বুয়েট ভর্তি পরীক্ষা: সমাধানসহ প্রশ্নব্যাংক- (২০১৭-১৮) (BUET Admission Test Question Bank 2017-18)

লিখিত অংশ (Written Part)

উচ্চতর গণিত (Higher Mathematics)

1. যদি \mathrm{f} \left(\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}} \right)=\mathrm{x}+2 হয়, তাহলে ডোমেন এবং রেঞ্জসহ \mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x}) বের কর।
সমাধানঃ ধরি, \mathrm{ \frac{1-x}{1+x}=y \Rightarrow 1-x=y+x y \Rightarrow x y+x=1-y \Rightarrow x=\frac{1-y}{1+y}}
সুতরাং, \mathrm{f(y)=\frac{1-y}{1+y}+2=\frac{1-y+2+2 y}{1+y}=\frac{3+y}{1+y}}
এখন, \mathrm{f(x)=\frac{3+x}{1+x}}
সুতরাং, \mathrm{f(x)} এর ডোমেন \mathrm{=f^{-1}(x)} এর রেঞ্জ = R-{-1} (Ans)

2. যদি \left[\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 3\end{array}\right] \times A=\left[\begin{array}{lll}-4 & 8 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ -3 & 6 & 3\end{array}\right] , হয়, তাহলে A ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ ধরি, B=\left[\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 3\end{array}\right] ; \quad C=\left[\begin{array}{lll}-4 & 8 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ -3 & 6 & 3\end{array}\right] সুতরাং B \times A=C
এখন B এর ক্রম =3 \times 1 ; C এর ক্রম =3 \times 3
সুতরাং A এর ক্রম =1 \times 3 \quad\left[\because \mathrm{B}_{(3 \times 1)} \times \mathrm{A}_{(1 \times 3)}=\mathrm{C}_{(3 \times 3)}\right]
ধরি, A =\left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right]
\left[\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 3\end{array}\right] \times\left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}-4 & 8 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ -3 & 6 & 3\end{array}\right] \ldots \ldots \ldots (i)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই, 4 \mathrm{x}=-4 \Rightarrow \mathrm{x}=-1 ; 4 \mathrm{y}=8 \Rightarrow \mathrm{y}=2 ; 4 \mathrm{z}=4 \Rightarrow \mathrm{z}=1
সুতরাং, নির্ণেয় A =\left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1\end{array}\right]

3. যদি \cos \alpha+\sec \alpha=\frac{5}{2} হয়, \cos ^{\mathrm{n}} \alpha+\sec ^{\mathrm{n}} \alpha এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ দেওয়া আছে,
\cos \alpha+\sec \alpha=\frac{5}{2}
\Rightarrow \cos \alpha+\frac{1}{\cos \alpha}=\frac{5}{2}
\Rightarrow \frac{\cos ^{2} \alpha+1}{\cos \alpha}=\frac{5}{2}
\Rightarrow 2 \cos ^{2} \alpha+2=5 \cos \alpha
\Rightarrow 2 \cos ^{2} \alpha-5 \cos \alpha+2=0
\Rightarrow 2 \cos ^{2} \alpha-4 \cos \alpha-\cos \alpha+2=0
\Rightarrow 2 \cos \alpha(\cos \alpha-2)-1(\cos \alpha-2)=0
\Rightarrow(\cos \alpha-2)(2 \cos \alpha-1)=0
\Rightarrow \cos \alpha-2=0 \Rightarrow \cos \alpha=2 ; যেটি অবাস্তব।
অথবা, 2 \cos \alpha-1=0 \Rightarrow \cos \alpha=\frac{1}{2}
সুতরাং নির্ণেয় মান =\cos ^{n} \alpha+\sec ^{n} \alpha
=\cos ^{n} \alpha+\frac{1}{\cos ^{n} \alpha}
=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^{n}
=2^{n}+\frac{1}{2^{n}}
সুতরাং, নির্ণেয় মান =2^{n}+\frac{1}{2^{n}}

4. \mathrm{\left(x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}\right)^{6}} এর বিস্ৃতিতে ধ্রুবক পদের মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ \mathrm{\left(x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}\right)^{6}=\left(x^{2}-2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{6}}
\mathrm{=\left\{\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}\right\}^{6}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{12}}
ধরি, বিস্ৃতির (r+1) তম পদ ধ্রুবপদ।
এখন (r+1) তম পদ =\mathrm{T}_{\mathrm{r}+1}={ }^{12} \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \cdot \mathrm{x}^{12-\mathrm{r}} \cdot(-1)^{\mathrm{r}} \cdot \frac{1}{\mathrm{x}^{\mathrm{r}}}={ }^{12} \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \cdot(-1)^{\mathrm{r}} \cdot \mathrm{x}^{12-2 \mathrm{r}}
আবার ধ্রুবক পদের জন্য 12-2 \mathrm{r}=0 \Rightarrow 2 \mathrm{r}=12 \Rightarrow \mathrm{r}=6
সুতরাং, ধ্রুবক পদ =\mathrm{T}_{6+1}={ }^{12} \mathrm{C}_{6} \cdot(-1)^{6} \cdot \mathrm{x}^{0}={ }^{12} \mathrm{C}_{6}=924 (Ans.)

5. ভেক্টর পদ্ধতিতে 3 \mathrm{\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}} এবং \mathrm{2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}} এর ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ যেহেতু 3 \mathrm{\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}} এবং \mathrm{2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}} এর ছেদবিন্দু মূল বিন্দুতে, তাই মূলবিন্দুগামী যেকোন ভেক্টর 3 \mathrm{\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}} এবং \mathrm{2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}} এর ছেদবিন্দু গামী হবে।
তাই সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ, \overrightarrow{\mathrm{r}}=\langle 0,0,0\rangle+\mathrm{t}\langle\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\rangle
\therefore \mathrm{x}=\mathrm{at}, \mathrm{y}=\mathrm{bt}, \mathrm{z}=\mathrm{ct}
সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণ \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}} যেখানে \mathrm{a} \neq 0, \mathrm{~b} \neq 0, \mathrm{c} \neq 0

6. যদি \mathrm{r e^{i \theta}=\frac{3+2 i}{2+3 i}+\frac{1+5 i}{1-2 i}} , তবে r,~\theta এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ এখানে,
\begin{array}{l} \mathrm{r} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\frac{3+2 \mathrm{i}}{2+3 \mathrm{i}}+\frac{1+5 \mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}} \\ \Rightarrow \mathrm{r} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\frac{(3+2 \mathrm{i})(2-3 \mathrm{i})}{(2+3 \mathrm{i})(2-3 \mathrm{i})}+\frac{(1+5 \mathrm{i})(1+2 \mathrm{i})}{(1-2 \mathrm{i})(1+2 \mathrm{i})} \Rightarrow \mathrm{r} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\frac{6-9 \mathrm{i}+4 \mathrm{i}-6 \mathrm{i}^{2}}{4-9 \mathrm{i}^{2}}+\frac{1+2 \mathrm{i}+5 \mathrm{i}+10 \mathrm{i}^{2}}{1-4 \mathrm{i}^{2}} \\ \Rightarrow \mathrm{r} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\frac{(6+6)+\mathrm{i}(4-9)}{4+9}+\frac{(1-10)+\mathrm{i}(2+5)}{1+4}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] \\ \Rightarrow \mathrm{r} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\frac{12-5 \mathrm{i}}{13}+\frac{-9+7 \mathrm{i}}{5} \Rightarrow \mathrm{r} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\frac{12}{13}-\frac{5}{13} \mathrm{i}-\frac{9}{5}+\frac{7}{5} \mathrm{i} \Rightarrow \mathrm{r} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\frac{-57}{65}+\frac{66}{65} \mathrm{i} \\ \therefore \mathrm{r}=\sqrt{\left(\frac{-57}{65}\right)^{2}+\left(\frac{66}{65}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{32+19+4356}}{65}=\frac{\sqrt{7605}}{65}=\frac{39 \sqrt{5}}{65}=\frac{3}{\sqrt{5}} \text { (Ans.) } \\ \theta=\pi-\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{66}{65}}{\frac{57}{65}}\right)=\pi-\tan ^{-1}\left(\frac{66}{57}\right)(\text { Ans. }) \end{array}

7. এরূপ দুইটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের প্রত্যেকটির কেন্দ্র \mathrm{(3,4)} এবং যারা \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=9 বৃত্তকে স্পর্শ করে।
সমাধানঃ \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=9 বৃত্তের কেন্দ্র \mathrm{C}_{1}(0,0) এবং ব্যাসার্ধ \mathrm{r}_{1}=3
এখন ধরি, নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ \mathrm{=r_{2}} এবং কেন্দ্র \mathrm{C_{2}(3,4)}
\mathrm{C_{1} C_{2}=r_{2} \pm r_{1} \Rightarrow \sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}=r_{2} \pm 3}
\mathrm{\Rightarrow 5=r_{2} \pm 3 \Rightarrow r_{2}=5 \pm 3}
\mathrm{\Rightarrow r_{2}=8}~~ [\text{for} ~(+) ] ~~or, ~~~~\mathrm{r_{2}=2}~~ [\text{for} ~(-)]
সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণঃ \mathrm{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=2^{2}=4} এবং \mathrm{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=8^{2}=64} (Ans.)

8. সমাধান করঃ \mathrm{\cos ^{-1} x-\sin ^{-1} x=\sin ^{-1}(1-x)}
সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\mathrm{ \begin{array}{l} \cos ^{-1}(x)-\sin ^{-1} x=\sin ^{-1}(1-x) \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)-\sin ^{-1}(x)=\sin ^{-1}(1-x) \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left\{\sqrt{1-x^{2}} \cdot \sqrt{1-x^{2}}-x \cdot \sqrt{1-\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}}\right\}=\sin ^{-1}(1-x) \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left\{1-x^{2}-x \cdot \sqrt{1-1+x^{2}}\right\}=\sin ^{-1}(1-x) \\ \Rightarrow \sin ^{-1}\left\{1-x^{2}-x \cdot x\right\}=\sin ^{-1}(1-x) \\ \Rightarrow 1-x^{2}-x^{2}=1-x \\ \Rightarrow 2 x^{2}-x=0 \\ \Rightarrow x(2 x-1)=0 \\ \end{array}}
তাহলে, x=0 অথবা x=\frac{1}{2}
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ x=0, \frac{1}{2} (Ans.)

9. \mathrm{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}-\cos x}{x^{2}}} এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\mathrm{ \begin{array}{l} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{{e^{x^{2}}-\cos x}}{x^{2}}\\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}\cdot 2 x+\sin x}{2 x} ~~~~~[\text{L' Hospital Rule}] \\ =\lim _{x \rightarrow 0}\left\{e^{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{2 x}+\frac{\sin x}{2 x}\right\}\\ =\lim _{x \rightarrow 0} e^{x^{2}}+\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\\ =e^{0}+\frac{1}{2} \cdot 1\\ =1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \text { (Ans.) } \end{array}}

10. একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্রের স্থানাংক \mathrm{(1,-1)}, অনুরূপ দিকাক্ষ \mathrm{x-y-4=0} এবং যা \mathrm{(1,1)} বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
সমাধানঃ

মনে করি, উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা = e
দেয়া আছে, S \equiv(1,-1) ; দিকাক্ষ বা নিয়ামক রেখাঃ \mathrm{x-y-4=0}
ধরি, উপবৃত্তের উপর \mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) বিন্দু
\therefore \mathrm{SP}=\mathrm{e} \cdot \mathrm{pm}
\Rightarrow \sqrt{(\mathrm{x}-1)^{2}+(\mathrm{y}+1)^{2}}=\mathrm{e} \cdot\left|\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}-4}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}\right|
\Rightarrow(\mathrm{x}-1)^{2}+(\mathrm{y}+1)^{2}=\mathrm{e}^{2} \cdot \frac{(\mathrm{x}-\mathrm{y}-4)^{2}}{2} \ldots \ldots \ldots (i)
(i) নং উপবৃত্তটি (1,1) বিন্দুগামী
\therefore(1-1)^{2}+(1+1)^{2}=\mathrm{e}^{2} \cdot \frac{(1-1-4)^{2}}{2}
\Rightarrow 0+4=\mathrm{e}^{2} \cdot \frac{16}{2}
\Rightarrow \mathrm{e}^{2}=\frac{1}{2}
\Rightarrow \mathrm{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}
(i) নং থেকে পাই, \mathrm{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-y-4)^{2}}{2}}
\mathrm{ \Rightarrow 4 x^{2}+4 y^{2}-8 x+8 y+8=x^{2}+y^{2}+16-2 x y-8 x+8 y}
\mathrm{\Rightarrow 3 x^{2}+3 y^{2}+2 x y-8=0} (Ans.)

