10 Minute School
Log in
HomeHSC and SSC Subjects Math HSC 1st Paper Chapter 03: সরলরেখা সরলরেখার সমীকরণ | Equation of Straight Line

সরলরেখার সমীকরণ | Equation of Straight Line

বিভিন্ন সরলরেখার সমীকরণ সুত্র সমূহ

সরলরেখার সমীকরণ হল একটি গাণিতিক সমীকরণ যা একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত সকল বিন্দুর x এবং y স্থানাঙ্কের মধ্যকার সম্পর্ককে প্রকাশ করে। এই সমীকরণটি সাধারণত x এবং y চলকের একটি একঘাত সমীকরণের আকারে থাকে। সবচেয়ে সাধারণ আকারের সরলরেখার সমীকরণ সূত্র হল:

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

(ক) xx অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা AB এর সকল বিন্দুর কোটি y=by = b

∴x\therefore x অক্ষের সমন্তরল রেখার সমীকরণ y=by = b

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

যেখানে b হল x অক্ষ হতে AB সরলরেখার দূরত্ব। 

অনুসিদ্ধান্ত (১) 

xx অক্ষরেখার সমীকরণ y=0y = 0

অনুসিদ্ধান্ত (২)

xx– অক্ষের সমান্তরল রেখাকে yy– অক্ষের উপর লম্ব রেখাও বলা হয়। সুতরাং, yy– 

অক্ষের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ y=by = b. 

(খ) yy অক্ষের সমান্তরাল রেখা ABA B– এর সকল বিন্দুর ভুজ x=ax = a

∴y\therefore y অক্ষরেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ x=ax = a 

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

যেখানে aa হলে yy অক্ষ থেকে ABA B সরলরেখার দূরত্ব। 

অনুসিদ্ধান্ত (১)

y অক্ষরেখার সমীকরণ  x=0x = 0 

অনুসিদ্ধান্ত (২)

yy– অক্ষের সমান্তরাল রেখাকে xx– অক্ষের উপর লম্ব রেখাও বলা হয় ।

অক্ষের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ x=ax = a.

(গ) মূল বিন্দুগামী সরলরেখা :

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

মনে করি, মূলবিন্দুগামী AB সরলরেখার উপরে P(x, y) যে কোন একটি বিন্দু। P হতে x অক্ষের উপরে PL লম্ব টানি।

ধরি, ∠POL=θ\angle P O L = \theta

∴△POL\therefore \triangle POL হতে পাই, tan⁡θ=PLOL=yx⇒(tan⁡θ)x=mx=y\tan \theta=\frac{P L}{O L}=\frac{y}{x} \Rightarrow(\tan \theta) x=m x=y

যেখানে tan⁡θ=m\tan \theta=m কে ABA B সরলরেখার ঢাল বা ক্রমাবনতি বলা হয়। সুতরাং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y=mxy=m x 

(ক) yy অক্ষ হতে cc অংশ ছিন্নকারী এবং ধনাত্বক xx অক্ষের সংগে θ\theta  কোনে আনত।

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

ধরি, সরলরেখার উপর P(x,y)P(x, y) যে কোন বিন্দু।  

xx অক্ষরেখার উপরে PLP L লম্ব টানি এবং CC হতে PLP L এর উপর CMC M লম্ব টানি।  

এখানে, OC=c,∠ABO=∠ABX=θO C=c, \angle A B O=\angle A B X=\theta

∴CM=OL=x,PM=PL−ML=PL−CO=y−c\therefore C M=O L=x, P M=P L-M L=P L-C O=y-c

এবং ∠PCM=∠ABX=θ\angle P C M=\angle A B X=\theta 

∴tan⁡θ=PMCM=y−cx\therefore \tan \theta=\frac{P M}{C M}=\frac{y-c}{x} ⇒m=y−cx[∴tan⁡θ=m]\Rightarrow m=\frac{y-c}{x}[\therefore \tan \theta=m] ⇒y−c=mx\Rightarrow y-c=m x

⇒y=mx+c\Rightarrow y=m x+c, ইহা ABA B সরলরেখার সমীকরণ।

অনুসিদ্ধান্ত (১)

ax+by+c=0a x+b y+c=0 রেখার ঢাল =−x এর সহগ y এর সহগ =\frac{-x \text { এর সহগ }}{y \text { এর সহগ }} অর্থাৎ, m=−abm=-\frac{a}{b} ।

কারণ by=−c−ax⇒y=−ab×−cbb y=-c-a x \Rightarrow y=\frac{-a}{b} \times-\frac{c}{b}

(2) CC বিন্দুর স্থানাঙ্ক =(0,c)=(0, c)

(ঙ) (x, y) বিন্দুগামী এবং m ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

মনে করি, AB\mathrm{AB} সরলরেখাটি Q(x1y1)\mathrm{Q}\left(x_{1} y_{1}\right) বিন্দু দিয়ে যায় এবং রেখাটির ঢাল m. ধরি, AB রেখার উপর P(x,y)P(x, y) যেকোনো বিন্দু।

তাহলে, PQ এর ঢাল =y−y1x−x1[:AB=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}[: \mathrm{AB} = PQ\mathrm{PQ} রেখার ঢাল]

∴y−y1=m(x−x1)\therefore y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)

 

(চ) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ: 

মনে করি, AB সরলরেখাটি Q(x1,y1)Q\left(x_{1}, y_{1}\right) ও R(x2,y2)R\left(x_{2}, y_{2}\right) দুইটি বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং রেখাটির উপর P(x,y)P(x, y) যে কোনো একটি বিন্দু 

