এসএসসি উচ্চতর গণিত

অসীম ধারা

Supported by Matador Stationary

ধারা! ধারা এর ইংরেজি হচ্ছে Series।

শামীম কয়েক বছর আগে আমাদের দেশীয় একটি চ্যানেলে আমার প্রিয় লেখক হুমায়ূন আহমেদ এর একটি চমৎকার ধারাবাহিক নাটক দেখছিল “উড়ে যায় বকপক্ষী”। এটি আমাদের দেখা অন্যতম সেরা বাংলা ধারাবাহিক নাটক। কিন্তু শামীম এবার চিন্তা করলো, নাটকে যে গল্প বলা হয় তা কি একটি পর্বে সবকিছু দেখানো হয়?

না। কয়েকটি পর্বে পর্যায়ক্রমে কাহিনী এগুতে থাকে। পর্ব ১ এর কাহিনী যেখানে শেষ হয়, পর্ব ২ ঐখানে আবার শুরু হয়। এভাবে চলতে থাকে ধারাবাহিক নাটক বা Series। এখন গণিতের ধারা আর এই নাটকের মধ্যে মিল কোথায়? চিন্তা কর, নাটকের একেকটি পর্ব হচ্ছে গণিতে একেকটি পদ। আর নাটকে পর পর পর্বগুলো যেমন সম্পর্কযুক্ত মানে একটির পরে আরেকটি আসে, ঠিক তেমনি গণিতে যদি কয়েকটি পদ সম্পর্কযুক্ত থাকে এবং নাটকে সবগুলো পর্ব একত্রে একটি গল্প প্রকাশ করে তেমনি সবগুলো পদ একত্রে যোগ বা বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে যুক্ত হয়ে একটি ধারা তৈরি করে!


ধারার প্রকারভেদ

পদের সংখ্যার উপর ভিত্তি করে ধারা মূলত ২ প্রকার।

আমাদের এই অধ্যায়ে আলোচনা শুধুমাত্র অসীম ধারার মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকবে।


অসীম সমান্তর ধারা

অসীম সমান্তর ধারা সম্পর্কে আলোচনার আগে চলো একটু ‘সমান্তর’ কথাটির অর্থ কী? ‘সমান্তর’ শব্দটির সন্ধি বিচ্ছেদ করলে পাবো, সমান + অন্তর। তাই বলা যায় যে ধারার পর পর দুটি পদের অন্তর মান তাকে সমান্তর ধারা বলে। সমান্তর ধারার কয়েকটি উদাহরণ দেখে আসা যাক!

এখন প্রশ্ন হচ্ছে অসীম ধারার যেহেতু কোন শেষ নাই তাহলে এর পদগুলোর যোগফল কীভাবে বের করবো?

অসীম ধারার পদগুলোর যোগফল নির্ণয় করা বলতে বোঝায় যে নির্দিষ্ট সংখ্যক পদের যোগফল নির্ণয় করা। অর্থাৎ অসীম ধারাটিকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পদ বিশিষ্ট সসীম ধারা বিবেচনা করে এই সসীম ধারা পদগুলোর যোগফল নির্ণয় করতে হবে।


অসীম সমান্তর ধারার সমষ্টি

অসীম সমান্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয় করতে হলে তাহলে আমাদের প্রথমেই লাগবে যে কয়টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে সেই সংখ্যা। অর্থাৎ পদ সংখ্যা। ধরি, পদ সংখ্যা n। তাহলে সেই অসীম ধারা এখন সসীম ধারায় পরিণত হয়েছে! তাহলে পদগুলোর সমষ্টি নির্নয় কীভাবে করবো?
হ্যাঁ, সাধারণ গণিতের সেই সূত্র ব্যবহার করে!

তাহলে এসো এবার তাহলে আমরা একটি সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে এই বিষয়টি শিখে ফেলি!

সমস্যাটি হল:

এখন কীভাবে সমস্যাটি সমাধান করবো? নিচের কয়েকটি সহজ ধাপের মাধ্যমে আমরা এই সমস্যা সমাধান করতে পারি!


অসীম গুণোত্তর ধারা

অসীম গুণোত্তর ধারা! এটির ব্যাপারে পড়ার আগে চলো আমরা দেখি নি যে গুণোত্তর ধারাটি কী?

