নিউটনের গতিসূত্র (Newton’s laws of motion)

নিউটনের সূত্র বা গতিসূত্র কাকে বলে?

স্যার আইজ্যাক নিউটন বস্তুর ভর, গতি ও বলের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে তিনটি সূত্র প্রকাশ করেন। এটিই নিউটনের গতিসূত্র বা নিউটনের সূত্র নামে পরিচিত।

 

জড়তা (inertia) কাকে বলে?

পদার্থ যে অবস্থায় আছে চিরকাল সেই অবস্থায় থাকতে চাওয়ার যে প্রবণতা বা সেই অবস্থা বজায় রাখতে চাওয়ার যে ধর্ম তাকে জড়তা(inertia) বলে।

ভর (mass) হচ্ছে পদার্থের জড়তার পরিমাপ। অন্য কথায় কোনো একটি বস্তুর তার বেগের পরিবর্তনকে বাঁধা দেয়ার পরিমাপই হচ্ছে ভর।

১৬৮৭ সালে স্যার আইজ্যাক নিউটন তার অমর গ্রন্থ “ন্যাচারালিস ফিলোসোফিয়া প্রিন্সিপিয়া ম্যাথেমেটিকাতে”(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) বস্তুর ভর, গতি ও বলের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে তিনটি সূত্র প্রকাশ করেন। এ তিনটি সূত্র নিউটনের গতিসূত্র (Newtons laws of motion) নামে পরিচিত।

প্রথম সূত্র : (Newton’s First Law) বাহ্যিক বল প্রয়োগে বস্তুর অবস্থার পরিবর্তন করতে বাধ্য না করলে স্থির বস্তু চিরকাল স্থিরই  থাকবে এবং গতিশীল বস্তু সমবেগে অর্থাৎ সমদ্রুতিতে সরলপথে চলতে থাকবে।

দ্বিতীয় সূত্র : (Newton’s Second Law) বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনের হার তার ওপর প্রযুক্ত বলের সমানুপাতিক এবং বল যেদিকে ক্রিয়া করে বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনও সেদিকে ঘটে।

তৃতীয় সূত্র : (Newton’s Third Law) প্রত্যেক ক্রিয়ারই একটা সমান ও বিপরীত প্রতিক্রিয়া আছে।

গাণিতিকভাবে নিউটিনের গতিসূত্রগুলোর মধ্যে নিম্নোক্ত উপায়ে পারস্পরিক সম্পর্ক স্থাপন করা যায়।

 

নিউটনের ২য় সূত্র এবং ১ম সূত্রের মধ্যে সম্পর্ক :

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রকে গাণিতিকভাবে লিখলে আমরা পাই, \frac{m \vec{v} - m \vec{v_0}}{t} \alpha F

\therefore \frac{m(\vec{v}-\vec{v_0})}{t} \alpha F

বা, m \vec{a} = 𝑘 \vec{F} ,  𝑘=1 হলে

\vec{F} = m \vec{a}   , এখানে  \vec{F} =  প্রযুক্ত বল,  \vec{a} =ত্বরণ, \vec{v_0}  =আদিবেগ,  \vec{𝑣} = শেষবেগ

বাইরে থেকে বল প্রযুক্ত না হলে    \vec{F} হয় এবং  \vec{a} =0 হয়।

কিন্তু বস্তুর ভর শূন্য হয় না তাই 𝑚≠0 সুতরাং  \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = 0 অর্থাৎ  𝑣 = ধ্রুবক। ………………(4.7)

তাই বলা যায় বাহ্যিক বলের ক্রিয়া না থাকলে বেগের কোনো পরিবর্তন হয় না। স্থির বস্তুর স্থির আর গতিশীল বস্তুর গতির কোনো পরিবর্তন হয় না। অর্থাৎ বাহ্যিক বলের অনুপস্থিতিতে বস্তুকণার ভরবেগ(momentum) সব সময় সমান বা ধ্রুব থাকে।

 

নিউটনের ১ম সূত্র এবং ৩য় সূত্রের মধ্যে সম্পর্ক:

নিউটনের গতির ১ম সূত্র থেকে আমরা জানি বাহ্যিক বল ক্রিয়া না করলে ভরবেগ ধ্রুব থাকে।

অর্থাৎ ভরবেগের সূত্র (momentum formula),  \vec{P} = m \vec{v} = ধ্রুবক…………………………………….(4.8)

𝑡  এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই,

 \frac{d \vec{P}}{dt} = m \frac{d (\vec{v})}{dt}…………………………………………………………………………………(4.9) 

আবার দুটি বস্তুর মধ্যে একটি বস্তু যখন অপরটির উপর বল প্রয়োগ করে তখন লব্ধি ভরবেগের পরিবর্তনের হারের মান সমান ও বিপরীত হয়।

\frac{d\vec{P_1}}{dt} = - \frac{d\vec{P_2}}{dt}

 \frac{d}{dt} (m_1 \vec{v_1}) = - \frac{d}{dt} (m_2 \vec{v_2})……………………………………………………….……..…………….[4.9(a)]

বা, m_1 \vec{a_1} = - m_2 \vec{a_2}  বা, \vec{F_1} = - \vec{F_2} , অর্থাৎ ক্রিয়া বল= প্রতিক্রিয়া বল।

∴  [4.9(a)] এই সমীকরণ দ্বারা নিউটনের গতির ১ম ও ৩য় সূত্রের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করা যায়।

 

নিউটনের ২য় সূত্র এবং ৩য় সূত্রের মধ্যে সম্পর্ক :

নিউটনের গতির ২য় সূত্র থেকে আমরা জানি, ভরবেগের পরিবর্তনের হারই হলো প্রযুক্ত বল। ঘাত বল বিবেচনা করলে লেখা যায়, ঘাত বল = ভরবেগের পরিবর্তন। এক্ষেত্রে যে বলের কারণে ঘাত সৃষ্টি হয় বিপরীত ক্রমে সেই বলের কারণে প্রতিঘাত সৃষ্টি হয়। এক্ষেত্রে বলা যায় ক্রিয়া = প্রতিক্রিয়া। ইহাই নিউটনের ৩য় সূত্র।

 

নিউটনের গতিসূত্রের ব্যবহার (Application of Newton’s laws of motion) :

ঘোড়ার গাড়ির চলাচল :

ঘোড়ার গাড়ি রাস্তায় যখন চলে তখন ঘোড়ার কাঁধে বেল্ট বা হাতলের উপর 𝐹 বল প্রয়োগ করে গাড়িটিকে সামনের দিকে নিয়ে যায়। সাথে সাথে গাড়িও ঘোড়াকে পেছনের দিকে সমান ও বিপরীতমুখী 𝐹 বলে টানতে থাকে। স্বাভাবিকভাবে প্রশ্ন করা যায় যে, গাড়িটি সামনের দিকে কী করে এগোয় ? নিচের চিত্রটি লক্ষ কর।

আরোহীসহ গাড়িটি সামনের দিকে এগোয় কী করে? : গাড়িটিকে সামনের দিকে চালাবার জন্য ঘোড়া মাটির উপর তির্যকভাবে বল প্রয়োগ করে। সঙ্গে সঙ্গে মাটি ঘোড়ার উপর সমান ও বিপরীতমুখী প্রতিক্রিয়া বল 𝑅 প্রয়োগ করে। এই বলকে অনুভূমিক দিকে এবং উলম্ব দিকে যথাক্রমে F_H এবং  F_V উপাংশে বিশ্লেষণ করা যায়। উলম্ব উপাংশ F_V ঘোড়ার ওজনকে প্রশমিত করে। এখন যদি অনুভূমিক উপাংশ  F_H ঘোড়ার উপর গাড়ি দ্বারা পেছনের দিকে প্রযুক্ত প্রতিক্রিয়া বল (𝑅) – এর চেয়ে বেশি হয়, তাহলে  F_H - R বলের ক্রিয়ায় ঘোড়া সামনের দিকে এগিয়ে যায় অর্থাৎ গাড়িটি সামনের দিকে এগিয়ে যায়।

এখন গাড়ির গতি পৃথকভাবে বিবেচনা করলে দেখা যায় যে, এর উপর দুটি বল ক্রিয়া করছে-

(i) মাটির সংস্পর্শে থাকার দরুন চাকার উপর ঘর্ষণ বল 𝑓 ; এই বল গাড়ির গতিকে বাঁধা দেয়।

(ii) ঘোড়া দ্বারা প্রযুক্ত বল 𝐹; এই বল গাড়িকে সামনের দিকে এগিয়ে নিতে চেষ্টা করে।

যখন 𝐹 বলের মান 𝑓 -এর মানের চেয়ে বেশি হয়, তখনই গাড়ি 𝐹−𝑓 বলের ক্রিয়া সামনের দিকে চলতে শুরু করে। এখন চালকসহ গাড়ি যদি সমবেগে চলে অর্থাৎ ত্বরণ শূন্য হলে প্রথম সূত্র অনুযায়ী ওদের উপর ক্রিয়ারত মোট বল শূন্য হবে। সুতরাং  F_H - F = 0 এবং 𝐹−𝑓=0 অর্থাৎ 𝐹= F_H =𝑓। চালকসহ  গাড়ি ত্বরণ নিয়ে চললে ঘোড়ার ত্বরণ হবে \frac{F_H - F}{M} এবং গাড়ির ত্বরণ হবে \frac{F - f}{M_g} , এখানে 𝑀 এবং M_g যথাক্রমে ঘোড়া এবং গাড়ির ভর। F_H এবং 𝑓 বল দুটি স্বনিয়ন্ত্রক বল, এদের মান এমনভাবে নিয়ন্ত্রিত হয় যাতে ঘোড়া এবং গাড়ির ত্বরণ সমান হয়। ফলে ঘোড়া ও গাড়ি একসঙ্গে এগিয়ে যায়।

 

 

 

 

নৌকার গুণ টানা :

মনে করি 𝑀 একটি নৌকা। এর 𝑂 বিন্দুতে গুণ বেঁধে 𝑂𝑅 বরাবর নদীর পাড় দিয়ে  𝐹  বলে টেনে নেওয়া হচ্ছে। বিভাজন পদ্ধতি দ্বারা 𝑂 বিন্দুতে 𝐹 – কে দুটি উপাংশে বিভাজিত করা যায় ; যথা – অনুভূমিক উপাংশ ও উলম্ব উপাংশ [চিত্র]

অনুভূমিক উপাংশ =𝐹 cos 𝜃  , এর দিক 𝑂𝐴 বরাবর

উলম্ব উপাংশ =𝐹 sin 𝜃  , এর দিক 𝑂𝐵 বরাবর।

বলের অনুভূমিক উপাংশ 𝐹 cos 𝜃  নৌকাকে সামনের দিকে এগিয়ে নিয়ে যায় এবং উলম্ব উপাংশ 𝐹 sin 𝜃  নৌকাটিকে পাড়ের দিকে টানে। কিন্তু নৌকার হাল দ্বারা উলম্ব উপাংশ 𝐹 sin 𝜃  প্রতিহত করা হয়। গুণ যত লম্বা হবে, 𝜃 -এর মান তত কম হবে ফলে 𝐹 sin 𝜃  – এর মান কম হবে এবং 𝐹 cos 𝜃  -এর মান বেশি হবে। ফলে নৌকা দ্রুত সামনের দিকে এগিয়ে যাবে।

বন্দুক থেকে গুলি ছোঁড়া :

বন্দুক থেকে গুলি ছুঁড়লে গুলিটি প্রচণ্ড বেগে সামনে ছুটে যায়। বন্দুকটি গুলির উপর যদি 𝐹 বল প্রয়োগ করে, তাহলে গুলিটিও বন্দুকের উপর সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করে। এই প্রতিক্রিয়া বলের জন্য বন্দুকটিও পেছন দিকে এগিয়ে যায়। [চিত্র ৪.৮]