11. যদি \mathrm{\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}=\underline{0}} এবং \mathrm{|\underline{a}|=3,|\underline{b}|=5,|\underline{c}|=7} হয়, তাহলে \mathrm{\underline{a}} এবং \mathrm{\underline{b}} এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ দেওয়া আছে,
\mathrm{\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}=0}
\mathrm{\Rightarrow \underline{a}+\underline{b}=-\underline{c}}
ধরি, \underline{\mathrm{a}} ও \underline{\mathrm{b}} এর মধ্যবর্তী কোণ =\theta
তাহলে,
(|\mathrm{a}|)^{2}+(|\mathrm{b}|)^{2}+2 \cdot|\mathrm{a}| \cdot|\mathrm{b}| \cdot \cos \theta=(|\mathrm{c}|)^{2}
\mathrm{\Rightarrow 3^{2}+5^{2}+2 \times 3 \times 5 \cos \theta=7^{2}}
\mathrm{\Rightarrow \cos \theta=\frac{7^{2}-3^{2}-5^{2}}{2 \times 3 \times 5}=\frac{1}{2}}
\therefore \mathrm{ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}} (Ans.)

12. \mathrm{O} কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 \mathrm{~cm} এবং \mathrm{AB} চাপের দৈর্ঘ্য 14 \mathrm{~cm} । কোণ \angle \mathrm{AOB} এর মান বের কর এবং চাপ \mathrm{AB} ও জ্যা \mathrm{AB} দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ

দেয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, \mathrm{r}=10 \mathrm{~cm}, ~~\mathrm{AB} চাপের দৈর্ঘ্য \mathrm{s}=14 \mathrm{~cm}
আমরা জানি,
\mathrm{s}=\mathrm{r} \theta
\Rightarrow \theta=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r}}=\frac{14}{10}=1.4^{\mathrm{c}} (Ans.)
ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রফল = বৃত্তকলা AOB এর ক্ষেত্রফল - \triangle \mathrm{AOB} এর ক্ষেত্রফল =\frac{1}{2} \times \mathrm{r}^{2} \theta-\frac{1}{2} \times \mathrm{r}^{2} \sin \theta
=\frac{1}{2} \times r^{2}(\theta-\sin \theta)
=\frac{1}{2} r^{2}\left\{1.4-\sin \left(1.4^{\mathrm{c}}\right)\right\}
=\frac{1}{2} \times 10 \times 10\left\{1.4-\sin \left(1.4^{\mathrm{c}}\right)\right\}
=50 \cdot\{1.4-0.985\}
=50 \times 0.415=20.73 বর্গ সে.মি. (Ans.)

13. \mathrm{y}=\left(\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}\right)^{\mathrm{m}} হলে প্রমাণ কর যে, \left(1+\mathrm{x}^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}+\mathrm{x} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{m}^{2} \mathrm{y}=0 । অতঃপর \mathrm{x}=0 বিন্দু্তে \frac{\mathrm{d}^{3} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{3}} এর মান বের কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \mathrm{y}=\left(\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}\right)^{\mathrm{m}}
\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{m} \cdot\left(\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}\right)^{\mathrm{m}}}{\left(\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}\right)}\left\{1+\frac{2 \mathrm{x}}{2 \sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}}\right\}
\mathrm{\frac{d y}{d x}=m \cdot \frac{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m}}{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}\left\{\frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}}\right\}}
\mathrm{\Rightarrow \sqrt{1+x^{2}} \cdot \frac{d y}{d x}=m \cdot\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m} \ldots \ldots \ldots} (i)
\mathrm{\Rightarrow\left(1+\mathrm{x}^{2}\right) \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^{2}=\mathrm{m}^{2} \mathrm{y}^{2}} [বর্গ করে]
\mathrm{\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) \cdot 2 \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2} \cdot 2 x=m^{2} \cdot 2 y \cdot \frac{d y}{d x}} [x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]
\mathrm{\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right) \cdot x-m^{2} \cdot y=0 \ldots \ldots \ldots (ii) [2 \frac{d y}{d x}} দিয়ে ভাগ করে]
(ii) নং কে \mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
\mathrm{ \left(1+x^{2}\right) \cdot \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \cdot 2 x+x \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-m^{2} \frac{d y}{d x}=0 \ldots \ldots \ldots} (iii)
\mathrm{x=0} হলে, \mathrm{y=\left(0+\sqrt{1+0^{2}}\right)^{m}=1]}
(i) নং সমীকরণে \mathrm{x}=0 বসিয়ে পাই, \mathrm{1 \cdot \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{m} \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{m}}
(ii) নং সমীকরণে \mathrm{x=0, \frac{d y}{d x}=m, y=1} বসিয়ে পাই,
\mathrm{(1+0) \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+0 \cdot m-m^{2} \times 1=0 \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=m^{2}}
(iii) নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,
\mathrm{(1+0) \cdot \frac{\mathrm{d}^{3} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{3}}+\mathrm{m}^{2} \times 2 \times 0+0 \times \mathrm{m}^{2}+\mathrm{m}-\mathrm{m}^{2} \times \mathrm{m}=0 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}^{3} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{3}}=\mathrm{m}^{3}-\mathrm{m}~~~~\text{(Ans.)}}

14. অসীম ধারাটির যোগফল নির্ণয় করঃ 1+\frac{3}{4}+\frac{3.5}{4.8}+\frac{3.5 .7}{4.8 .12}+\cdots \infty ।
সমাধানঃ ধরি, S=1+\frac{3}{4}+\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8}+\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\cdots \infty \ldots (i) \\আমরা জানি, (1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}}=1+\mathrm{nx}+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2 !} \cdot \mathrm{x}^{2}+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !} \mathrm{x}^{3}+\cdots \infty \ldots (ii)\\(i) নং ও (ii) নং সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
\mathrm{nx}=\frac{3}{4} \ldots \ldots \ldots (iii) ;
\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2 \cdot 1} \cdot \mathrm{x}^{2}=\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} \ldots \ldots \ldots (iv)

(iv) নং সমীকরণকে (iii) নং সমীকরণের বর্গ দ্বারা ভাগ করে পাই,
\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1) \mathrm{x}^{2}}{2 \times \mathrm{n}^{2} \mathrm{X}^{2}}=\frac{3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 3} \Rightarrow \frac{\mathrm{n}^{2}-\mathrm{n}}{\mathrm{n}^{2}}=\frac{5}{3} \Rightarrow 1-\frac{1}{\mathrm{n}}=\frac{5}{3} \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{n}}=\frac{-2}{3} \Rightarrow \mathrm{n}=\frac{-3}{2} \ldots \ldots (v)

(iii) \Rightarrow \mathrm{nx}=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{-3}{2} \times \mathrm{x}=\frac{3}{4} \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{-1}{2} \ldots \ldots (vi)

সুতরাং নির্ণেয় যোগফল,
S=(1+x)^{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)^{\frac{-3}{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{-3}{2}}=2^{\frac{3}{2}}=(\sqrt{2})^{3}=2 \sqrt{2} (Ans.)

15. \mathrm{A}(5,3), \mathrm{B}(-2,0) এবং \mathrm{C}(1,1) বিন্দু তিনটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে বৃত্তের কেন্দ্র ও ত্রিভুজ \mathrm{ABC} এর ভরকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
বৃত্তের কেন্দ্র \mathrm{O}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) হলে,
\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \Rightarrow \sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-5\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-3\right)^{2}}=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-1\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-1\right)^{2}}
\Rightarrow \mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}-10 \mathrm{x}_{1}-6 \mathrm{y}_{1}+34=\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}-2 \mathrm{x}_{1}-2 \mathrm{y}_{1}+2
\Rightarrow-8 \mathrm{x}_{1}-4 \mathrm{y}_{1}+32=0 \Rightarrow 2 \mathrm{x}_{1}+\mathrm{y}_{1}-8=0 \ldots \ldots \ldots (i)
এবং \mathrm{OA}=\mathrm{OB} \Rightarrow \sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-5\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-3\right)^{2}}=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}+2\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-0\right)^{2}}
\Rightarrow \mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}-10 \mathrm{x}_{1}-6 \mathrm{y}_{1}+34=\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}+4 \mathrm{x}_{1}+4
\Rightarrow-14 x_{1}-6 y_{1}+30=0 \Rightarrow 7 x_{1}+3 y_{1}-15=0 \ldots \ldots (ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ সমাধান করে পাই, \mathrm{x}_{1}=-9 ; \mathrm{y}_{1}=26
এখন \triangle \mathrm{ABC} এর ভরকেন্দ্র 0\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right) হলে \mathrm{x}_{2}=\frac{5+1-2}{3} ; \mathrm{y}_{2}=\frac{3+1+0}{3} \therefore \mathrm{D} \equiv\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)
সুতরাং, মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\mathrm{OD}=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(-9-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(26-\frac{4}{3}\right)^{2}}
=\sqrt{\frac{961}{9}+\frac{5476}{9}}=\frac{\sqrt{6437}}{3}=26.74 (প্রায়) (Ans.)

16.

\mathrm{x=\frac{1}{y^{2}}, x=y} এবং \mathrm{y=2} রেখাগুলির দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ক্ষেত্রটির চিত্র অংকন কর।
সমাধানঃ \mathrm{x=\frac{1}{y^{2}}} ও \mathrm{x=y} পরস্পর ছেদ করে, তাদের ছেদবিন্দুতে,
\mathrm{ \frac{1}{y^{2}}=y \Rightarrow y^{3}=1 \Rightarrow y=1 \therefore x=\frac{1}{y^{2}}=1}
সুতরাং, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\mathrm{=\int^{2}\left(y-\frac{1}{y^{2}}\right) d y=\left[\frac{y^{2}}{2}+\frac{1}{y}\right]_{1}^{2}=\left(2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1\right)} বর্গ একক =1 বর্গ একক

17. EXAMINATION শব্দটির ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে কত রকমে সাজানো যায়?
সমাধানঃ \underset{\mathrm{~~~~A~I}}{\mathrm{EAI}}\underset{\mathrm{~~~~~~~~~~N}}{\mathrm{OXMNT}}
শব্দটিতে মোট বর্ণ = 11 টি
একই রকম বর্ণ A=2 টি, I=2 টি, N=2 টি
সুতরাং শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা =\frac{11 !}{2 ! \times 2 ! \times 2 !}
শব্দটিতে 5 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ আছে যার মধ্যে 2 টি একইরকম। সুতরাং ব্যাঞ্জনবর্ণকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা =\frac{7 !}{2 ! \times 2 !} \times \frac{5 !}{2 !} ।
সুতরাং, ব্যাঞ্জনবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা
=\frac{11 !}{2 ! \times 2 ! \times 2 !}-\frac{7 !}{2 ! \times 2 !} \times \frac{5 !}{2 !}=4914000 (Ans.)

