এসএসসি উচ্চতর গণিত

জ্যামিতি

Supported by Matador Stationary

জ্যামিতি


 

পৃথিবীর আকার কেমন? এই গল্প ছোটবেলায় আমরা অনেকেই শুনেছি! কেউ বলে পৃথিবীর আকার গোল, আবার কেউ বলে চ্যাপ্টা গোল – এমন কত কি! এমন দৈনন্দিন জীবনের প্রায় সব কিছুকেই আমরা বৃত্তাকার, চতুর্ভুজাকার এমন বলে থাকি।

এ অধ্যায়ে আমরা উচ্চতর গণিতের কিছু গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য দেখবো এবং কীভাবে সহজে তাদের প্রমাণ করা যায় তা জানবো! চল দেরি না করে শুরু করে দেওয়া যাক!

 

উপপাদ্য ৩.১ – পীথাগোরাসের উপপাদ্য

 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য আমরা সাধারণ গণিতে  দেখেছি। এখানে সেই উপপাদ্য আবার আলোচনা করা হয়েছে শুধুমাত্র পরবর্তী উপপাদ্যগুলো আলোচনার সুবিধার জন্য।

পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি হল, “কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের  উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুবাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান”

 

ছবির মাধ্যমে দেখালে অনেকটা এমন হবে-

 

সাধারণ গণিতে আমরা এই উপপাদ্যের প্রমাণ শিখেছি বলে এখানে আর পুনরাবৃত্তি করলাম না।

 

উপপাদ্য ৩.২ – পীথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য

 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য বলে যে, কোন ত্রিভুজ সমকোণী হলে অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুবাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। আর পীথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য হচ্ছে –

কোন ত্রিভুজের এক বাহুর  উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুবাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে শেষোক্ত বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোন সমকোণ হবে

ছবির মাধ্যমে দেখালে অনেকটা এমন হবে-

 

 

লম্ব অভিক্ষেপ

 

সামনের উপপাদ্যগুলা পড়ার আগে আমরা চল একটা মজার ঘটনা দেখি। তোমরা অনেকেই টর্চ লাইটের আলো দেয়ালে ফেলে হাত দিয়ে নানা ইশারা করে মজার মজার আকৃতি তৈরির খেলা খেলেছো!

এখানে কি হয়? এখানে দেয়ালে তোমার হাতের ছায়া পড়ে। এখন চিন্তা করো তো। হাতের বদলে যদি একটা সরলরেখা হয় কিংবা একটা ঘনক হয়, এবং ঠিক একইভাবে এদের উপরে যদি তুমি আলো ফেলো কোন দেয়ালে বা তলে এদের ছায়া তৈরি হবে। গণিতে এই ছায়াকে বলে লম্ব অভিক্ষেপ!

 

আমাদের পাঠে একটি সরলরেখার ছায়া বা লম্ব অভিক্ষেপ গুরুত্বপূর্ণ।

 

কতিপয় গরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য

এবার আমরা লম্ব অভিক্ষেপ আর পীথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে কিছু গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য প্রমাণ করবো !

 

উপপাদ্য ৩.৩

 

এই উপপাদ্যের সাধারণ নির্বচন দেওয়া আছে যে,

এখন ধাপে ধাপে এই সাধারণ নির্বচন হতে বিশেষ নির্বচন নির্ণয় করবো!

 

এই উপপাদ্যে যেহেতু বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল জড়িত তাই কোনদিক না তাকিয়ে আমরা নির্দ্বিধায় পীথাগোরাসের উপপাদ্য দিয়ে প্রমাণের কাজ শুরু করে দিতে পারি। এখানে তাহলে কোন ত্রিভুজে পীথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করবো? একদম সহজ। ABD এ।

এখন একটু যোগ বিয়োগ করতে হবে।

এবার AD² এবং BD² কে অপসারণের জন্য ACDএ পীথাগোরাসের উপপাদ্য আবার প্রয়োগ করতে হবে।

এখান থেকে AC² এর মান (১) নং এ বসিয়ে দিলেই আমাদের প্রমাণ সম্পন্ন হয়ে যাবে!

 

উপপাদ্য ৩.৪

 

এই উপপাদ্যের সাধারণ নির্বচন দেওয়া আছে যে,

এখন ধাপে ধাপে এই সাধারণ নির্বচন হতে বিশেষ নির্বচন নির্ণয় করবো!

এই উপপাদ্যেও যেহেতু বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল জড়িত তাই কোনদিক না তাকিয়ে আমরা নির্দ্বিধায় পীথাগোরাসের উপপাদ্য দিয়ে প্রমাণের কাজ শুরু করে দিতে পারি। এখানে তাহলে কোন ত্রিভুজে পীথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করবো? একদম সহজ। ABDএ।

এখন দুধরনের ত্রিভুজের জন্য একটু আলাদা যোগ বিয়োগ করা লাগবে!  

এবার প্রাপ্ত সমীকরণদুটিকে ব্যবহার করে কাঙ্খিত প্রমাণ চলে আসবে।

 

 

উপপাদ্য ৩.৫ – অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য

 

এই উপপাদ্যের সাধারণ নির্বচন দেওয়া আছে যে,

এখন ধাপে ধাপে এই সাধারণ নির্বচন হতে বিশেষ নির্বচন নির্ণয় করবো!

এই উপপাদ্য প্রমাণ একদম সহজ! প্রথমে ADB স্থূলোকোণের ক্ষেত্রে উপপাদ্য ৩.৩ প্রয়োগ করি!

এর পরে ADC সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে উপপাদ্য ৩.৪ প্রয়োগ করতে হবে। তাহলে সমীকরণ (২) পাবো।

 

এখন সমীকরণ (১) আর (২) যোগ করলেই পেয়ে যাবো কাঙ্খিত প্রমাণ।

 

এভাবে কিছু বুদ্ধি খাটিয়ে পীথাগোরাসের উপপাদ্যের একটু বিস্তৃতি করা সম্ভব। এই উপপাদ্যগুলোর সাহায্যে সহজেই অনুশীলনীর সমস্যাগুলো সমাধান করা সম্ভব।

শেয়ার করে জানিয়ে দাও বন্ধুদের! আমাদের অন্যান্য