গুণোত্তর শব্দটিকে যদি একটু সন্ধি বিচ্ছেদ করা যায় তাহলে আমরা কি পাবো?

তাহলে এ কথাটির অর্থ কি দাঁড়ালো? উত্তর শব্দের একটি বাংলা অর্থ হচ্ছে পরে বা শেষে। তাই গুণোত্তর মানে “শেষে গুণ করা আছে”।

এখন প্রশ্ন হলো কার শেষে গুণ করা আছে? উত্তর হচ্ছে ধারার প্রতিটি পদের পরে।

দ্বিতীয় প্রশ্ন হল তাহলে কি গুণ করা আছে? উত্তর হচ্ছে একটি
নির্দিষ্ট সংখ্যা তাই গুণোত্তর ধারার প্রতিটি পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা গুণ করলে ধারার পরের পদটি পাওয়া যায়। সমান্তর ধারায় আমরা যেমন যোগ করেছিলাম গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে গুণ হবে।

গুণোত্তর ধারার কয়েকটি উদাহরণ দেখলেই ব্যপারটি পরিষ্কার হয়ে যাবে।

দেখো, প্রতিটি পদের সাথে 2 গুণ করলে পরের পদটি পাওয়া যায়। এই 2 কে গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত (r) বলে।

তাহলে কোনো গুণোত্তর ধারা সাধারণ অনুপাত কীভাবে নির্ণয় করবো? খুব সহজ! যেকোন একটি পদকে এর আগের পদটি দ্বারা  ভাগ করবা!


অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

অসীম সমান্তর ধারার মতই অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টিও নির্ণয় করা যায়। কিন্তু সেক্ষেত্রে কয়েকটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পদের অর্থাৎ অসীম ধারাটিকে একটি সসীম ধারায় পরিণত করে নিতে হবে।

অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্রটি প্রয়োগে একটি ব্যপার খেয়াল রাখতে হয়। তা হল, সাধারণ অনুপাত, r এর মান!

এই সাধারণ অনুপাত ২ রকম হতে পারে। কী কী?

এই দুধরণের r এর মানের জন্য সূত্রটির আকার দুরকম হয়।

চল তাহলে দুরকম r এর মানের জন্য দুটি সমস্যার সমাধান করা যাক।


অসীম গুণোত্তর ধারার অসীতক সমষ্টি

আচ্ছা, এতক্ষণ তো আমরা দেখলাম যে অসীম ধারার কোন শেষ নেই। কিন্তু অসীম গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে একটা মজার ব্যাপার আছে! নিচের ধারাটি দেখো একটু:

এখানে r এর মান ½, একটু দেখো তো, পদ যত সামনের দিকে যাচ্ছে, এর মান তত ছোট হচ্ছে না?

তাহলে চিন্তা করো তো, যদি পদ আরও সামনের দিকে যেতে থাকে তাহলে পদের মান 0 এর কাছাকাছি যেতে থাকবে। যেতে যেতে কোথায় গিয়ে শেষ হবে? হ্যাঁ। শেষ হবে 0 তে গিয়ে। তাহলে এমন ধারার শেষ পদ 0 হচ্ছে!

তাহলে এমন ধারার সবগুলো পদের সমষ্টি কত হবে?

গুণোত্তর ধারার ব্যাপারে প্রশ্নগুলোর উত্তর দিয়ে দাও দেখি!

 

শেষমেষ আমরা দেখতে পাই,  নাটকে পর পর পর্বগুলো যেমন সম্পর্কযুক্ত মানে একটির পরে আরেকটি আসে, ঠিক তেমনি গণিতে যদি কয়েকটি পদ সম্পর্কযুক্ত থাকে এবং নাটকে সবগুলো পর্ব একত্রে একটি গল্প প্রকাশ করে তেমনি সবগুলো পদ একত্রে যোগ বা বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে যুক্ত হয়ে একটি ধারা তৈরি করে! এভাবে অনেক সহজে গনিতের বাধা নিয়মের প্যাড়া খুব সহজে ধারা অধ্যায়টি বুঝে ফেললো শামীম!