গতির সমীকরণ প্রতিপাদন (Deduction of Equations of Motion)

অন্তরীকরণ ও যোগজীকরণ-এর সাহায্যে গতির সমীকরণ প্রতিপাদন (Deduction of Equations of Motion with the help of Differentiation and Integration)

(ক) সমবেগে গতিশীল বস্তুর দূরত্বের সমীকরণ প্রতিপাদন (s=vt  বা x=x0+vxt)

মনে করি, একটি বস্তু নির্দিষ্ট দিকে সমবেগে গতিশীল।

ধরি, বস্তুটির সমবেগ = v

আদি সরণ  = 0

t সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব = s

অতি ক্ষুদ্র সময় dt সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব ds হলে

t+dt সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব =s+ds

আমরা জানি,

বেগ, v=dsdt

বা, ds=vdt ………… (3.1)

যখন t=0, তখন s=0 এবং t=t তখন s=s

সমীকরণ (3.1)– কে উল্লিখিত সীমার মধ্যে সমাকলন করে পাওয়া যায়,

0s ds=0t vdt

বা, 0s ds=v0t dt  [∵v  ধ্রুবক]

বা, s=v×t

যদি বস্তুটি X-অক্ষের দিকে গতিশীল হয় এবং গতির শুরুতে অর্থাৎ যখন t = 0, তখন s =x0 এবং যখন t=t তখন s=x এবং বেগ v=vx হয় [চিত্র], তবে সমীকরণ (3.1)-কে উপরোক্ত সীমার মধ্যে সমাকলন করে পাই, 

x0x ds=vx0t dt

বা, x-x0=vxt

বা, [s]x0x=vx[t]0t

     

(খ) সমত্বরণে গতিশীল বস্তুর শেষ বেগের সমীকরণ প্রতিপাদন(v=v0+at  বা, vx=vx0+axt)

মনে করি, কোন একটি দিকে v0 আদি বেগসহ a সমত্বরণে গতিশীল বস্তুর বেগ অতি অল্প dt সময়ে v হয়ে বৃদ্ধি পেয়ে v+dv হয় [চিত্র]। তাহলে,

x=x0+vxt

    

ত্বরণের সংজ্ঞা অনুসারে,

ত্বরণ a=dvdt

বা, dv =adt(3.2)

যখন, t =0 তখন v =v0 এবং যখন t =t  তখন v =v । এই সীমার মধ্যে সমীকরণ (3.2)-এর উভয় পক্ষকে সমাকলন করে পাই,

বা, v0vdv=0tadt

বা, v0vdv=a0tdt

বা, vv0v=at0t

বা, v –v0=at

বা, v =v0+at

 বস্তু সম মন্দনে চললে, মন্দন = –ত্বরণ = -a এবং সেক্ষেত্রে,

v =v0-at

(গ) সমত্বরণে বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্বের সমীকরণ প্রতিপাদন(s =v0t+12at2 বা x =x0+vx0t+12 ax t2)

    

মনে করি, একটি বস্তুকণা v0 আদি বেগসহ এ সমত্বরণে কোনো নির্দিষ্ট দিকে গতিশীল।

বস্তুকণাটি t সময়ে s দূরত্ব অতিক্রম করে v বেগ প্রাপ্ত হয় এবং একই দিকে আরো অতি ক্ষুদ্র dt পরে ds দূরত্ব অতিক্রমের পর v =v+dv বেগ প্রান্ত হয় [চিত্র]।

এখন, তাৎক্ষণিক ত্বরণের সংজ্ঞানুসারে আমরা পাই,

a=dvdt

বা, dv =adt… (3.3)

যখন, t =0 তখন v =v0 এবং যখন t =t তখন v =v ; এই সীমার মধ্যে সমীকরণ (3.3)-নং সমীকরণের উভয় পক্ষকে সমাকলন করে পাই,

v0vdv=0tadt

বা, vv0v=at0t

বা, v –v0=a(t-0)

বা, v =v0+at (3.4)

আবার, তাৎক্ষণিক বেগের সংজ্ঞানুসারে,

বা, v=dsdt

বা, ds =vdt

বা, ds =(v0+at)dt  [(3.4) নং সমীকরণের সাহায্যে]

বা, ds =v0dt+atdt (3.5)

আবার, যখন, t=0 অর্থাৎ গণনার শুরুতে  s =0 এবং t সময় পরে s =s  ; এই সীমার মধ্যে (3.5) নং সমীকরণের উভয় পক্ষকে সমাকলন করে পাই,

0sds=vtv0dt+vtatdt

বা, 0sds=v0vtdt+avttdt

বা, s0s=v0t0t+at220t

বা, s-0=v0t-0+a t22–022

বা, s =v0t+12at2(3.6)

আবার, বস্তুটি স্থির অবস্থান হতে সমত্বরণে গতিশীল হলে, আমরা পাই,

s =0×t+12at2

বা, s =0+12at2

বা, s =12at2

বা, s =ধ্রুবক × t2

বা, s ∝ t2

অর্থাৎ স্থির অবস্থান হতে সম-ত্বরণে চলমান বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব সময়ের বর্গের সমানুপাতিক।

