কণিকের সাধারণ সমীকরণ এবং সমীকরণ হতে কণিক চিহ্নিতকরণ (General equation of Conic Explanation and Conic identification)

কণিকের সাধারণ সমীকরণ (General equation of Conic)

মনে করি, কোনো সমতলে একটি কণিকের ফোকাস (স্থির বিন্দু) S (α, β) এবং নিয়ামক রেখা (নির্দিষ্ট সরলরেখা) $A B \equiv L x+m y+n=0$ কণিকটির উপরস্থ যেকোনো বিন্দু P (x, y) এবং PM ⊥ AB হলে কণিকের সংজ্ঞা হতে পাই,

SPPM=e (উৎকেন্দ্রিকতা)

$\frac{S P}{P M}=e$ $\Rightarrow S P=e P M$

$\Rightarrow \sqrt{(x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}}=e \cdot \frac{l x+m y+n}{\sqrt{l^{2}+m^{2}}}$ যা কণিকের সাধারণ সমীকরণ

• e=1 হলে, কণিকটি পরাবৃত্ত এবং এর সাধারণ সমীকরণ: $(x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}=\frac{(l x+m y+n)^{2}}{l^{2}+m^{2}}$ এবং আদর্শ সমীকরণ: $y^{2}=4 a x$

• 0 < e < 1 হলে, কণিকটি উপবৃত্ত এবং এর সাধারণ সমীকরণ: $(x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}=e^{2} \frac{(l x+m y+n)^{2}}{l^{2}+m^{2}}$ এবং আদর্শ সমীকরণ: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

e = 0 হলে উপবৃত্তটি বৃত্তে পরিণত হবে।

• e > 1 হলে, কণিকটি হবে অধিবৃত্ত এবং এর সাধারণ সমীকরণ: $(x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}=e^{2} \frac{(l x+m y+n)^{2}}{l^{2}+m^{2}}$ এবং আদর্শ সমীকরণ: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

সাধারণ সমীকরণ হতে কণিক চিহ্নিতকরণ(Conic identification from general equation)

$a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$

Case-1: 

$A=\left|\begin{array}{lll} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{array}\right| ; A=0$ হলে, একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করে।

Case-2: 

$A \neq 0 ; a=b ; h=0 ; g^{2}+f^{2}-c \geq 0 \text {হলে, } x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$  যা একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।

• x ও y এর দ্বিঘাত হবে। 
• $x^{2} ও y^{2}$ এর সহগদ্বয় সমান হবে। 
• xy সম্বলিত কোন পদ থাকবে না।
• $g^{2}+f^{2}-c \geq 0$

Case-3: 

$A \neq 0 ; h^{2}=a b$ হলে তা একটি পরাবৃত্ত (Parabola) নির্দেশ করে। 

$\text { Ex: } y^{2}=4 x+2$ $\Rightarrow y^{2}-4 x-2=0$

এখানে, a=0, b=1, h=0

$\therefore h^{2}=0=0 \times 1=a b$

∴ উক্ত সমীকরণ একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।

Case-4: 

$A \neq 0 ; a b>h^{2} \text { তথা } h^{2}<a b$ তথা $$ হলে তা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। 

$\mathrm{Ex}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1$

এখানে, $a=\frac{1}{4}, b=1, h=0$

$\therefore h^{2}=0 \text {এবং } a b=\frac{1}{4}$ $\therefore a b>h^{2}$

∴ উক্ত সমীকরণ একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।

Case-5: 

$A \neq 0 ; h^{2}>a b$ হলে তা একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। 

$\mathrm{Ex}: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$

এখানে, $a=\frac{1}{4}, b=-\frac{1}{9}, h=0$

$\therefore h^{2}=0 \text { এবং } a b=-\frac{1}{36}$ $\therefore h^{2}>a b$

∴ উক্ত সমীকরণ একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।

 

কণিক (Conic)	সমীকরণ (Equation)	উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity)
বৃত্ত	$\begin{array}{c} x^{2}+y^{2}=r^{2} \\ x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 \\ (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{array}$	e=0
পরাবৃত্ত	$\begin{array}{l} y^{2}=4 a x / (y-k)^{2}=4 a(x-h) \\ x^{2}=4 a y / (x-h)^{2}=4 a(y-k) \end{array}$	e=1
উপবৃত্ত	$\begin{array}{c} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 \end{array}$	0<e<1
আয়তাকার অধিবৃত্ত		e=2
অধিবৃত্ত	$\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 / \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 \\ \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1 / \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}=1 \end{array}$	e>1
সরলরেখা	$a x+b y+c=0$	e=∞