PQP Q এর ঢাল =y−y1x−x1=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}

QRQ R এর ঢাল =y1−y2x1−x2=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}  

P.Q.RP . Q . R  বিন্দুক্রয় সমরেখ বলে,  

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

PQP Q এর ঢাল = QRQ R এর ঢাল   

y−y1x−x1=y1−y2x1−x2\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}

বা, y−y1y1−y2=x−x1x1−x2\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}  

∴y−y1=y1−y2x1−x2(x−x1)\therefore y-y_{1}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\left(x-x_{1}\right)

উল্লেখ্য , এখানে y1−y2x1−x2=m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=m= রেখাটির ঢাল

অনুসিদ্ধান্ত : (১)  

মূলবিন্দু (0,0)(0,0) এবং (x1,y1)\left(x_{1}, y_{1}\right) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, 

y=Y1X1xy=\frac{Y_{1}}{X_{1}} x

 

(ছ) ছেদক রেখার সমীকরণ   

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

ধরি, AB সরলরেখাটি x ও y অক্ষ হতে যথাক্রমে a ও b অংশ ছিন্ন করেছে এবং AB এর উপর  P(x,y)P(x, y) যে কোন একটি বিন্দু। xx ও yy অক্ষের উপরে যথাক্রমে PL ও PM লম্ব টানি এবং OP যুক্ত করি।

এখানে, OA=a,OB=b;OL=PM=x,PL=yO A=a, O B=b ; O L=P M=x, P L=y

∴ΔOAB=ΔOPA+ΔOPB\therefore \Delta O A B=\Delta O P A+\Delta O P B

⇒12OA⋅OB=12OA⋅PL+12OB⋅PM\Rightarrow \frac{1}{2} O A \cdot O B=\frac{1}{2} O A \cdot P L+\frac{1}{2} O B \cdot P M 

⇒12ab=12a⋅y+12b⋅x\Rightarrow \frac{1}{2} a b=\frac{1}{2} a \cdot y+\frac{1}{2} b \cdot x 

⇒ab=ay+bx\Rightarrow a b=a y+b x 

⇒1=bx+ayab\Rightarrow 1=\frac{b x+a y}{a b} 

⇒xa+yb=1\Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ইহা AB\mathrm{AB} রেখার সমীকরণ 

অনুসিদ্ধান্ত (১)

xa+yb=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 সরলরেখা xx ও yy অক্ষকে যথাক্রমে A(a,0)A(a, 0) এবং B(0,b)B(0, b) বিব্দুতে ছেদ করে।

 

(জ) দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয়ের পদ্ধ্বতি : 

a1x+b1y+c1=0−(i)a2x+b2y+c2=0−(ii)\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0-(i) \\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0-(i i) \end{array}

(i) ও (ii) নং হতে বজ্রগুনের সুত্র অনুসারে পাই,  

xb1c2−b2c1=ya2c1−a1c2=1a1b2−a2b1⇒x=b1c2−b2c1a1b2−a2b1,y=a2c1−a1c2a1b2−a2b1\begin{array}{l} \frac{x}{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}=\frac{y}{a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}}=\frac{1}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} \\ \Rightarrow x=\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}, y=\frac{a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} \end{array}

যেমন, 3x−4y+6=0;4x+3y−7=03 x-4 y+6=0 ; 4 x+3 y-7=0  

রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক, x28−18=y24+21=19+16\frac{x}{28-18}=\frac{y}{24+21}=\frac{1}{9+16}

∴x=1025=25;y=4525=95\therefore x=\frac{10}{25}=\frac{2}{5} ; y=\frac{45}{25}=\frac{9}{5}

সুতরাংx=b1c2−b2c1a1b2−a2b1x=\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} এবং y=a2c1−a1c2a1b2−a2b1y=\frac{a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}

দিয়ে সরাসরি সরলরেখাদ্বেয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয় করা যায়। 

(ঝ) মূলবিন্দু থেকে কোন সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য pp এবং লম্বটি xx অক্ষের ধনাত্মক দিকের সংঙ্গে α\alpha কোণ উৎপন্ন করলে, 

রেখার সমীকরণxcos⁡α+ysin⁡α=px \cos \alpha+y \sin \alpha=p  

সরলরেখার সমীকরণ সূত্র

মনে করি, মূলবিন্দু থেকে AB\mathrm{AB} সরলরেখার উপর লম্ব OQO Q এবং ∠QOA=α\angle Q O A=\alpha 

ΔOAQ\Delta O A Q হতে পাই, OQOA=cos⁡α\frac{O Q}{O A}=\cos \alpha 

বা, OA=OQcos⁡α=pcos⁡α=psec⁡αO A=\frac{O Q}{\cos \alpha}=\frac{p}{\cos \alpha}=p \sec \alpha 

∴OA=psec⁡α\therefore O A=p \sec \alpha

△OBQ\triangle O B Q হতে পাই, ∠BOQ=90∘−α\angle B O Q=90^{\circ}-\alpha

∴OQOB=cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\therefore \frac{O Q}{O B}=\cos \left(90^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha

বা, OB=OQsin⁡α=psin⁡α=pcosec⁡αO B=\frac{O Q}{\sin \alpha}=\frac{p}{\sin \alpha}=p \operatorname{cosec} \alpha

সুতরাং AB সরলরেখার সমীকরণ, 

xpsec⁡α+ypcosec⁡α=1\frac{x}{p \sec \alpha}+\frac{y}{p \operatorname{cosec} \alpha}=1

বা, xcos⁡αp+ysin⁡αp=1\frac{x \cos \alpha}{p}+\frac{y \sin \alpha}{p}=1

বা, xcos⁡α+ysin⁡α=px \cos \alpha+y \sin \alpha=p ইহাই AB সরলরেখার সমীকরণ।  

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

 

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

 

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics