এসএসসি সাধারণ গণিত

বীজগাণিতিক রাশি

Supported by Matador Stationary

কিছু সংজ্ঞা যা না জানলেই নয়!


 

সেলিমের বাবা সরকারি চাকরি করেন। তিনি তাঁর পুরো পরিবার নিয়ে ঢাকায় বসবাস করেন। তোমরা তো জানোই ঢাকায় থাকতে দৈনন্দিন কত খরচ! সেলিমের বাবা একটি ভাড়া বাসায় থাকেন। বাসাটি বেশ বড়সড়ই্, যার ভাড়া দিতে হয় মাসিক ২০ হাজার টাকা করে। এছাড়াও বিদ্যুৎ বিল আলাদা করে পরিশোধ করতে হয়।

এই ব্যাপারটিকে আমরা এভাবে প্রকাশ করতে পারি:

সেলিমের ভাড়া বাসার মাসিক খরচ = 20,000 + বিদ্যুৎ বিল

এখানে বিদ্যুৎ বিল হলো চলক। মাসে মাসে এটি পরিবর্তিত হয়। ধরো, জানুয়ারি মাসে তো বিদ্যুৎ বিল আসলো 1500 টাকা। জানুয়ারি তো শীতের সময়। স্বাভাবিকভাবেই ফ্যান চালানো হয় না তাই বিদ্যুৎ বিল কম এসেছে। কিন্তু গরমের দিনে বিল আসলো 3900 টাকা।

লক্ষ্য করো, বিদ্যুৎ বিল কোনো মাসে লাগে 1500 টাকা, কোনো মাসে লাগে 3900 টাকা, আবার কখনো 2555 টাকা ইত্যাদি। বিদ্যুৎ বিলের কোন নির্দিষ্ট মান নেই। একেক সময় একেক মান ধারণ করে। তাই এটি চলক

এ্ই রকম চলকের নাম আমরা “বিদ্যুৎ বিল” এর মতো পূর্ণ শব্দ ব্যবহার না করে একটি বর্ণ ব্যবহার করি। এর কোন নির্দিষ্ট কারণ নেই, মূলত লেখার সুবিধা এবং সময় বাঁচানোর জন্য আমরা বর্ণ ব্যবহার করি।

তাহলে, আমরা লিখতে পারি, সেলিমের ভাড়া বাসার মাসিক খরচ হলো \(20,000 + x\)
এখানে (20,000 + x) হলো একটি বীজগাণিতিক রাশি

আর এখানে ‘20000’ ও ‘x’ ইত্যাদি প্রত্যেকটি আলাদা আলাদাভাবে একেকটি পদ। আমরা যদি এই ভাবে বীজগাণিতিক রাশিটি প্রকাশ করি:

সেলিমের ভাড়া বাসার মাসিক খরচ \(= 20,000 + x\)

তবে এটি একটি সমীকরণ হবে। এখানে আমরা সেলিমের ভাড়া বাসার মাসিক খরচ পুরোটিকে একটি আলাদা চলক \(y\) হিসেবে নামকরণ করতে পারি, কারণ \(x\) এর বিভিন্ন মানের জন্য y এরও মান ভিন্ন ভিন্ন হয়। কাজেই এটি একটি দুই চলক বিশিষ্ট সরল সমীকরণ। তাহলে দেখো, কী সুন্দরভাবে আমরা “=” চিহ্নের দুইপাশে দুইটি বীজগাণিতিক রাশির মাধ্যমে একটি সমীকরণ পেয়ে গেলাম!


বীজগাণিতিক সূত্র

আমরা আবার সেলিমের গল্পে ফিরে আসি।

বেশ কয়েক বছর কেটে গিয়েছে। সেলিমের বাবা অনেক টাকা-পয়সা জমিয়ে ঢাকায় একটি বর্গাকার জমি কিনলেন। আচ্ছা, তোমাদের তো বলাই হয় নি! সেলিমের একজন বোন ছিল। তো, আরও কয়েক বছর পর, যখন সেলিমের বাবা বেশ বয়স্ক হয়ে গেলেন, তখন তিনি চাকরি থেকে অবসর নিলেন। সেই সময়ে তাঁর হঠাৎ মনে হলো যে তাঁর ছেলেমেয়েদেরকে এখন তার জমি ভাগবাটোয়ারা করে দেয়া উচিত। যেমন ভাবা তেমন কাজ! তিনি তাঁর ছেলে এবং মেয়েকে ডাকলেন এবং জিজ্ঞেস করলেন তারা কে জমির কোন অংশ নিতে চায়। দুইজনেই বললো, “বাবা আপনার জমির যে অংশ ইচ্ছা আপনি আমাদেরকে দেন, তবে জমির আকার বর্গাকার হলো ভালো হয়।”

এ তো মহা যন্ত্রণা! বাবার মত ছেলেমেয়েদেরও বর্গাকার জমি পছন্দ। যাইহোক, বাবা তাদের কাছে ওয়াদা করলেন যে তাদের দুইজনকেই বর্গাকার জমি দেওয়া হবে।

সেলিমের বাবা তাঁর জমি এমনভাবে ভাগ করা শুরু করলেন যেন উভয়ের জমি বর্গাকার হয়। কিন্তু অনেকক্ষণ ধরে চিন্তাভাবনা করার পর বুঝলেন যে একটি বর্গক্ষেত্রকে কখনোই দুইটি বর্গক্ষেত্রে বিভক্ত করা যায় না। একটি বর্গের ভিতর দুইটি বর্গ আঁকলেও নির্দিষ্ট পরিমাণ জায়গা অবশিষ্ট থাকে।

বিষয়টি আরও ভালোভাবে ব্যাখ্যা করা যাক। ধরি, মূল বর্গের একবাহুকে দুইটি অংশে ভাগ করা হলো। প্রথম অংশের দৈর্ঘ্য a চলক দ্বারা ও দ্বিতীয় অংশের দৈর্ঘ্য b চলক দ্বারা প্রকাশ করি। চিত্রের মত এরপর a দৈর্ঘ্যকে একটি বর্গের বাহু ধরে একটি বর্গ আঁকি যার ক্ষেত্রফল হবে \(a \cdot a = a^2\) এবং b দৈর্ঘ্যকে একটি বর্গের বাহু ধরে একটি বর্গ আঁকি যার ক্ষেত্রফল হবে \(a \cdot a = a^2\)

চিত্রটি লক্ষ্য করো:

লক্ষ্য করে দেখো, দুইটি বর্গক্ষেত্র ছাড়াও উভয় বর্গের দুইপাশে আরও একটু জায়গা অবশিষ্ট থাকে। এই জায়গাটুকুর কারণেই বলা যায়, কোন বর্গক্ষেত্রের যেকোনো একটি বাহুকে a ও b দুইটি অংশে ভাগ করলে তাদের পৃথক পৃথক বর্গের ক্ষেত্রফল মূল বর্গের ক্ষেত্রফলের চেয়ে কম হবে। কতটুকু কম হবে? \( ab + ab = 2ab \) পরিমাণ কম হবে।

অতএব, আমরা এখান থেকে একটি সূত্র পেয়ে গেলাম। সূত্রটি হলো, \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

নিচের ভিডিওটি মনোযোগ দিয়ে দেখো, তাহলে বিষয়টি আরও পরিষ্কার হয়ে যাবে!


 

তাই দুঃখজনক হলেও সত্যি, সেলিমের বাবা তাঁর ছেলেমেয়েদেরকে বর্গাকার জমি উপহার দিতে পারলেন না। অতঃপর কী হলো সেটা জানার দরকার নেই! চলো আমরা এই অধ্যায়ের বীজগাণিতিক সূত্রসমূহ ও অনুসিদ্ধান্তসমূহ দেখে ফেলি।

সূত্রসমূহ

অনুসিদ্ধান্তসমূহ

\((a+b)^2 = (a – b)^2 + 4ab\)     ······ প্রমাণ
\((a-b)^2 = (a + b)^2 + 4ab\)
\(a^2 + b^2 = (a – b)^2 + 2ab\)     ······ প্রমাণ
\(a^2 – b^2 = (a + b)^2 – 2ab\)
\(2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2\)     ······ প্রমাণ
\(4ab = (a+b)^2 – (a-b)^2\)     ······ প্রমাণ
\(a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 – 2(ab + bc + ca)\)     ······ প্রমাণ
\(2(ab + bc + ca) = (a+b+c)^2 – (a^2 + b^2 + c^2)\)


আমরা দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিক কাঠামোতে যেভাবে \((a+b)^2\) সূত্রের প্রমাণ দেখলাম, তেমনিভাবে চল এবার ত্রিমাত্রিক কাঠামোতে \((a+b)^3\) সূত্রটি দেখে আসি

 

এখানে কিউবটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a+b\) অর্থাৎ এর আয়তন \((a+b)^3\).

দেখতে পারছো যে কিউবটি বিভিন্ন আয়তনে বিভক্ত করা যায়। এটি \(a^3\), \(b^3\), ৩টি \(a^2b\) ও ৩টি \(ab^2\) আয়তনের বস্তু নিয়ে গঠিত। অর্থাৎ, \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

ঘন সংবলিত সূত্রসমূহ

• \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)     ······ প্রমাণ

•\((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)   ······ একইভাবে নিজেরা প্রমাণ করে দেখো।

অনুসিদ্ধান্তসমূহ


 

• \(a^3 + b^3 =(a+b)(a^2 – ab + b^2)\)

প্রমাণ: \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (a+b){(a+b)^2 – 3ab}\) [\((a+b)\) কমন নিয়ে]
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (a+b){(a^2 + 2ab + b^2) – 3ab}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\)

• \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)

প্রমাণ: একইভাবে নিজেরা প্রমাণ করার চেষ্টা করো।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ

উৎপাদকে বিশ্লেষণ সংক্রান্ত কিছু সংজ্ঞা


চলো, এখন বিভিন্ন রকম বীজগাণিতিক রাশির কোনটির জন্য কীভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করবো তা দেখে নেই!