চিত্র সময়ের সঙ্গে সরণের লেখচিত্র দেখানো হয়েছে।

যদি বস্তুটি X অক্ষ বরাবর গতিশীল হয় এবং t=0 সময়ে আদিবেগ = vx0, অন্য যেকোনো সময় t-তে শেষ বেগ = v ও সমত্বরণ ax ধরা হলে সমীকরণ (3.6)লেখা যায়, 

s =vx0t+12axt2

এখন s =0 সময়ে বস্তুটির আদি অবস্থান x0এবং t সময়ে এর অবস্থান x হলে, s=x-x0 হবে। সেক্ষেত্রে

s=x-x0=v0t+12axt2

বা, x=x0–v0t+12axt2 (3.7)

বস্তু a সমত্বরণে না চলে a  সমমন্দনে চললে, মন্দন = – ত্বরণ = – a সমীকরণ (3.7)হতে পাই,

s =v0t-12at2

   

মনে করি, একটি বস্তু X-অক্ষ বরাবর ax সমত্বরণে গতিশীল এবং গণনার শুরুতে অর্থাৎ যখন t=0 

তখন বস্তুটির আদি অবস্থান = x0. বেগ = vx0, এবং t সময় পরে অবস্থান = x, বেগ = vx; এখন, বস্তুটি একই দিকে আরও ক্ষুদ্র সময় dt পরে, dx দূরত্ব অতিক্রম করে vx+dvx বেগ প্রাপ্ত হলে, তাৎক্ষণিক ত্বরণের সংজ্ঞানুসারে আমরা পাই, 

ax=dvxdt

বা, dvx =axdt ……… (3.8)

চিত্র (3.8) নং সমীকরণকে যথাযথ সীমা তথা t = 0 ও  t=t এবং vx0 ও vxসীমার মধ্যে সমাকলন করে পাই,

vx0vxdvx=0taxdt

বা, vvx0vx=axt0t

বা, vx–vx0=ax(t-0)

বা, vx=vx0+axt (3.9)

আবার, তাৎক্ষণিক বেগের সংজ্ঞানুসারে,

vx=dxdt

বা, dx =vxdt

বা, dx =(vx0+axt)dt (3.10) [(3.9) নং এর সাহায্যে]

(3.10) নং এর উভয় পক্ষকে x0 ও x এবং t=0 ও t সীমার মধ্যে সমাকলন করে পাই,

x0xdvx=0t(vx0+axt)dt 

বা, xx0x=v0t0t+axt220t

বা, x-x0 =vx0t+ax12t2

বা, x=x0–vx0t+12axat2

(ঘ) সমত্বরণে বস্তুর আদি বেগ, শেষ বেগ এবং দূরত্বের মধ্যে সম্পর্ক (v2=v02+2as বা vx2=vx02+        2a(x-x0):

মনে করি, কোনো একটি সরলরেখা বরাবর a সমত্বরণে গতিশীল একটি বস্তুর আদি বেগ =v0; t সময় পরে তার শেষ বেগ = v এবং উক্ত সময়ে বস্তুটি s দূরত্ব অতিক্রম করে। v,  v0, a ও s-এর সম্পর্কজনিত সমীকরণ প্রতিপাদন করতে হবে।

তাৎক্ষণিক ত্বরণের সংজ্ঞানুসারে,

a=dvdt

বা, a=dvds×dsds

বা, a=dvds×v

বা, ads=v×dv (3.11)

যখন, s=0  তখন  v=v0 এবং যখন s =s তখন v=v  ; এই সীমার মধ্যে (3.11) নং সমীকরণের উভয় পক্ষকে সমাকলন করে পাই,

0sads=v0vvdv

বা, a0sds=v0vvdv

বা, as0s=v22v0v

বা, a(s-0) =v22–v022

বা, as =v2–v022

বা, 2as =v2–v02

বা, v2=v02+2as

আবার, বস্তুটি স্থির অবস্থান হতে সমত্বরণে চলা শুরু করলে, আমারা পাই,

বা, v2=02+2as

বা, v2=2as

বা, v2=ধ্রুবক ×s [∵ 2a  ধ্রুব সংখ্যা ]

বা, v2∝s

বা, v∝s

অর্থাৎ স্থির অবস্থান হতে সমত্বরণে গতিশীল কোনো বস্তুর শেষ বেগ অতিক্রান্ত দূরত্বের বর্গমূলের সমানুপাতিক।  

vx2=vx02+2a(x-x0) [ প্রতিপাদন ]

মনে করি, একটি বস্তু X– অক্ষ বরাবর ax সমত্বরণে গতিশীল ।

গণনার শুরুতে, অর্থাৎ যখন সময় t=0; তখন বস্তুটির আদিবেগ vx0 এবং আদি অবস্থান = x0 এবং t সময়ে পর বেগ = vx এবং অবস্থান =x

এখন ঐ বস্তুটি X-অক্ষ বরাবরই আরো অতি ক্ষুদ্র সময় dt পরে vx+dvx বেগ প্রাপ্ত হলে, তাৎক্ষণিক ত্বরণে সংজ্ঞানুসারে, আমরা পাই, 

ax=dvxdt

বা, ax=dvxdx×dxdt

বা, ax=dvxdxvx

বা, axdx=vxdvx  (3.12)

যখন,  x=x0তখন  v=vx0 এবং যখন x =x তখন v=vx  ; এই সীমার মধ্যে (3.12) সমীকরণের উভয় পক্ষকে সমাকলন করে পাই,

x0xaxdx=vx0vxvxdx

বা, axx0xdx=vx0vxvxdx

বা, axxx0x=vx22vx0vx

বা, ax(x-x0) =vx22–vx022

বা, ax(x-x0)=vx2–vx022

বা, vx2–vx02=2ax(x-x0)

বা, vx2=vx02+2ax(x-x0)

লেখচিত্র থেকে গতির সমীকরণ প্রতিপাদন (Deduction of Equations of Motion from Graphs)

(ক) s =v0t+12at2

    

আমরা জানি সমত্বরণে গতিশীল কোনো বস্তুর ক্ষেত্রে এর বেগ v এর সমীকরণ হলো: v =v0+at

এখন X-অক্ষের দিকে সময় t এবং Y-অক্ষের দিকে বেগ v নিয়ে v বনাম t লেখচিত্র অঙ্কন করা হলো। (চিত্র)। 

এটি Y-অক্ষকে ছেদকারী একটি সরলরেখা হয় যা  y=mx+c  সমীকরণ মেনে চলে। আমরা জানি, v বনাম t লেখচিত্রের যেকোনো বিন্দু থেকে X-অক্ষের উপর লম্ব টানলে যে ক্ষেত্র উৎপন্ন হয় তার ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে v এবং t এর গুণফল তথা অতিক্রান্ত দূরত্ব s ।

AB রেখার উপর যেকোনো বিন্দু P নেয়া হয়। P থেকে X-অক্ষের উপর PQ লম্ব টানা হয়। তাহলে OP = t সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব s হবে। AOQP ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

ধরা যাক, কণাটির সমত্বরণ a এবং আদিৰেগ, v0= OA

অতিক্রান্ত সময়, t= OQ

এবং t  সময়ে অতিক্রান্তি দূরত্ব, s = AOQP ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

                                 = AOQR আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ARP ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

                                 = AO × OQ + 12 ×AR × PR

     বা, s = AO × OQ + 12 × OQ × PR [∵AR=OQ]

কিন্তু AB রেখার ঢাল হচ্ছে কণাটির ত্বরণ a,

∴ a= PRAR

∴ PR=a×AR

=a× OQ

∴s = AO × OQ + 12 a ×OQ2

বা, s =v0t+12at2

(খ) v2=v02+2as -সমীকরণ প্রতিপাদন 

 

আমরা জানি, সমত্বরণে গতিশীল কোনো বস্তুর ক্ষেত্রে বেগ v -এর সমীকরণ হলো v =v0+at। এখন X-অক্ষের দিকে সময় t এবং Y-অক্ষের দিকে বেগ v নিয়ে v বনাম t লেখচিত্র অঙ্কন করা হয় (চিত্র)। এটি Y অক্ষকে ছেদকারী একটি সরলরেখা হয় যা y=mx+c  সমীকরণ মেনে চলে। আমরা জানি, v বনাম t লেখচিত্রের যে কোনো বিন্দু থেকে X-অক্ষের উপর লম্ব টানলে যে ক্ষেত্র উৎপন্ন হয় তার ক্ষেত্রফল v এবং t এর গুণফল তথা অতিক্রান্ত দূরত্ব s  নির্দেশ করে। 

AB রেখার উপর যেকোনো বিন্দু P নেয়া হয়। P থেকে X-অক্ষের উপর PQ লম্ব টানা হয়। তাহলে OQ = t সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব s  হবে AOQP ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

এবং আদিবেগ, v0 = OA

অতিক্রান্ত সময়, t = OQ

ধরা যাক, কণাটির সমত্বরণ = a

∴2s =OQ (2OA  + RP)

=OQ (OA + OA  + RP)

এবং t সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব s= AOQP ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

                               = AOQR আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ARP ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

                               =OQ × OA+ OQ×RP2

∴ s  =OQ × OA+ 12×AR×RP

∴ a= RPAR

2s=v2–v02a

∴v2–v02= 2as

v2=v02+ 2as

2s=(v-v0)(v+v0)a

2s=QP-QR a (v+v0)

∴2s=RP a (v+v0)   [∵OA=v0 এবং  QP=v]

∴AR= RPa

কিন্তু AB এর ঢাল হচ্ছে কণাটির ত্বরণ a

=AR (OA + QR + RP)

=AR (OA + QP)

=OQ2OA+RP2

=OQOA+RP2