18. গণিত ও পরিসংখ্যান বিষয়ে 200 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন পরিসংখ্যানে এবং 40 জন গণিতে ফেল করে এবং উভয় বিষয়ে 10 জন ফেল করে। নিরপেক্ষভাবে একজন ছাত্রকে বাছাই করলে তার পরিসংখ্যানে পাস ও গণিতে ফেল হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
সমাধানঃ মোট পরীক্ষার্থী =\mathrm{n}(\mathrm{u})=200
পরিসংখ্যানে ফেল করে =\mathrm{n}(\mathrm{s})=20
গণিতে ফেল করে =\mathrm{n}(\mathrm{m})=40
গণিত ও পরিসখ্যান উভয় বিষয়ে ফেল করে \mathrm{n}(\mathrm{s} \cap \mathrm{m})=10
পরিসংখ্যানে পাস ও গণিতে ফেল করা পরীক্ষার্থী সংখ্যা=
\mathrm{n}\left(\mathrm{s}^{\prime} \cap \mathrm{m}\right)=\mathrm{n}(\mathrm{m})-\mathrm{n}(\mathrm{m} \cap \mathrm{s})=40-10=30
সুতরাং পরিসংখ্যানে পাস ও গণিতে ফেল করার সম্ভাবনা =\mathrm{p}\left(\mathrm{s}^{\prime} \cap \mathrm{m}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{s}^{\prime} \cap \mathrm{m}\right)}{\mathrm{n}(\mathrm{u})}=\frac{30}{200}=\frac{3}{20} (Ans.)

19. 20 \mathrm{~cm} দৈর্ঘ্যের হালকা \mathrm{AB} দণ্ডটি 10 \mathrm{~cm} ব্যবধানে দুইটি পেরেকের উপর আনুভূমিক ভাবে অবস্থিত। \mathrm{A} ও \mathrm{B} বিন্দুতে যথাক্রমে 2 \mathrm{~W} ও 3 \mathrm{~W} ওজন ঝুলানো হলে, পেরেক দুইটির কোন অবস্থানের জন্য এদের উপর চাপ সমান হবে?
সমাধানঃ

দন্ডের দৈর্ঘ্য \mathrm{AB}=20 \mathrm{~cm}
ধরি, পেরেক দুটির উপর সমান চাপ = p
সুতরাং \mathrm{p}+\mathrm{p}=2 \mathrm{w}+3 \mathrm{w} \Rightarrow 2 \mathrm{p}=5 \mathrm{w} \Rightarrow \mathrm{p}=\frac{5 \mathrm{w}}{2} \ldots \ldots \ldots (i)

ধরি A প্রান্ত থেকে খুটিদ্বয়ের দূরত্ব x, x + 10
\mathrm{A} বিন্দুতে বলের ভ্রামকের সূত্রানুযায়ী, 2 \mathrm{w} \times 0+3 \mathrm{w} \times \mathrm{AB}=\mathrm{p} \times \mathrm{AC}+\mathrm{p} \times \mathrm{AD}
\Rightarrow 0+3 \mathrm{w} \times 20=\frac{5 \mathrm{w}}{2} \times \mathrm{x}+\frac{5 \mathrm{w}}{2} \times(\mathrm{x}+10)
\mathrm{\Rightarrow 3 w \times 20=\frac{5 w}{2} \times(2 x+10) \Rightarrow 2 x+10=24 \Rightarrow 2 x=14 \Rightarrow x=7}
সুতরাং পেরেক দুটি A প্রান্ত থেকে 7 \mathrm{~cm} ও 17 \mathrm{~cm} দূরে স্থাপন করতে হবে।

20. স্থিরাবস্থা থেকে একটি বাসকে 3 \mathrm{~ms}^{-2} সমত্বরণে চলতে দেখে বাসটিকে ধরার উদ্দেশ্যে একজন লোক বাসের পেছনে কিছুদূর থেকে 12 \mathrm{~m} / \mathrm{sec} সমবেগে দৌড়াতে আরম্ভ করে। বাস থেকে লোকটি সর্বোচ্চ কত দূরে থাকলে বাসটিকে ধরতে পারবে? \\

সমাধানঃ

ধরি, B বিন্দু থেকে বাসটি 3 \mathrm{~ms}^{-2} ত্বরণে \mathrm{t} সময়ে \mathrm{C} বিন্দুতে পৌছায়। লোকটি A বিন্দু থেকে 12 \mathrm{~ms}^{-1} বেগে দৌড়িয়ে \mathrm{t} সময়ে \mathrm{C} বিন্দুতে পৌছায়।
A ও B এর দূরত্ব x হলে, \mathrm{12 t-\frac{1}{2} 3 t^{2}=x \Rightarrow-3 t^{2}-24 t=2 x \Rightarrow 3 t^{2}+24 t+2 x=0 \ldots \ldots \ldots} (i) এখন লোকটি বাসকে ধরতে হলে t এর মান বাস্তব হতে হবে।
সুতরাং (i) নং সমীকরণের নিশ্চায়ক \geq 0
\Rightarrow(24)^{2}-4 \times 3 \times 2 \mathrm{x} \geq 0 \Rightarrow 24 \times 24 \geq 4 \times 3 \times 2 \mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{x} \leq 24
সুতরাং লোকটি সর্বোচ্চ 24 মি. দূর থেকে বাসকে ধরতে পারবে।

পদার্থবিজ্ঞান (Physics)

21. একটি ক্রিকেট বলের ওজন 0.65 \mathrm{~kg} । একজন ফিল্ডার বলটিকে স্বল্পতম সময়ে 100 \mathrm{~m} দূরত্বে থাকা উইকেট রক্ষকের কাছে পৌঁছাতে চাইলে, ন্যূনতম কত \mathrm{km/h} গতিতে বলটি ছুঁড়তে হবে? \\এই গতিতে ছুঁড়লে কতক্ষণ পর তা উইকেটরক্ষকের কাছে গিয়ে পৌছাবে?
সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \mathrm{R = 100 ~m}
আমরা জানি, \mathrm{R}=\frac{\mathrm{v}_{0}^{2} \sin 2 \theta_{0}}{\mathrm{~g}} \Rightarrow \mathrm{v}_{0}^{2}=\mathrm{Rg} \operatorname{cosec} 2 \theta_{0} \Rightarrow \mathrm{v}_{0}=\sqrt{\mathrm{Rg} \operatorname{cosec} 2 \theta_{0}} \ldots \ldots \ldots (i)
এখन (i) নং সমীকরণ থেকে,
\left(\mathrm{v}_{0}\right)_{\min }=\sqrt{\mathrm{Rg}} যখন \operatorname{cosec} 2 \theta_{0}=1 \Rightarrow \sin 2 \theta_{0}=1 \Rightarrow 2 \theta_{0}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta_{0}=\frac{\pi}{4}
সুতরাং ন্যূনতম বেগ \left(\mathrm{v}_{0}\right)_{\min }=\sqrt{100 \times 9.8}=14 \sqrt{5} \mathrm{~ms}^{-1}=14 \sqrt{5} \times \frac{3600}{100} \mathrm{kmh}^{-1}
=112.7 \mathrm{kmh}^{-1} (Ans.)
প্রয়োজনীয় সময়, \mathrm{T}=\frac{2 \mathrm{v}_{0} \sin \theta_{0}}{\mathrm{~g}}=\frac{2 \times 14 \sqrt{5} \times \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)}{9.8}=4.52 \mathrm{~s} (Ans.)

22. ১টি ক্রেন প্রতিটি \mathrm{50~kg} ওজনের \mathrm{12} টি সিমেন্টের ব্যাগ সমদ্রুতিতে \mathrm{160 ~m} উঁচু একটি নির্মানাধীন ভবনের ছাদে ওঠাতে \mathrm{1 ~min~ 10 ~sec} সময় নেয়। ক্রেনটির ক্ষমতা অশ্বশক্তিতে বের কর।
সমাধানঃ আমরা জানি, ক্ষমতা \mathrm{P=FV}
এখানে, \mathrm{F}=\mathrm{Nmg}=12 \times 50 \times 9.8 \mathrm{~N}=5880 \mathrm{~N}
\mathrm{v}=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{t}}=\frac{160 \mathrm{~m}}{70 \mathrm{~s}}=\frac{16}{7} \mathrm{~ms}^{-1}
সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষমতা, \mathrm{P}=\mathrm{Fv}=5880 \times \frac{16}{7} \mathrm{~W}
=13440 \mathrm{~W}=\frac{13440}{746} \mathrm{HP}=18.02 \mathrm{HP}

23. 80 \mathrm{~kg} ওজনের একটি কৃত্রিম উপগ্রহ ভূপৃষ্ঠ থেকে কত উচ্চতায় স্থাপন করলে তা প্রতি 24 ঘন্টায় 2 বার একই স্থান পর্যবেক্ষণ করতে পারবে? [পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 \mathrm{~km} ও তার ভর 6 \times 10^{21}\mathrm{~Ton} ]
সমাধানঃ দেওয়া আছে, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, \mathrm{R}=6400 \mathrm{~km}=6.4 \times 10^{6} \mathrm{~m}
পৃথিবীর ভর \mathrm{M=6 \times 10^{21}~ Ton =6 \times 10^{21} \times 10^{3} ~kg=6 \times 10^{24} ~kg}
কৃত্রিম উপগ্রহের পর্যায়কাল, \mathrm{T=\frac{24}{2} ~hours =12 ~hours =12 \times 3600 ~s=43200 ~s}
ধরি, কৃত্রিম উপগ্রহের উচ্চতা =\mathrm{h}
আমরা জানি,
\mathrm{T}^{2}=\frac{4 \pi^{2}}{\mathrm{GM}}(\mathrm{R}+\mathrm{h})^{3} \Rightarrow \frac{\mathrm{T}^{2} \mathrm{GM}}{4 \pi^{2}}=(\mathrm{R}+\mathrm{h})^{3} \Rightarrow \mathrm{R}+\mathrm{h}=\left(\frac{\mathrm{T}^{2} \mathrm{GM}}{4 \pi^{2}}\right)^{\frac{1}{3}}
\Rightarrow \mathrm{h}=\left(\frac{\mathrm{T}^{2} \mathrm{GM}}{4 \pi^{2}}\right)^{\frac{1}{3}}-\mathrm{R}=\left\{\frac{(43200)^{2} \times 6.673 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{4 \times \pi^{2}}\right\}^{\frac{1}{3}}-6.4 \times 10^{6} \mathrm{~m}=20.24976 \times 10^{6} \mathrm{~m} (Ans.)

24. একটি সেকেন্ড দোলক ঘড়ি পাহাড়ের পাদদেশে ঠিক সময় দেয় কিন্তু পাহাড়ের চূড়ায় উঠালে 2 ঘন্টায় 8 সেকেন্ড সময়ের পার্থক্য দেখায়। পৃথিবীর ব্যাস 12800 \mathrm{~km} হলে-
(i) পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় কর।
(ii) পাহাড়ের চূড়ায় সঠিকভাবে কাজ করতে হলে দোলকের দৈর্ঘ্য কত \% পরিবর্তন করতে হবে?
সমাধানঃ
(i) প্রশ্নমতে, পাহাড়ের উপর ঘড়ি 2 ঘন্টায় 8s সেকেন্ড ধীরে চলে।
সুতরাং, 24 ঘন্টায় ধীরে চলে \frac{8 \times 24}{2}=96 সেকেন্ড।\\এখন,
পাহাড়ের পাদদেশে দোলনকাল \mathrm{T} এবং চূড়ায় দোলনকাল \mathrm{T}^{\prime} হলে, \frac{\mathrm{T}^{\prime}}{\mathrm{T}}=\frac{86400}{86400-96}=\frac{900}{899} \\পাহাড়ের উচ্চতা \mathrm{h} , পাদদেশে অভিকর্ষজ ত্বরণ \mathrm{g} এবং চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \mathrm{g}^{\prime} হলে,
\frac{\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}}=\mathrm{(\frac{R}{R+h})^{2}} \\আমরা জানি, \\ \frac{\mathrm{T}^{\prime}}{\mathrm{T}}=\sqrt{\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{g}^{\prime}}}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{R}+\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\right)^{2}}=1+\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}} \Rightarrow \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{T}^{\prime}}{\mathrm{T}}-1
\Rightarrow \mathrm{h}=\mathrm{R} \times\left(\frac{\mathrm{T}^{\prime}}{\mathrm{T}}-1\right)=\frac{12800}{2} \times 10^{3} \times\left(\frac{900}{899}-1\right)=7119.02 \mathrm{~m} (Ans.)

(ii) পাদদেশে দোলকের দৈর্ঘ্য l
পাহাড়ের চূড়ায় দোলকের দৈর্ঘ্য l^{\prime} করলে T দোলনকাল অপরিবর্তিত থাকরে।
আমরা জানি, \mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}} \quad সুতরাং \mathrm{L} \propto \mathrm{g}
সুতরাং \frac{\mathrm{l}^{\prime}}{\mathrm{l}}=\frac{\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}} \Rightarrow \frac{1-\mathrm{l}^{\prime}}{\mathrm{l}}=1-\frac{\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}}=1-\frac{(899)^{2}}{(900)} ~~~~~~~~~~[\frac{\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}}=\left(\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}^{\prime}}\right)^{2}=\left(\frac{899}{900}\right)^{2}]
=1-0.9977790123=2.220987 \times10^{-3}=2.220987 \times 10^{-3} \times100 \%=0.22209877 \% (Ans.)

25. 2 \mathrm{~mm} ব্যাসের একটি ইস্পাতের তারের দৈর্ঘ্য 15 \% বৃদ্ধি করতে কত \mathrm{kN} বল প্রয়োগ করতে হবে? এর ফলে তারের ব্যাসের কত পরিবর্তন হবে? [ইস্পাতের Young’s Modulus 2 \times 10^{11} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} এবং Poisson’s ratio is 0.25 ]
সমাধানঃ দেওয়া আছে,
\begin{array}{l} \mathrm{Y=2\times 10^{11}~Nm^{-2}},\sigma=0.25, \frac{l}{L}=15 \%=0.15, d=2 \times 10^{-3}, \mathrm{~m}=2 \mathrm{~mm}, \mathrm{r}=\frac{\mathrm{d}}{2}=1 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \end{array}

আমরা জানি, F = \frac{\text { YAI }}{\text { L }}
=2 \times 10^{11} \times \pi \times\left(1 \times 10^{-3}\right)^{2} \times0.15=94247.78 \mathrm{~N} (Ans.)

আবার, আমরা জানি, \sigma=\frac{\Delta \mathrm{d} \times \mathrm{L}}{\mathrm{d \times l}}
\Rightarrow \Delta \mathrm{d}=\sigma \times \mathrm{d} \times \frac{l}{\mathrm{~L}}=0.25 \times 2 \times 10^{-3} \times 0.15
\Rightarrow \Delta \mathrm{d}=7.5 \times 10^{-5} \mathrm{~m}
\therefore তারের ব্যাস কমে যাবে, \Delta \mathrm{d}=7.5 \times 10^{-5} \mathrm{~m} (Ans.)

26. পানির গভীরতা মাপার জন্য, একটি জলাশয়ের পানির পৃষ্ঠ থেকে 0.005 \mathrm{~m} ব্যাসার্ধের এবং 2.5 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ঘনত্বের একটি বল ছেড়ে দেয়া হল। [/katex] 10 \mathrm{~s} [/katex] পর বলটি জলাশয়ের তলায় পড়ল। যদি 9 \mathrm{~s} এ বলটি প্রান্তিক বেগ অর্জন করে থাকে, তাহলে গভীরতা নির্ণয় কর। [পানির সান্দ্রতা \eta=1.6 \times 10^{-3} \mathrm{Nsm}^{-2} এবং ঘনত্ব 1000 \mathrm{kgm}^{-3} ]
সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \\ \begin{array}{l} \mathrm{r}=0.005 \mathrm{~m}, \rho_{\mathrm{s}}=2.5 \times 10^{3} \mathrm{~kg~m}^{-3}, \mathrm{t}=10 \mathrm{~s}, \rho_{\mathrm{f}}=1000 \mathrm{kgm}^{-3}, \eta=1.6 \times 10^{-3} \mathrm{Nsm}^{-2}, V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \end{array} \\বলের উপর প্রযুক্ত নীট বল, \mathrm{F}=\mathrm{V}\left(\rho_{\mathrm{s}}-\rho_{\mathrm{f}}\right)-6 \pi \eta \mathrm{rv}
\therefore \mathrm{F}=\mathrm{m} \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}} \Rightarrow \mathrm{V}\left(\rho_{\mathrm{s}}-\rho_{\mathrm{f}}\right) \mathrm{g-6} \pi \eta \mathrm{rv}=\mathrm{m} \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}
\Rightarrow \frac{4}{3} \pi \mathrm{r^{3}}\left(\rho_{s}-\rho_{f}\right) \mathrm{g-6} \pi \eta \mathrm{r v}=\frac{4}{3} \pi \mathrm{r^{3}} \rho_{s}\mathrm{ \frac{d v}{d t}} \Rightarrow \mathrm{v}=\mathrm{\frac{2 r^{2}\left(\rho_{s}-\rho_{f}\right) g}{9 \eta}-\frac{2 r^{2} \rho_{s}}{9 \eta} \frac{d v}{d t}}
\Rightarrow \mathrm{v}=\mathrm{v}_{\mathrm{T}}-\frac{2 \mathrm{r}^{2} \rho_{\mathrm{s}}}{9 \eta} \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}} \ldots \ldots \ldots (i) [যেখানে, \mathrm{v}_{\mathrm{T}}=\frac{2 \mathrm{r}^{2}(\rho_{\mathrm{s}}-\rho_{\mathrm{f}}) \mathrm{g}}{9 \eta}]
এখন, \mathrm{ds}=\mathrm{vdt} \Rightarrow \int_{0}^{\mathrm{s}} \mathrm{ds}=\int_{0}^{10} \mathrm{vdt} \Rightarrow[\mathrm{s}]_{0}^{\mathrm{s}}=\int_{0}^{10}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{T}}-\frac{2 \mathrm{r}^{2} \rho_{\mathrm{s}}}{9 \eta} \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\right) \mathrm{dt}
\Rightarrow(\mathrm{s}-0)=\int_{0}^{10} \mathrm{v}_{\mathrm{T}} \mathrm{dt}-\frac{2 \mathrm{r}^{2} \rho_{\mathrm{s}}}{9 \eta} \int_{0}^{\mathrm{v}_{\mathrm{T}}} \mathrm{dv} \quad\left[\mathrm{t}=0\right. সময়ে \mathrm{v}=0 ; \mathrm{t}=10 সময়ে \left.\mathrm{v}=\mathrm{v}_{\mathrm{T}}\right]
\Rightarrow \mathrm{s}=\mathrm{v}_{\mathrm{T}}[\mathrm{t}]_{0}^{10}-\frac{2 \mathrm{r}^{2} \rho_{\mathrm{s}}}{9 \eta} \cdot[\mathrm{v}]_{0}^{\mathrm{v}_{\mathrm{T}}} \Rightarrow \mathrm{s}=\mathrm{v}_{\mathrm{T}} \times 10-\frac{2 \mathrm{r}^{2} \rho_{\mathrm{s}}}{9 \eta} \cdot \mathrm{v}_{\mathrm{T}}
=\mathrm{v}_{\mathrm{T}} \cdot\left(10-\frac{2 \mathrm{r}^{2} \rho_{\mathrm{s}}}{9 \eta}\right)=\frac{2 \times \mathrm{r}^{2}\left(\rho_{\mathrm{s}}-\rho_{\mathrm{f}}\right) \mathrm{g}}{9 \eta}\left(10-\frac{2 \mathrm{r}^{2} \rho_{\mathrm{s}}}{9 \eta}\right)
=\frac{2 \times(0.005)^{2} \times(2500-1000) \times 9.8}{9 \times 1.6 \times 10^{-3}}\left\{10-\frac{2 \times(0.005)^{2} \times 2500}{9 \times 1.6 \times 10^{-3}}\right\}
=51.04 \times(10-8.68)=67.344 \mathrm{~m}
সুতরাং, হ্রদের গভীরতা =67.344 \mathrm{~m}

27. একটি 8 \mathrm{~kg} ভরের চাকার চক্রগতির ব্যাসার্ধ 25 \mathrm{~cm} হলে এর জড়তার ভ্রামক কত হবে? চাকাটিতে 3 ~\mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} কৌণিক ত্বরণ সৃষ্টি করতে কত মানের টর্ক প্রয়োগ করতে হবে?
সমাধানঃ দেওয়া আছে, চাকার ভর \mathrm{m}=8 \mathrm{~kg}
চক্রগতির ব্যাসার্ধ \mathrm{k}=25 \mathrm{~cm}=0.25 \mathrm{~m}
জড়তার ভ্রামক \mathrm{I}=\mathrm{mk}^{2}=8 \times(0.25)^{2}=0.5 \mathrm{~kgm}^{2}
কৌণিক ত্বরণ \alpha=3 ~\mathrm{rads}^{-2}
সুতরাং, প্রযুক্ত টর্ক \tau=\mathrm{I} ~\alpha=0.5 \times 3=1.5 ~\mathrm{Nm} (Ans.)

28. কত ডিগ্রী সেলসিয়াস তাপমাত্রায় অক্সিজেন অণুর মূল গড় বর্গবেগ -100^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রার হাইড্রোজেন অণুর মূল গড় সমান হবে?
সমাধানঃ আমরা জানি, \mathrm{C}_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3 \mathrm{RT}}{\mathrm{M}}} \Rightarrow \mathrm{M}=\frac{3 \mathrm{R}}{\mathrm{C}_{\mathrm{rms}}^{2}} \mathrm{~T}
সুতরাং, \mathrm{M} \propto \mathrm{T}
এখন, \mathrm{M}_{\mathrm{O}_{2}}=32 \mathrm{~g}, \mathrm{~T}_{\mathrm{O}_{2}}=?, \mathrm{M}_{\mathrm{H}_{2}}=2 \mathrm{~g}
\mathrm{T}_{\mathrm{H}_{2}}=-100^{\circ} \mathrm{C}=-100+273=173 \mathrm{~K}
সুতরাং, \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{O}_{2}}}{\mathrm{~T}_{\mathrm{O}_{2}}}=\frac{\mathrm{M}_{\mathrm{H}_{2}}}{\mathrm{~T}_{\mathrm{H}_{2}}} \Rightarrow \mathrm{T}_{\mathrm{O}_{2}}=\frac{\mathrm{M}_{\mathrm{O}_{2}}}{\mathrm{M}_{\mathrm{H}_{2}}} \times \mathrm{T}_{\mathrm{H}_{2}} \Rightarrow \mathrm{T}_{\mathrm{O}_{2}}=\frac{32}{2} \times 173 \Rightarrow \mathrm{T}_{\mathrm{O}_{2}}=2768 \mathrm{~K} (Ans.)

29. কোন স্থানের বায়ুর তাপমাত্রা 26^{\circ} \mathrm{C} এবং আপেক্ষিক আর্দ্রতা 70 \% । যদি সে স্থানের তাপমাত্রা কমে 18^{\circ} \mathrm{C} হয়, তবে বায়ুস্থিত জলীয়বাষ্পের কত শতাংশ ঘনীভূত হয়ে তরল পানি হবে? [ 26^{\circ} \mathrm{C} এবং 18^{\circ} \mathrm{C} এ সম্পৃক্ত জলীয়বাষ্পের চাপ যথাক্রমে 25.21~\mathrm{mm} এবং 15.48 \mathrm{~mm} পারদস্তম্ভের সমান]
সমাধানঃ আমরা জানি আপেক্ষিক অর্দ্রতা R =\frac{f}{F} \times 100 \%

দেওয়া আছে, 26^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত জলীয়বাষ্পের চাপ =25.21 \mathrm{~mm}
26^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রায় বর্তমান জলীয়বাষ্পের চাপ =\mathrm{f}_{\mathrm{i}}

এখন, \mathrm{R}=\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{F}} \times 100 \% \Rightarrow \mathrm{f}_{\mathrm{i}}=\frac{70}{100} \times 25.21=17.647 \mathrm{~mm}

এখন 18^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত জলীয়বাষ্পের চাপ \mathrm{f}_{\mathrm{f}}=15.48 \mathrm{~mm}
অর্থাৎ বর্তমান বাষ্পচাপ > সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ। সুতরাং কিছু বাষ্প ঘনীতূত হবে।
এখন জলীয়বাষ্পের ভর বাষ্পচাপের সমানুপাতিক।

সুতরাং ঘনীভূত হবে =\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{i}}-\mathrm{f}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{17.647-15.48}{17.647} \times 100 \%=12.28 \% (Ans.)

30. সূর্যের আলোতে একটি উত্তল লেন্স রেখে লেন্স থেকে 30 \mathrm{~cm} দূরত্বে একটি পর্দায় সবচেয়ে স্পষ্ট ও উজ্জ্বল আলোর স্পট পাওয়া গেল। লেন্সটির প্রত্যেক পৃষ্ঠের বক্রতার ব্যাসার্ধ 30 \mathrm{~cm} হলে পানিতে তার ক্ষমতা নির্ণয় কর। [পানির প্রতিসরাংক 4/3]
সমাধানঃ
সূর্য অর্থাৎ অসীম দূরত্ব থেকে আলোক রশ্মি লেন্সে আপতিত হলে লেন্সের ফোকাস দূরত্বে প্রতিবিম্ব গঠিত হয়। সুতরাং, বায়ুতে লেন্সের ফোকাস দূরত্ব, \mathrm{f}_{\mathrm{a}}=0.3 \mathrm{~m}
সুতরাং \mathrm{p}_{\mathrm{a}}=\frac{1}{\mathrm{f}_{\mathrm{a}}}=\frac{10}{3} \mathrm{D}
আমরা জানি,
\frac{1}{\mathrm{f}_{\mathrm{a}}}=\left(\frac{\mu_{\mathrm{g}}}{\mu_{\mathrm{a}}}-1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right) \Rightarrow \frac{1}{0.3}=\left(\frac{\mu_{\mathrm{g}}}{1}-1\right)\left(\frac{1}{0.3}-\frac{1}{-0.3}\right)
\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{0.3}=\left(\mu_{g}-1\right) \frac{2}{0.3} \Rightarrow \mu_{g}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2} \\ \text { এখন } p_{w}=\frac{1}{f_{w}}=\left(\frac{\mu_{g}}{\mu_{w}}-1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)=\left(\frac{3 \times 3}{2 \times 4}-1\right)\left(\frac{1}{0.3}-\frac{1}{-0.3}\right) \\ p_{w}=\frac{1}{8} \times \frac{2}{0.3}=\frac{5}{6} \Rightarrow p_{w}=\frac{5}{6} D \text { (Ans.) } \end{array}

31. ইয়ং এর দ্বি-চিড় পরীক্ষায় চিড় দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 0.18 \mathrm{~mm} । চিড়গুলো থেকে 90 \mathrm{~cm} দূরে পর্দায় কোনো একটি একবর্ণী আলোর সাহায্যে ডোরা সৃষ্টি করা হলে, যদি \mathrm{3^{rd}} উজ্জ্বল ডোরাটি কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল ডোরা থেকে \mathrm{8.1~mm} দূরত্বে অবস্থিত হয়, তাহলে আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য বের কর।
সমাধানঃ আমরা জানি,
\begin{array}{l|l}\Delta \mathrm{x}=\frac{\mathrm{nD} \lambda}{\mathrm{d}} & \mathrm{d}=0.18 \mathrm{~mm} =1.8 \times 10^{-4} \mathrm{~m}\\ \lambda=\frac{\Delta \mathrm{xd}}{\mathrm{nD}}=\frac{8.1 \times 10^{-3} \times 1.8 \times 10^{-4}}{3 \times 0.9} & \begin{array}{l}\text{n=3}\\ \mathrm{D}=90 \mathrm{~cm}=0.9 \mathrm{~m} \end{array} \\ =5.4 \times 10^{-7} \mathrm{~m}=540 \mathrm{~nm} \text { (Ans.) } & \Delta \mathrm{x}=8.1 \mathrm{~mm}=8.1 \times 10^{-3} \mathrm{~m}, ~~\lambda=? \end{array}

32. একটি সিলিন্ডারে 300 \mathrm{~K} তাপমাত্রায় ও 10^{6} \mathrm{~Pa} চাপে 0.001 \mathrm{~m}^{3} গ্যাস আছে। গ্যাসটিকে প্রথমে সমোষ্ণ প্রসারণ করা হল এবং পরে রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় আবারও প্রসারণ করা হল, প্রতি ক্ষেত্রেই প্রসারণের অনুপাত 1: 2 । প্রসারণে মোট কাজের পরিমাণ বের কর।
সমাধানঃ সমোষ্ণ প্রসারণে কৃতকাজ \mathrm{W}_{1}=\mathrm{nRT} \ln \left(\frac{\mathrm{V}_{2}}{\mathrm{~V}_{1}}\right)
এখন, \mathrm{PV}=\mathrm{nRT} \Rightarrow \mathrm{n}=\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{RT}}=\frac{10^{6} \times 0.001}{8.314 \times 300}=0.4 \mathrm{~mole}
সুতরাং \mathrm{W}_{1}=\mathrm{nRT} \ln \left(\frac{\mathrm{V}_{2}}{\mathrm{~V}_{1}}\right)=0.4 \times 8.314 \times 300 \ln \left(\frac{2}{1}\right)=691.54 \mathrm{~J}
এখন রুদ্ধতাপীয় প্রত্রিয়ায়,
\mathrm{T}_{1} \mathrm{~V}_{1}^{\gamma-1}=\mathrm{T}_{2} \mathrm{~V}_{2}^{\gamma-1} \Rightarrow \mathrm{T}_{2}=\mathrm{T}_{1}\left(\frac{\mathrm{V}_{1}}{\mathrm{~V}_{2}}\right)^{\gamma-1}=300 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{1.4-1}=227.357 \mathrm{~K}
সুতরাং রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় কৃত কাজ,
\mathrm{W}_{2}=\frac{\mathrm{nR}}{\gamma-1}\left(\mathrm{~T}_{1}-\mathrm{T}_{2}\right)=\frac{0.4 \times 8.314}{1.4-1} \times(300-227.357)=603.95 \mathrm{~J}
সুতরাং মোট কাজ, \mathrm{W}=\mathrm{W}_{1}+\mathrm{W}_{2}=1295.49 \mathrm{~J} (Ans.)

33. এনট্রপি বলতে কি বুঝ? 100^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রার 4 \mathrm{~kg} পানিকে 100^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রার বাষ্পে পরিণত করা হল। এনট্রপির বৃদ্ধি বের কর।
সমাধানঃ এনট্রপি হচ্ছে এমন একটি আবদ্ধ কিন্তু পরিবর্তনশীল সিস্টেমের বিশৃঙ্খলার পরিমাপ যে সিস্টেমে শক্তি শুধুমাত্র শৃঙ্খল অবস্থা থেকে একটি বিশৃঙ্খল অবস্থার দিকে পরিবহন করে থাকে।
দেওয়া আছে,
\mathrm{m}=4 \mathrm{~kg}, ~~~\mathrm{l}_{\mathrm{v}}=2.26 \times 10^{6} \mathrm{~Jkg}^{-1}, \mathrm{~~T}=100^{\circ} \mathrm{C}=373 \mathrm{~K}, ~~~\Delta \mathrm{Q}=\mathrm{ml_v} \quad
এনট্রপির পরিবর্তন \Delta \mathrm{S}=\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\mathrm{T}}=\frac{4 \times 2.26 \times 10^{6}}{373}=24235.924 \mathrm{~JK}^{-1} (Ans.)

34.

একটি লম্বা পরিবাহী তারে, \mathrm{r=0.15} ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার কুণ্ডলী তৈরি করে উহার বাকি অংশ সোজা রাখা হল। অন্য একটি লম্বা পরিবাহী উক্ত কুণ্ডলীর কেন্দ্র \mathrm{d}=0.25 দূরে সমান্তরালে থেকে একই পরিমাণ বিদ্যুৎ চিত্রের ন্যায় বিপরীত দিকে প্রবাহিত হচ্ছে। কুণ্ডলীর কেন্দ্রে 4.72 \mu \mathrm{T} চৌম্বক ক্ষেত্র সৃষ্টি করতে প্রতিটি পরিবাহীতে বিদ্যুৎ প্রবাহ কত হবে?
\left[\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} ~\mathrm{TmA}^{-1}\right]
সমাধানঃ
কুণ্ডলীর কারণে চৌম্বকক্ষেত্র B_{1}=\frac{\mu_{0} I}{2 r} ; দিক কাগজ তলের সাথে লম্বভাবে উপরের দিকে
\mathrm{AB} তারের কারণে চৌম্বকক্ষেত্র \mathrm{B}_{2}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}}{2 \pi \mathrm{r}} ; দিক কাগজ তলের সাথে লম্বভাবে উপরের দিকে
\mathrm{CD} তারের কারণে চৌম্বকক্ষেত্র, \mathrm{B}_{3}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}}{2 \pi \mathrm{d}} ; দিক কাগজ তলের সাথে লম্বভাবে নিচের দিকে
সুতরাং নীট চৌম্বকক্ষেত্র, \mathrm{B}=\mathrm{B}_{1}+\mathrm{B}_{2}-\mathrm{B}_{3} \Rightarrow 4.72 \times 10^{-6}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}}{2 \mathrm{r}}+\frac{\mu_{0} \mathrm{I}}{2 \pi \mathrm{r}}-\frac{\mu_{0} \mathrm{I}}{2 \pi \mathrm{d}}
\Rightarrow 4.72 \times 10^{-6}=\frac{4 \times \pi \times 10^{-7} \times \mathrm{I}}{2}\left(\frac{1}{0.15}+\frac{1}{\pi \times 0.15}-\frac{1}{\pi \times 0.25}\right) \Rightarrow \mathrm{I}=1 \mathrm{~A} (Ans.)

35. একটি সমান্তরাল পাত ধারকের প্রতিটি পাতের ক্ষেত্রফল 200 \mathrm{~cm}^{2} এবং বায়ুতে পাতদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 0.4 \mathrm{~cm} হলে এর (i) ধারকত্ব নির্ণয় কর। (ii) যদি ধারকটি 500 \mathrm{~V} বৈদ্যুতিক উৎসের সাথে সংযোগ করা হয়, তবে ধারকে কত শক্তি সঞ্চিত হবে?
সমাধানঃ A=200 \mathrm{~cm}^{2}=200 \times 10^{-4} \mathrm{~m}=0.02 \mathrm{~m}^{2}
\mathrm{d}=0.4 \mathrm{~cm}=0.4 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}
\mathrm{V}=500 \mathrm{~V}
(i) ধারকত্ব, \mathrm{C=\frac{\epsilon_{0} A}{d}=\frac{8.84 \times 10^{-12} \times 0.02}{4 \times 10^{-3}}=4.43 \times 10^{-11} ~F}
(ii) \mathrm{U=\frac{1}{2} C V^{2}=\frac{1}{2} \times 4.43 \times 10^{-11} \times 500 \times 500=5.53 \times 10^{-6} ~J} (Ans.)

36. একটি 1.5\mathrm{~kW} ইলেক্ট্রিক কেতলীতে 2 লিটার পানি নিয়ে গরম করলে তা \mathrm{6 ~min ~20~sec} পর ফুটতে শুরু করে। প্রথমে কেতলীতে পানির তাপমাত্রা কত ছিল? কেতলীতে পানি ফোটাতে কত unit বিদ্যুৎ খরচ হয়েছে? (তাপক্ষয় নগণ্য ধরা যেতে পারে)
সমাধানঃ
\begin{array}{l}\begin{array}{l|l} \mathrm{pt}=\mathrm{ms} \Delta \theta \Rightarrow \mathrm{pt}=\mathrm{ms}\left(\theta-\theta_{0}\right) & \mathrm{V}=2 \mathrm{~L}=2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} \\ \Rightarrow \theta-\theta_{0}=\frac{\mathrm{pt}}{\mathrm{ms}}=\frac{1.5 \times 10^{3} \times 380}{2 \times 4200}=67.86 & \mathrm{m}=\mathrm{V} \rho=2 \times 10^{-3} \times 10^{3}=2 \mathrm{~kg} \\ \Rightarrow \theta_{0}=\theta-67.86=32.14^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{p}=1.5 \times 10^{3} \mathrm{~W} \\ \text { So, Initial Temperature of water, } \theta_{0}=32.14^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{t}=(6 \times 60+20) \mathrm{s}=380 \mathrm{~s}=\frac{380}{3600} \mathrm{hr} \\ \mathrm{E}=\mathrm{Pt}=1.5 \times \frac{380}{3600} \text { unit }=0.158 \text { unit } & \theta_{0}=? \\ \text { Therefore, total electricity needed }=0.158 \text { unit } & \theta=100^{\circ} \mathrm{C} \\ & \mathrm{s}=4200 \mathrm{Jkg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} \end{array} \end{array}

37. একটি পরিবর্তী প্রবাহকে \mathrm{I}=100 \sin 629 \mathrm{t} অ্যাম্পিয়ার দ্বারা প্রকাশ করা হলে, তড়িৎ প্রবাহের শীর্ষমান, কম্পাঙ্ক এবং বর্গমূলীয় গড় মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ দেওয়া আছে, \mathrm{I}=100 \sin 629 \mathrm{t}\ldots \mathrm{(i);}~~~\mathrm{I}=\mathrm{I}_{0} \sin \omega \mathrm{t}\ldots\mathrm{(ii)}
\mathrm{(i),~(ii)} তুলনা করে পাই, \mathrm { I } _ { 0 } = 1 0 0 \mathrm { A } ~~\text { (Ans.) }
\mathrm{ \omega=629 \Rightarrow 2 \pi \mathrm{f}=629 \Rightarrow \mathrm{f}=100 \mathrm{~Hz}~~\text{(Ans.)}}
\mathrm{I}_{\mathrm{rms}}=\frac{\mathrm{I}_{0}}{\sqrt{2}}=70.71 \mathrm{~A}~~~~\text{(Ans.)}

38. 0.40 \mathrm{~nm} তরঙ্গদৈর্ঘ্যের একটি ফোটন স্থিরাবস্থায় থাকা একটি ইলেকট্রনের সাথে সংঘর্ষের পর ফোটনটি পূর্বের গতিপথের সাপেক্ষে \mathrm{150^{o}} কোণে বিক্ষিপ্ত হয়। বিক্ষিপ্ত ফোটনের বেগ ও তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ দেওয়া আছে,
\lambda_{0}=0.4 \mathrm{~nm}=4 \times 10^{-10} \mathrm{~m}
\mathrm{m}_{0}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
\mathrm{h}=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}
\theta=150^{\circ}

ধরি, বিক্ষিপ্ত ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য \mathrm{=\lambda^{\prime}}
সুতরাং, \mathrm{\lambda^{\prime}-\lambda_{0}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{m}_{0} \mathrm{c}}(1-\cos \theta) \Rightarrow \lambda^{\prime}=\lambda_{0}+\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{m}_{0} \mathrm{c}}(1-\cos \theta)}
\mathrm{=4 \times 10^{-10}+\frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{8}}\left(1-\cos 150^{\circ}\right)}
\mathrm{=4.045 \times 10^{-10} \mathrm{~m}=0.4045 \~nm~~~~\text{(Ans.)}}
বিক্ষিপ্ত ফোটনের বেগ =\mathrm{c}=3 \times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1}~~~\text{(Ans.)}

39. একটি ইলেকট্রন (নিশ্চল ভর 9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} ) আলোর দ্রুতির 90 \% দ্রতিতে চলছে। আইনস্টাইনের আপেক্ষিক তত্ত্ব অনুসারে ইলেকট্রনটির গতিশক্তি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ ইলেকট্রনের নিশ্চল ভর, \mathrm{m}_{0}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
ইলেকট্রনের বেগ, \mathrm{v}=90 \times \frac{1}{100} \times \mathrm{c} \Rightarrow \mathrm{v}=0.9 \mathrm{c}
ধরি, ইলেকট্রনের গতিশক্তি= \mathrm{E_k}
\begin{array}{l} \therefore \mathrm{E_k}=\mathrm{mc}^{2}-\mathrm{m}_{0} \mathrm{c}^{2}=\frac{\mathrm{m}_{0}}{\sqrt{1-\frac{\mathrm{v}^{2}}{c^{2}}}} \cdot \mathrm{c}^{2}-\mathrm{m}_{0} \mathrm{c}^{2}\left[\because \mathrm{m}=\frac{\mathrm{m}_{0}}{\sqrt{1-\frac{\mathrm{v}^{2}}{\mathrm{c}^{2}}}}\right] \\ =\mathrm{m}_{0} \mathrm{c}^{2}\left\{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\mathrm{v}^{2}}{\mathrm{c}^{2}}}}-1\right\}=1.2941 \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(3 \times 10^{8}\right)^{2} \\ =1.0599 \times 10^{-13} \mathrm{~J}=0.66244 ~\mathrm{MeV} \text { (Ans.) } \end{array}

40. কোন তেজস্ক্রিয় পদার্থের অর্ধায়ু 1000 বছর। কত বছর পর উহার তেজস্ক্রিয়তা ক্ষয়প্রাপ্ত হয়ে 1/10 \mathrm{~th} হবে? ঐ তেজস্ক্রিয় পদার্থের গড় আয়ু কত হবে?
সমাধানঃ দেওয়া আছে, \mathrm{T}_{\frac{1}{2}}=1000~\mathrm{years}

আমরা জানি, গড় আয়ু, \tau=\frac{\mathrm{T}_{\frac{1}{2}}}{\ln (2)}=\frac{1000}{0.693}=1442.69~\mathrm{years~~~(Ans.)}

ক্ষয়ধ্রুবক, \lambda=\mathrm{\frac{ln2}{T_\frac{1}{2}};~~N=N_0~\times~\frac{1}{10}}
\begin{array}{l} \mathrm{N}=\mathrm{N}_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\lambda \mathrm{t}} \Rightarrow \frac{\mathrm{N}_{0}}{10}=\mathrm{N}_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{\ln 2}{\mathrm{~T}_\frac{1}{2}} \mathrm{t}} \Rightarrow-\ln (10)=\frac{-\ln (2)}{1000} \mathrm{t} \times \ln (\mathrm{e}) \\ \Rightarrow \mathrm{t}=1000 \times \frac{\ln (10)}{\ln (2)}=3321.928 \text { years (Ans.) } \end{array}

রসায়ন (Chemistry)

41. নির্দিষ্ট আয়তনের বিশুদ্ধ অক্সিজেন গ্যাস একটি ছোট ছিদ্র দিয়ে নিঃসরিত হতে \mathrm{80~seconds} সময় লাগে। একই অবস্থায় সমান আয়তনের 20~\% অজানা গ্যাস মিশ্রিত অক্সিজেন নিঃসরণের জন্য \mathrm{85~seconds} সময় লাগে। অজানা গ্যাসটির আণবিক ভর নির্ণয় কর।
সমাধানঃ দেওয়া আছে, \mathrm{M}_{\mathrm{O}_{2}}=32 \mathrm{~g}, \mathrm{t}_{\mathrm{O}_{2}}=80 \mathrm{sec}, \mathrm{t}_{\text {mixture }}=85 \mathrm{sec}
\mathrm{X}_{\mathrm{O}_{2}}=0.8, \mathrm{X}_{\text {unknown}}=0.2, \mathrm{M}_{\text {unknown}}=\mathrm{W}
\mathrm{M}_{\text {mixture}}=\mathrm{X}_{\mathrm{O}_{2}} \times \mathrm{M}_{\mathrm{O}_{2}}+\mathrm{X}_{\text {unknown}} \times \mathrm{M}_{\text {unknown}}=0.8 \times 32+0.2 \times \mathrm{W}=25.6+0.2 \times \mathrm{W}
আমরা জানি, \mathrm{\sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{mixture}}}=\frac{t_{O_2}}{t_{mixture}} \Rightarrow\frac{M_{O_2}}{M_{mixture}}={(\frac{t_{O_2}}{t_{mixture}})}^{2}\Rightarrow \frac{32}{0.2~W+25.6}={(\frac{80}{85})}^{2}}
\Rightarrow 0.2 \mathrm{~W}+25.6=36.125 \Rightarrow 0.2 \mathrm{~W}=10.525 \Rightarrow \mathrm{W}=52.625 \mathrm{~g~~~(Ans.)}

42. অ্যামোনিয়া অক্সিজেনের সাথে নিম্নের সমীকরণ অনুযায়ী বিক্রিয়া করে।
4 \mathrm{NH}_{3}(\mathrm{~g})+5 \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g})=4 \mathrm{NO}(\mathrm{g})+6 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{g})
কোনো মুহুর্তে অ্যামোনিয়া 0.24 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} \mathrm{~s}^{-1} হারে বিক্রিয়া করলে বিক্রিয়াটির হার সমীকরণটি লিখ এবং \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{g}) উৎপাদনের হার বের কর।
সমাধানঃ
বিক্রিয়াটি হলোঃ 4 \mathrm{NH}_{3}(\mathrm{~g})+5 \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g})=4 \mathrm{NO}(\mathrm{g})+6 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{g})
বিক্রিয়াটির হার সমীকরণঃ
বিক্রিয়ার হার =\frac{-1}{4} \frac{\Delta\left[\mathrm{NH}_{3}\right]}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{-1}{5} \frac{\Delta\left[\mathrm{O}_{2}\right]}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{1}{4} \frac{\Delta[\mathrm{NO}]}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{1}{6} \frac{\Delta\left[\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right]}{\Delta \mathrm{t}}

দেওয়া আছে, \frac{-\Delta\left[\mathrm{NH}_{3}\right]}{\Delta \mathrm{t}}=0.24 ; \frac{\Delta\left[\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right]}{\Delta \mathrm{t}}=?

সমীকরণ থেকে পাই,
\frac{-1}{4} \frac{\Delta\left[\mathrm{NH}_{3}\right]}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{1}{6} \cdot \frac{\Delta\left[\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right]}{\Delta \mathrm{t}} \Rightarrow \frac{\Delta\left[\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right]}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{6}{4}\left(\frac{-\Delta\left[\mathrm{NH}_{3}\right]}{\Delta \mathrm{t}}\right)=\frac{6}{4} \times 0.24=0.36 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}

43. 400 ~\mathrm{ml} ~0.1 ~\mathrm{M} ~~\mathrm{NaOH} এর সাথে 600 ~\mathrm{ml} ~0.2 ~\mathrm{M} এসিটিক এসিড যোগ করে একটি বাফার দ্রবণ প্রস্তুত করা হল। বাফার দ্রবণের \mathrm{pH} কত? (এসিটিক এসিডের জন্যঃ \mathrm{pK}_{\mathrm{a}}=4.76 )।
সমাধানঃ \mathrm{V}_{\mathrm{NaOH}}=400 \mathrm{~mL}=0.4 \mathrm{~L}, \mathrm{~S}_{\mathrm{NaOH}}=0.1 ~\mathrm{M}
\mathrm{V}_{\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}}=600 \mathrm{~mL}=0.6 \mathrm{~L}, \mathrm{~S}_{\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}}=0.2 \mathrm{M}
\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}+\mathrm{NaOH} \rightarrow \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COONa}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
এখানে, \mathrm{V}_{\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}}>\mathrm{V}_{\mathrm{NaOH}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{NaOH}} সুতরাং [katex] \mathrm{NaOH} লিমিটিং বিক্রিয়ক।
দ্রবণে \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COONa} এর,
মোলসংখ্যা \mathrm{n}_{\mathrm{CH}_{2}\mathrm{COONa}} =\mathrm{V}_{\mathrm{Na} \mathrm{OH}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{Na} \mathrm{OH}}=0.4 \times 0.1=0.04
দ্রবণে \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH} এর,
মোলসংখ্যা \mathrm{n}_{\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}}=\mathrm{V}_{\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}}-\mathrm{V}_{\mathrm{NaOH}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{NaOH}}
=0.6 \times 0.2-0.4 \times 0.1=0.08
\therefore \mathrm{pH}=\mathrm{pk}_{\mathrm{a}}+\log \frac{\mathrm{n}_{\mathrm{CH}_{3} \text {COONa }}}{\mathrm{n}_{\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}}}=4.76+\log \left(\frac{0.04}{0.08}\right)=4.46~~~~~\text{(Ans.)}

44. (a) একটি লেড-এসিড ব্যাটারী চার্জ করা হচ্ছে। পজিটিভ পাত ও নেগেটিভ পাতের বিক্রিয়াগুলি লিখ। কোন পাতটি অ্যানোড?
(b) একটি \mathrm{5~ litre} আয়তনের পাত্র 4 ~\mathrm{gm} হাইড্রোজেন ও 7 ~\mathrm{gm} নাইট্রোজেন গ্যাস দ্বারা ভর্তি করা হল । তাপমাত্রা 50^{\circ} \mathrm{C} হলে, পাত্রে চাপ কত?
সমাধানঃ
(a) নেগেটিভ পাতটি অ্যানোড। \left(\mathrm{PbO}_{2}\right. বিহীন \mathrm{Pb} পাত অর্থাৎ নেগেটিভ পাতটি অ্যানোড।)

পজিটিভ পাতে বিক্রিয়াগুলি হলোঃ
\begin{array}{l} \mathrm{Pb} \longrightarrow \mathrm{Pb}^{2+}+2 \mathrm{e}^{-} \\ \mathrm{Pb}^{2+}+\mathrm{SO}_{4}^{2-} \longrightarrow \mathrm{PbSO}_{4}(\mathrm{~s}) \\ \rule{7cm}{0.025cm}\\ \mathrm{Pb}+\mathrm{SO}_{4}^{2-} \longrightarrow \mathrm{PbSO}_{4}(\mathrm{~s})+2 \mathrm{e}^{-} \end{array}

নেগেটিভ পাতে বিক্রিয়াগুলি হলোঃ
\begin{array}{l} \mathrm{PbO}_{2}(\mathrm{~s})+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{Pb}^{4+}+4 \mathrm{OH}^{-} \\ \mathrm{Pb}^{4+}+2 \mathrm{e}^{-} \longrightarrow \mathrm{Pb}^{2+} \\ \mathrm{Pb}^{2+}+\mathrm{SO}_{4}^{2-} \longrightarrow \mathrm{PbSO}_{4}(\mathrm{~s}) \\ 4 \mathrm{OH}^{-}+4 \mathrm{H}^{+} \longrightarrow 4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \\ \rule{11cm}{0.025cm}\\ \mathrm{PbO}_{2}(\mathrm{~s})+4 \mathrm{H}^{+}+\mathrm{SO}_{4}^{2-}+2 \mathrm{e}^{-} \longrightarrow \mathrm{PbSO}_{4}(\mathrm{~s})+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \end{array}

(b)
\begin{array}{l} \mathrm{n}_{\mathrm{H}_{2}}=\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{H}_{2}}}{\mathrm{M}_{\mathrm{H}_{2}}}=\frac{4}{2}=2 \text { mole }, \mathrm{n}_{\mathrm{N}_{2}}=\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{N}_{2}}}{\mathrm{M}_{\mathrm{N}_{2}}}=\frac{7}{28}=0.25 \text { mole } \\ \mathrm{n}=\mathrm{n}_{\mathrm{N}_{2}}+\mathrm{n}_{\mathrm{H}_{2}}=0.25+2=2.25 \text { mole }, \mathrm{V}=5 \mathrm{~L} \\ \mathrm{~T}=50^{\circ} \mathrm{C}=323 \mathrm{~K}, \mathrm{R}=0.0821 \text { Latm } \mathrm{mole}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} \\ \mathrm{PV}=\mathrm{nRT} \Rightarrow \mathrm{P}=\frac{\mathrm{nRT}}{\mathrm{V}}=\frac{2.25 \times 0.0821 \times 323}{5}=11.933 \text { atm (Ans.) } \end{array}

45. \mathrm{Au} তড়িৎদ্বারের মধ্য দিয়ে \mathrm{AuCl}_{4}^{-} আয়নের দ্রবণে অপরিবতনীয় তড়িৎ প্রবাহিত করা হল। 10.0 মিনিট পর ক্যাথোডের ভর 1.314 \mathrm{~gm} বৃদ্ধি পেলে তড়িৎ প্রবাহের মান বাহির কর। (Au এর পারমাণবিক ভর = 197)
সমাধানঃ ক্যাথোড বিক্রিয়াঃ \mathrm{A}^{3+}+3 \mathrm{e}^{-} \longrightarrow \mathrm{Au}
বিক্রিয়া থেকে দেখা যায় \mathrm{e}_{\mathrm{Au}}=3, মোলসংখ্যা [katex] \mathrm{n}_{\mathrm{Au}}=\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}}=\frac{1.314}{197} \mathrm{~mole}
অতিক্রান্ত সময় \mathrm{t}=10 \mathrm{~min}=10 \times 60 \mathrm{sec}, তড়িৎ প্রবাহ [katex] =\mathrm{I}
আমরা জানি, \mathrm{It}=\mathrm{n}_{\mathrm{Au}} \mathrm{e}_{\mathrm{Au}} \mathrm{F} \Rightarrow \mathrm{I} \times 10 \times 60=\frac{1.314}{197} \times 3 \times 96500 \Rightarrow \mathrm{I}=3.22 \mathrm{~A~~~~~(Ans.)}

46. টলুইনকে কিভাবে বেনজিনে এবং বেনজিনকে টলুইনে পরিণত করা যায়? রাসায়নিক বিক্রিয়ার মাধ্যমে দেখাও।
সমাধানঃ

47. কোন যৌগে \ell শোষণ দৈর্ঘ্যের কোনো সেলে আপতিত রশ্মির 10 শতাংশ আলো শোষণ করে। সেলের শোষন দৈর্ঘ্য পাঁচ গুণ বেশী হলে আপতিত রশ্মির কত অংশ শোষিত হবে?
সমাধানঃ আমরা জানি, \log \frac{\mathrm{I}_{0}}{\mathrm{I}} \propto \ell
১ম ক্ষেত্রে, \mathrm{I}_{\mathrm{i}}=0.9 ~\mathrm{I}_{0_{\mathrm{i}}} ~~~~\& ~~~~\ell_{\mathrm{i}}=\ell
২য় ক্ষেত্রে, \ell_{\mathrm{f}}=\ell_{\mathrm{i}}+5 \times \ell_{\mathrm{i}}=6 \ell_{\mathrm{i}}=6 \ell
আমরা জানি,
\frac{\log \left(\frac{\mathrm{I}_{0_{\mathrm{i}}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{i}}}\right)}{\log \left(\frac{\mathrm{I}_{0_{\mathrm{f}}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{f}}}\right)}=\frac{\ell_{\mathrm{i}}}{\ell_{\mathrm{f}}} \Rightarrow \log \left(\frac{\mathrm{I}_{0_{\mathrm{f}}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{f}}}\right)=\frac{\ell_{\mathrm{f}}}{\ell_{\mathrm{i}}} \times \log \left(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{0}_{\mathrm{i}}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{i}}}\right)=\frac{6 \ell}{\ell} \times \log \left(\frac{\mathrm{I}_{0_{\mathrm{i}}}}{0.9 \times \mathrm{I}_{0_{\mathrm{i}}}}\right)=6 \times \log \left(\frac{1}{0.9}\right)
\log \left(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{0}_{\mathrm{f}}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{f}}}\right)=0.2745 \Rightarrow \frac{\mathrm{I}_{0_{\mathrm{f}}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{f}}}=1.8816 \Rightarrow \mathrm{I}_{\mathrm{f}}=0.5314 ~\mathrm{I}_{0_{\mathrm{f}}}
সুতরাং, পরিবর্তিত শতকরা শোষণ =\left(\frac{\mathrm{I}_{0_ \mathrm{f}}-\mathrm{I}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{I}_{0_{\mathrm{f}}}}\right) \times 100 \%=\left(\frac{\mathrm{I}_{0_\mathrm{f}}-0.5314 \mathrm{I}_{0_\mathrm{f}}}{\mathrm{I}_{0_\mathrm{f}}}\right) \times 100 \% =(1-0.5314) \times 100 \%=46.86 \%~~~~~\text{(Ans.)}

48. \mathrm{Ca}^{2+} আয়নকে \mathrm{CaCO}_{3} হিসাবে সম্পূর্ণরূপে অধঃক্ষিপ্ত করতে 200 \mathrm{~mL} আয়তনের একটি পানির নমুনায় 0.025 ~\mathrm{M} ঘনমাত্রার 5.0 \mathrm{~mL} ~~\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3} দ্রবণ প্রয়োজন হল। পানির নমুনাটির ক্ষরতা \text{ppm -} এ হিসাব কর।
সমাধানঃ \mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3} \longrightarrow 2 \mathrm{Na}^{+}+\mathrm{CO}_{3}^{2-}
\mathrm{CO}_{3}^{2-}+\mathrm{Ca}^{2+} \longrightarrow \mathrm{CaCO}_{3}
বিক্রিয়া থেকে লিখা যায় যে,
\mathrm{n}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}}=\mathrm{n}_{\mathrm{CO}_{3}^{2-}}=\mathrm{n}_{\mathrm{CaCO}_{3}}
\begin{array}{l} \therefore \mathrm{n}_{\mathrm{CaCO}_{3}}=\mathrm{V}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}}=5 \times 10^{-3} \times 0.025=1.25 \times 10^{-4} \mathrm{~mole} \\ \therefore\mathrm{s}=\frac{\mathrm{n}_{~\mathrm{CaCO}_{3}}}{\mathrm{~V}_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}}=\frac{1.25 \times 10^{-4}}{200 \times 10^{-3}}=6.25 \times 10^{-4} \mathrm{M} \\ =6.25 \times 10^{-4} \mathrm{~mole} \mathrm{~L}^{-1}=6.25 \times 10^{-4} \times 100 ~\mathrm{gL}^{-1}=0.0625 ~\mathrm{gL}^{-1} \\ =0.0625 \times 10^{3} ~\mathrm{mgL}^{-1}=62.5 ~\mathrm{mgL}^{-1}=62.5 ~\mathrm{ppm} ~~~~\text { (Ans.) } \end{array}

49. একটি \text{1.0 L} আয়তনের শুষ্ক বাতাসের নমুনায় \mathrm{25^{\circ}} তাপমাত্রায় ও \mathrm{786~mm~Hg} চাপে \mathrm{0.925~gm~~N_2} এবং অজানা পরিমাণ অক্সিজেন, আর্গন ও কার্বন ডাইঅক্সাইড সহ অন্যান্য গ্যাস আছে। এই তাপমাত্রায় বাতাসের নমুনায় \mathrm{N}_{2} এর আংশিক চাপ কত?
সমাধানঃ \mathrm{P}=\frac{786}{760} \mathrm{~atm} ; \mathrm{T}=25^{\circ} \mathrm{C}=298 \mathrm{~K} ; \mathrm{V}=1 \mathrm{~L}
\begin{array}{l} \mathrm{n}_{\text {total }}=\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{RT}}=\frac{786 ~\times~ 1}{760~ \times~ 0.0821 ~\times ~298}=0.04227 \mathrm{~mol} \\ \mathrm{n}_{\mathrm{N}_{2}}=\frac{\mathrm{w}}{\mathrm{m}}=\frac{0.925}{28}=0.03304 \mathrm{~mol} \\ \text{Partial pressure of}\mathrm{~N}_{2}, ~\mathrm{P}_{\mathrm{N}_{2}}=\frac{\mathrm{n}_{\mathrm{N}_{2}}}{\mathrm{n}_{\text {total }}} \times \mathrm{P}=\frac{0.03304}{0.04227} \times \frac{786}{760} \text { atm }=0.81 \mathrm{~atm} \text { (Ans.) } \end{array}

50. (a) নিচের অ্যানায়ন গুলোর সংকেত লিখ।
(i) এসিটেট (ii) আয়ডেট (iii) পারক্লোরেট (iv) অক্সালেট (v) আর্সিনেট

