এসএসসি উচ্চতর গণিত

ঘন জ্যামিতি

Supported by Matador Stationary

স্কুল এর টিফিন এর ছুটিতে অথবা বিকেল হতেই তো তোমরা নেমে আসো মাঠে ক্রিকেট, ফুটবল খেলার জন্য । ফুটবল নিয়ে ছোটাছুটি করে খেলো , আচ্ছা , ফুটবল এর আকার টার কথা কি ভেবেছো? কিরকম? চিন্তা করে দেখো, ফুটবল কে কিন্তু আমরা বৃত্ত বলি না । কেন বলি না? বৃত্ত’র কথা ভাবো । বৃত্ত পুরোটাই কিন্তু একটি পেপার অথবা খাতার উপর ছাড়া দেখা যায় না। কিন্তু ফুটবল এর তো বাস্তব একটা আকার আছে যেটা আমাদের ত্রিমাত্রিক এ পৃথিবীর সাথে খাপ খাইয়ে যায় । ত্রিমাত্রিক মানে কী ? আসলেই তো ? ত্রিমাত্রিক বলতে বুঝানো হচ্ছে যার দৈর্ঘ্য , প্রস্থ , উচ্চতা আছে । চিন্তা করো, তুমি খাতায় একটা মানুষ আঁকলে । যতই সুন্দর করে আঁকো, এর দৈর্ঘ্য , প্রস্থ ই খালি আছে , উচ্চতা নাই ( যা দ্বিমাত্রিক ) । ঘন জ্যামিতি ত্রিমাত্রিক জায়গা ( স্পেস ) এর জন্য জ্যামিতি বাদে আর কিছুই নয় ।

ঘন জ্যামিতি

আসো এবার কিছু খুবই বেসিক জিনিস থেকে আমরা সামনের দিকে এগোতে থাকি । কোনো জিনিসের অর্থ না বুঝলে একবার দেখে নাও , তাহলে সামনে ঘনবস্তুর বেসিক বুঝতে অনেক সুবিধা হবে ।

কিছু প্রাথমিক জিনিস

দ্বিতল কোণ

অভিক্ষেপ

এবার চলো আমরা একটা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ন টপিক এ যাই , এবং তা হলো অভিক্ষেপ । অভিক্ষেপ আসলে তেমন কঠিন কিছুই না। মনে করো একটি বড় কাঠের টুকরো তুমি দুপুরের একদম মাথা বরাবর সুর্যের আলোতে অনুভূমিক ভাবে রাখলে । তাহলে কি হবে ? একটা ছায়া মাটিতে পড়বে না ? অনেকটা সেটাই হলো অভিক্ষেপ । অভিক্ষেপ বের করবার জন্য আমাদের যা করতে হবে তাহলে সেই সরলরেখার দুইটি প্রান্তবিন্দু নিয়ে তাদের অভিক্ষেপ ফেলতে হবে মানে ঐ বিন্দু থেকে লম্ব আকতে হবে সমতলের উপর ।  এবং তা থেকে পুরো রেখার অভিক্ষেপ পাওয়া যাবে । নিচের চিত্রগুলো দেখো :

অভিক্ষেপ

এখানে A বিন্দুর অভিক্ষেপ পড়বে E তে , আর B বিন্দুর অভিক্ষেপ পড়বে F বিন্দুতে । তাহলে AB এর অভিক্ষেপ হবে EF .

ঘন জ্যামিতি

AB এর অভিক্ষেপ হবে EF .

ঘন জ্যামিতি

এক্ষেত্রে খেয়াল করো , A বিন্দুর অভিক্ষেপ কিন্তু A বিন্দুতেই কেননা A বিন্দু সমতলের উপরেই আছে । তাহলে এক্ষেত্রে অভিক্ষেপ হবে AF .

সুষম ঘনবস্তুর আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল

আয়তিক ঘন বা আয়তাকার ঘনবস্তু

আয়তাকার ঘনবস্তুর অনেক উদাহরণই আমরা জানি, যেমন ধরো ইট , বই , আয়তাকার বক্স । নিচের চিত্রটি খেয়াল করো :  

ঘন জ্যামিতি
বলতে পারো এই চিত্র অনুসারে কয়টি পৃষ্ঠ আর ধার আছে ? একটু চিন্তা করলেই দেখবে এর ৬ টি পৃষ্ঠ আছে । প্রত্যেকটা তল আলাদা ভাবে চিন্তা করলেই বের করে নিতে পারবে । যেমন দেখো , ABCD একটি পৃষ্ঠ । BB’C’C , ADD’A’ , A’B’C’D’ , CC’D’D আরো চারটি পৃষ্ঠ ।

এখানে ১২ টি ধার আছে । যেমন AB , AA’ , A’D’ . C’D’ .  চারটি আমি বের করে দিলাম , বাকীগুলো তোমরা মাথা খাটিয়ে বের করে নাও । এখানে কর্ণ BD’ . ঘন জ্যামিতি

চলো এবার আমরা এর আয়তন নির্ণয় করি । আয়তন নির্ণয় এর জন্য তিন অক্ষের তিনটি ধার গুণ করলেই আমরা আয়তন পাবো । সুতরাং আয়তন হবে = abc ঘন একক । সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য যা করতে হবে , যে ৬ টি তল আছে , প্রত্যেক তলের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে এবং এদের সমস্টি নির্ণয় করতে হবে । আমরা জানি , আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য * উচ্চতা । তাহলে আমরা পাই –

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ab + ab + ac + ac + bc + bc =2 (ab + bc + ca ) বর্গ একক

আর কর্ণের মান আমরা ত্রিভুজ BDD’ থেকে বের করতে পারবো ।

তাহলে কর্ণ হবে , BD’ = BD2 +DD’2

                                     =  AB2 + AD2 + DD’2 [ ত্রিভুজ ABD এ পিথাগোরাস ব্যবহার করে ]

                                     = a2 + b2 + c2 একক

ঘনকের ক্ষেত্রে সব ধারই সমান হয় । তার মানে এক্ষেত্রে , a = b = c .

ঘন জ্যামিতি

তাহলে দেখি উপরের সমীকরণ গুলো তে b ও c এর জায়গায় a বসিয়ে ঘনকের জন্য সুত্র বের করে ফেলো দেখি । বের করার পর নিচের কার্ড টি থেকে উত্তর দেখে নাও ঠিক আছে কিনা ।

মোবাইলে স্ক্রিন rotate করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন!