সপ্তম শ্রেণি: গণিত

সরল সমীকরণ

Supported by Matador Stationary

প্রত্যাশা বইমেলায় গিয়েছে ছোট ভাইয়ের সাথে। বাবা তাদেরকে ৫ হাজার টাকা দিয়ে দিয়েছেন মনমতো বই কেনার জন্য। প্রত্যাশা সায়েন্স ফিকশনের খুব পোকা। সে ভাবছে, আজকে শুধুই সায়েন্স ফিকশন কিনে বাসার লাইব্রেরি ভরিয়ে ফেলবে! আমরা ধরে নেই, সায়েন্স ফিকশন প্রতিটি বইয়ের দাম 200 টাকা। তাহলে প্রত্যাশা সায়েন্স ফিকশনের কয়টি বই কিনতে পারবে বলতে পারবে? আচ্ছা, বইয়ের সংখ্যা যদি আমরা x ধরে নেই, তবে xটি বইয়ের দাম কত হবে,সে তো তুমি জানোই। হ্যাঁ, সেটি হবে 200x টাকা, যা 5000 টাকার সমান। অর্থাৎ, উভয়ের পরিমাণ একটা সমতায় নিয়ে এসে আমরা বইয়ের সংখ্যার মান বা x বের করে ফেলতে পারি। এই “সমতা/সমান করণ” থেকে সমীকরণ নামের উৎপত্তি। অবশ্য সমীকরণ দিয়ে তুলনা বা সাদৃশ্যও নির্ণয় করা হয়।
এবার প্রত্যাশার কাছে ফিরে যাই। এই যে বইয়ের সংখ্যা (x), সেটা হিসেব-নিকেশের আগে আমাদের অজানা ছিলো না? সেজন্য এই x কে আমরা বলবো অজানা রাশি বা চলক। আর এই সমীকরণকে কীভাবে প্রকাশ করা যায়? একদমই সোজা হিসাব: 200x = 5000. এখানে অজানা রাশি একটাই, যার ঘাত 1. সেজন্য এই সমীকরণকে আমরা বলবো, এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ, যাকে সরল সমীকরণ বলা হয়।

সংজ্ঞাসমূহ

চলো এবার নিজেকে ঝালাই করে নেই!


মোবাইলে ডানে বামে swipe করে দেখে নাও নিচের ছবিগুলো। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন। 

ঠিক একইভাবে, a = b এই সমীকরণে আমরা উভয়পাশে c যোগ করে দিতে পারি। তাতে আমাদের সমীকরণের সমতায় কোনো পরিবর্তন আসবে না। এভাবে সমীকরণটি দাঁড়াবে: 

a + c = b + c.

এবার আমরা দুইপক্ষ থেকে সিংহ চাচুদের সরিয়ে ফেলি। তাও উভয়পাশে শক্তিমত্তা সমান বিরাজমান। একইভাবে, a = b সমীকরণে c বিয়োগ করে দিতে পারি, যা দাঁড়ায় এরকম:

a – c = b – c.

এবার এক কাজ করা যাক। দুইদিকেই বাঘ মামার সংখ্যা দ্বিগুণ করে দেওয়া যাক। তাতেও কি কোনো রকম পরিবর্তন আসবে শক্তিমত্তার ব্যবধানে? উত্তর হচ্ছে, অবশ্যই না। ঠিক সেভাবেই, a = b, এই সমীকরণে দুইপাশে একই সংখ্যা বা রাশি দিয়ে গুণ করা যাবে। যেমন, c দিয়ে গুণ করলে:

ac = bc

আর ভাগের ক্ষেত্রেও একই, দুই পাশেই আমরা ভাগ করে দিতে পারি, যা দাঁড়াবে এরকম:

\(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{c}\)

একটা ব্যাপার বলে রাখি, এখানে c এর মান হতে পারে কোনো অজ্ঞাত চলক কিংবা যেকোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা/ভগ্নাংশ।

গানিতিক সমস্যা

১। 200x = 5000 সমীকরণটির মূল নির্ণয় করো এবং সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা করো।

সমাধান:

      200x = 5000

বা, \(\frac{200x}{200}\) = \(\frac{5000}{200}\)

বা, x = 25

আমরা না হয় বইয়ের সংখ্যা, অর্থাৎ x এর মান নির্ণয় করলাম। কিন্তু সেটা সঠিক হয়েছে কিনা, সেটার জন্য আমরা সমীকরণের শুদ্ধি পরীক্ষা করতে পারি। এর জন্য সমীকরণে x এর মান বসিয়ে বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সমান পেলেই বুঝতে হবে, সমীকরণটির সমাধান শুদ্ধ বা সঠিক। চলো দেখে নেওয়া যাক তাহলে।

বামপক্ষ:

    200x

= 5000, যা ডানপক্ষের সমান। তাই সমাধানটি সঠিক হয়েছে। 

২। 5y – 2 = 3y + 8 সমীকরণটির মূল নির্ণয় করো এবং সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা করো।

সমাধানঃ এখানে দুইপাশেই y দেখা যাচ্ছে। তাতে কী? মূল বা সমাধান হচ্ছে অজানা চলক, y এর মান। তাই সকল y যুক্ত রাশিকে আমরা বামদিকে পাঠিয়ে দেই। আর বাকিগুলো ডানদিকে নিয়ে আসি। এটা আমরা করতে পারি এভাবে:

      5y – 2 + 2 = 3y + 8 + 2   [উভয়পক্ষে 2 যোগ করে]

বা, 5y = 3y +10

বা, 5y – 3y = 3y + 10 – 3y   [উভয়পক্ষ থেকে 3y বিয়োগ করে]

বা, 2y = 10

বা, \(\frac{2y}{2}\) = \(\frac{10}{2}\)   [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, y = 5

∴ সমীকরণটির মূল = 5

শুদ্ধি পরীক্ষায় আসি এবার। উভয়দিকেই  y এর প্রাপ্ত মান বসিয়ে দুইদিকে সমান মান পেলে তবেই এই সমাধান সঠিক।

বামপক্ষ  = 5y – 2

                = (5 × 5) – 2

                = 23

ডানপক্ষ = 3y + 8

                = 3 × 5 + 8

                = 23

অর্থাৎ, বামপক্ষ = ডানপক্ষ, তাই সমীকরণটির সমাধান সঠিক বা শুদ্ধ।