(b) নিচের সঙ্কর ধাতুগুলোতে উপস্থিত ধাতুসমূহের নাম লিখ।
(i) স্টেইনলেস স্টীল (ii) নিটিনোল (iii) ব্রাস (iv) ব্রোঞ্জ (v) সোল্ডার

সমাধানঃ

(a)

(b) (i) আয়রন, ক্রোমিয়াম, নিকেল মলিবডেনাম, টাইটেনিয়াম (ii) নিকেল, টাইটেনিয়াম (iii) কপার, জিংক (iv) কপার, টিন (v) লেড, টিন, ইনডিয়াম

51. তিনটি যৌগ \mathrm{E}, \mathrm{F} এবং \mathrm{G} এর আণবিক সংকেত \mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O} । \mathrm{E} অ্যালকোহল, \mathrm{F} কিটোন এবং \mathrm{G} অ্যালডিহাইড। \mathrm{E}, \mathrm{F} এবং \mathrm{G} যৌগের সম্ভাব্য গাঠনিক সংকেত সমূহ লিখ।

52.
(a) একটি নাইট্রোজেনযুক্ত সার ও একটি ফসফরাসযুক্ত সারের নাম গাঠনিক সংকেতসহ লিখ।
(b) লিপস্টিক এ ব্যবহৃত ময়শ্চারাইজার এর গাঠনিক সংকেত লিখ।
(c) চিপস, চানাচুর ইত্যাদি তৈরিতে ব্যবহৃত একটি প্রিজারভেটিভ এর গাঠনিক সংকেত লিখ।
(d) গ্লাস ক্লিনারে কোন ক্ষার ব্যবহার করা হয়।

সমাধানঃ 

(a) নাইট্রোজেনযুক্ত সার - ইউরিয়া।

ফসফরাসযুক্ত সার -  Sigma-Aldrich

(b)  লিপস্টিক এ ব্যবহৃত ময়শ্চারাইজার গ্লিসারল।

(c) চিপস, চানাচুর ইত্যাদি তৈরিতে ব্যবহৃত একটি প্রিজারভেটিভ- সোডিয়াম বেনজয়েট

(d) অ্যামোনিয়াম হাইড্রোক্সাইড Ammonium Hydroxide (NH_4OH)

53. এক লিটার 2.10 আপেক্ষিক গুরুত্ব বিশিষ্ট \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4} এ কি পরিমাণ পাতিত পানি যোগ করলে উহা 1.40 আপেক্ষিক গুরুত্ব বিশিষ্ট \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4} এ পরিণত হবে?
সমাধানঃ
আপেক্ষিক গুরুত্ব = দ্রবণের ঘনত্ব / 4^{\circ}\mathrm{~C} তাপমাত্রায় পানির ঘনত্ব = দ্রবণের ভর / দ্রবণের আয়তন ~\times 4^{\circ}\mathrm{~C} তাপমাত্রায় পানির ঘনত্ব

এখানে,
V_{\text {Solution}}=1 \mathrm{~L}=10^{-3} \mathrm{~m}^{3}, \mathrm{~d}_{1}=2.1, \mathrm{~d}_{2}=1.4, \mathrm{~V}_{\text {Extra Water}}=?

এখন,
\mathrm{d_1=\frac{M_{Soluion}}{V_{Solution}\times1000}}~~~~~~~~~~\therefore \mathrm{M_{Solution}=2.1~kg}

এখন,
\mathrm{M_{Solution}^{\prime}=\mathrm{M}_{Solution}+\mathrm{V}_{Extra~ Water} \times \rho_{~\text {Water}}=2.1+\mathrm{V}_{\text {Extra Water}} \times 1000}
\therefore \mathrm{d_2=\frac{{M^{~\prime}_{Solution}}}{V_{Solution}+V_{Extra~Water}}\Rightarrow V_{Extra~Water}=1.75\times10^{-3}~m^3=1.75~L~~(Ans.)}

54. নিম্নলিখিতভাবে একটি মিশ্রণ তৈরি করা হলঃ 100 ~\mathrm{ml} ~0.05 ~\mathrm{M} ~~\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3} দ্রবণ +~100~ \mathrm{ml} ~0.10 \mathrm{~N} ~~\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4} দ্রবণ +~50 ~\mathrm{ml} ~0.1 \mathrm{~N} ~~\mathrm{NaOH} দ্রবণ +~50~ \mathrm{ml} ~0.2 \mathrm{~N}~~ \mathrm{HCl} দ্রবণ। মিশ্রণটির শক্তিমাত্রা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ মিশ্রণে,
\begin{array}{l} \left[\mathrm{H}^{+}\right]=\frac{\sum\left(\mathrm{e}_{\mathrm{Acid}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{acid}} \times \mathrm{V}_{\mathrm{Acid}}\right)-\sum\left(\mathrm{e}_{\mathrm{Base}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{Base}} \times \mathrm{V}_{\mathrm{Base}}\right)}{\sum \mathrm{V}_{\mathrm{acid}}+\sum \mathrm{V}_{\mathrm{Base}}} \\ =\frac{\mathrm{e}_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}} \times \mathrm{V}_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}}+\mathrm{e}_{\mathrm{HCl}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{HCl}} \times \mathrm{V}_{\mathrm{HCl}}-\mathrm{e}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}} \times \mathrm{V}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}}-\mathrm{e}_{\mathrm{NaOH}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{NaOH}} \times \mathrm{V}_{\mathrm{NaOH}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}}+\mathrm{V}_{\mathrm{HCl}}+\mathrm{V}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}}+\mathrm{V}_{\mathrm{NaOH}}} \\ =\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}} \times \mathrm{V}_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}}+\mathrm{N}_{\mathrm{HCl}} \times \mathrm{V}_{\mathrm{HCl}}-\mathrm{e}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}} \times \mathrm{V}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}} \times \mathrm{S}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}}-\mathrm{N}_{\mathrm{NaOH}} \times \mathrm{V}_{\mathrm{NaOH}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}}+\mathrm{V}_{\mathrm{HCl}}+\mathrm{V}_{\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}}+\mathrm{V}_{\mathrm{NaOH}}} \\ =\frac{0.1 \times 100+50 \times 0.2-2 \times 0.05 \times 100-0.1 \times 50}{100+100+50+50}=\frac{1}{60} \mathrm{M} \\ \end{array}
সুতরাং, শক্তিমাত্রা, \mathrm{pH}=-\log \left[\mathrm{H}^{+}\right]=-\log \left(\frac{1}{60}\right)=1.778 \text { (Ans.) }

55. যদি পানির গঠন তাপ 25^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রায় -68370 ~\mathrm{Cal} হয় তবে 60^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রায় তা কত হবে? দেয়া আছে, \mathrm{C}_{\mathrm{P}}\left(\mathrm{H}_{2}\right)=6.90 ~\mathrm{Cal} ~\mathrm{mole}^{-1} \mathrm{deg}^{-1},~\mathrm{C}_{\mathrm{P}}\left(\mathrm{O}_{2}\right)=7.05 ~\mathrm{Cal ~mole ^{-1}} \mathrm{deg}^{-1},~\mathrm{C}_{\mathrm{P}}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)=18.0~\mathrm{Cal mole^{-1}} \mathrm{deg}^{-1}
সমাধানঃ \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g})+\frac{1}{2} \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g})=\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(~\mathrm{l})
25^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রায় গঠন তাপ -68370 ~\mathrm{Cal}
অর্থাৎ 1 mole পানি উৎপন্ন করতে 68370 ~\mathrm{Cal} তাপ উৎপन्न হয়।
60^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রায় hydrogen, oxygen কর্তৃক অতিরিক্ত গৃহীত তাপ,
=\left(6.90+\frac{1}{2} \times 7.05\right) \times 35 ~\mathrm{Cal}=364.875 ~\mathrm{Cal}
60^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রায় পানি কর্তৃক গৃহীত অতিরিক্ত তাপ = [katex] \mathrm{18.0\times35~Cal=630~Cal}
\therefore অতিরিক্ত গৃহীত তাপের পরিমাণ [katex] =(630-364.875) \mathrm{Cal}=265.125 ~\mathrm{Cal}
\therefore 60^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রায় গঠন তাপ [katex] =(-68370+265.125) \mathrm{Cal}=-68104.875 ~\mathrm{Cal}

56. ফাঁকা স্থানে কী বসবে?

সমাধানঃ

57.

সমাধান:

58. বিক্রিয়ার সাহায্যে দেখাও কি ঘটে যখনঃ
(i) কক্ষ তাপমাত্রায় কপার সালফেট দ্রবণে ধীরে ধীরে অ্যামোনিয়া দ্রবণ যোগ করলেঃ
(ii) \mathrm{ZnCl}_{2} (aq) এবং \mathrm{CuCl}_{2} (aq) অম্লীয় দ্রবণে হাইড্রোজেন সালফাইড গ্যাস চালনা করলেঃ
(iii) লোহিত তপ্ত লোহার নলের মধ্য দিয়ে 400^{\circ} \mathrm{C} তাপমাত্রায় উত্তপ্ত ইথাইন গ্যাস চালনা করলেঃ
(iv) অম্লীয় ফেরিক সালফেট লবণের দ্রবণে অতিরিক্ত অ্যামোনিয়াম থায়োসায়ানাইড দ্রবণ যোগ করলেঃ"
সমাধানঃ

(i) \mathrm{CuSO}_{4} (aq) \stackrel{\mathrm{NH}_{3} \text { (g) }}{\longrightarrow}\left[\mathrm{Cu}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{4}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)\right] \mathrm{SO}_{4}
Or, \mathrm{CuSO}_{4}+\mathrm{NH}_{4} \mathrm{OH}(\mathrm{aq}) \rightarrow\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4}+\mathrm{CuSO}_{4} . \mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2} [ক্ষারীয় কপার সালফেট]
(ii) \mathrm{ZnCl}_{2}(\mathrm{aq})+\mathrm{CuCl}_{2}(\mathrm{aq})+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{~S}(\mathrm{~g}) \stackrel{\text { acidic }}{\longrightarrow} \mathrm{ZnS}+\mathrm{CuS}+4 \mathrm{HCl}
(iii) 3 \mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH} \frac{\mathrm{Fe}}{400^{\circ} \mathrm{C}}
(iv) \mathrm{Fe}_{2}\left(\mathrm{SO}_{4}\right)_{3}+6 \mathrm{NH}_{4} \mathrm{SCN} \stackrel{\text { acidic }}{\longrightarrow} \mathrm{Fe}\left[\mathrm{Fe}(\mathrm{SCN})_{6}\right]+3\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4}

59. পর্যায় সারণীর তৃতীয় পর্যায়ের মৌলগলোঃ \mathrm{Na}, \mathrm{Mg}, \mathrm{Al}, \mathrm{Si}, \mathrm{P}, \mathrm{S}, \mathrm{Cl}, \mathrm{Ar} । এই তথ্য ব্যবহার করে নিম্লের প্রশ্নগুলির উত্তর দাও।
(a) যে মৌলগুলো নাইট্টেট গঠन করে তার তালিকা দাও।
(b) এদের মধ্যে কোন মৌলদ্বয় সচরাচর প্রাপ্ত আয়নিক যৌগ উৎপন্ন করে?
(c) কোন মৌলটি সাধারণত অণু হিসাবে পাওয়া যায়?
(d) কোন মৌলের ধাতব ও অধাতব উভয় বৈশিষ্ট্য আছে?
সমাধানঃ
(a)~ \mathrm{Na, ~Mg,~Al~~~(b) ~Na,~Mg~~~(c) ~Cl,~ P,~ S~~~(d) ~Si}

60. (a) গাঠনিক সংকেত লিখঃ \mathrm{4,4^{\prime}-dichlorodiphenyl~ 1, 1, 1 -trichloroethane}
(b) IUPAC নাম লিখঃ \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \mathrm{CH} \mathrm{CO} \mathrm{CH}_{3}
(c) কার্যকরী মূলকের গাঠনিক সংকেত লিখ।
(i) এস্টার (ii) অ্যামাইড (iii) অ্যানহাইড্রাইড

সমাধানঃ