.5 মিটার উঁচু দুইটি দেওয়ালকে ঠিক উপর দিয়ে অতিক্রম করতে পারে। বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা কত?

একটি খাড়া দেয়ালের পাদদেশ থেকে ভূমি বরাবর x দূরত্বে কোনো বিন্দু হতে 45o কোণে একটি বস্তু নিক্ষেপ করা হলে তা দেয়ালের উপরে দিয়ে গেলো এবং দেয়ালের অপর পার্শ্বে y দূরত্বে মাটিতে পড়লো। দেখাও যে, দেয়ালটির উচ্চতা \( \frac{xy}{x+y} \)

একই বেগে নিক্ষিপ্ত কোনো বস্তুর একই আনুভূমিক পাল্লা R এর জন্য বিচরণকাল t1 , t2 হলে প্রমাণ কর যে, R = ½ gt1t2

একই বেগে নিক্ষিপ্ত কোনো বস্তুর একই আনুভূমিক পাল্লা R এর জন্য সর্বাধিক উচ্চতা h1 , h2 হলে প্রমাণ কর যে, R = 4 h1h2

একজন খেলোয়াড় 3.5 মিটার উচ্চতা হতে ভূমির সাথে 300 কোণে 9.8 মিটার/সেকেন্ড বেগে একটি বল নিক্ষেপ এবং অপর একজন খেলোয়াড় 2.1 মিটার উচ্চতায় বলটি ধরে ফেলে। খেলোয়াড় দু’জন পরস্পর কত দূরে ছিলো?