ভরবেগ দিয়েও এর কারণ ব্যাখ্যা করা যায়। গুলি ছোঁড়ার আগে বন্দুক ও গুলি উভয়েই স্থির থাকে। অতএব বন্দুকের ভরবেগ শূন্য এবং গুলির ভরবেগ শূন্য। সুতরাং তাদের মোট আদি ভরবেগ শূন্য। গুলি ছোঁড়ার পর বারুদের বিস্ফোরণের ফলে গুলি একটি বেগে সামনের দিকে যায়। ফলে এটি সামনের দিকে একটি ভরবেগ প্রাপ্ত হয়। ভরবেগের নিত্যতা অনুসারে গুলি ছোঁড়ার পরেও তাদের মোট ভরবেগ শূন্য হবে। ফলে বন্দুককেও গুলির সমান ও বিপরীতমুখী একটি ভরবেগ লাভ করতে হবে। ফলে বন্দুককে অবশ্যই পেছনের দিকে গতিপ্রাপ্ত হতে হবে।  [চিত্র ৪.৮]

মনে করি 𝑀 ভরের একটি বন্দুক হতে 𝑚 ভরের একটি গুলি \vec{v} বেগে বের হয়ে গেল। আবার মনে করি গুলি ছোঁড়ার পর বন্দুকের বেগ = \vec{V}

∴ গুলি ছোঁড়ার আগে তাদের মোট ভরবেগ =0

গুলি ছোঁড়ার পর তাদের মোট ভরবেগ = বন্দুকের ভরবেগ + গুলির ভরবেগ = M \vec{V} + m \vec{v}

কিন্তু ভরবেগের নিত্যতা সূত্র অনুসারে আগের ও পরের ভরবেগ সমান।

\begin{Bmatrix} \therefore M \vec{V}+m\vec{v}=0\\ m \vec{v}= -M\vec{V}=M(-\vec{V})\end{Bmatrix}

অর্থাৎ গুলির ভর × গুলির বেগ = বন্দুকের ভর × বন্দুকের পশ্চাৎ বেগ

এই সমীকরণ থেকে আরো বলা যায়, গুলির বেগ > বন্দুকের পশ্চাৎ বেগ।

বাতাসে পানি ছিটাবার যন্ত্র

বাতাসে পানি ছিটাবার একটি ঘুরন্ত যন্ত্র নাও। এবার যন্ত্রটিতে পানি দ্বারা পূর্ণ করে বাঁকা নলগুলোর মুখ এক সাথে খুলে দাও।

এই যন্ত্রের মধ্যে দিয়ে পানি পাঠালে বাঁকা নলগুলির সরু মুখ দিয়ে জোরে পানি বেরুতে থাকে [চিত্র ৪.৯]

এজন্য পানির গতির বিপরীত দিকে নলের গায়ে প্রতিক্রিয়া বল প্রযুক্ত হয় বলে যন্ত্রটি ঘুরতে থাকে। ফলে চারদিকে পানি ছিটকে পড়ে।

মহাশূন্যে অভিযান :

মনে করা যাক একটি রকেট মহাশূন্যে গতিশীল। ফলে বাতাসের বাধা এবং অভিকর্ষের প্রভাব উপেক্ষা করা যায়। যেহেতু রকেট থেকে গ্যাস নির্গমনের ফলে গ্যাসের গতির বিপরীত দিকে রকেটের উপর একটি বল বা ধাক্কার সৃষ্টি হয়, ফলে রকেট দ্রুত গতিতে সামনের দিকে এগিয়ে যায়।

ভরবেগের সংরক্ষণ নীতি(Conservation of momentum) অনুযায়ী রকেটও সমান কিন্তু বিপরীতমুখী ভরবেগ প্রাপ্ত হয় এবং উচ্চ বেগে উপরে উঠে যায়। জ্বালানি হিসেবে রকেটে সাধারণত তরল হাইড্রোজেন এবং দহনের জন্য তরল অক্সিজেন থাকে। বিশেষ প্রক্রিয়ায় এবং নিয়ন্ত্রিত হারে তরল হাইড্রোজেন ও অক্সিজেনকে দহন প্রকোষ্ঠে প্রবেশ করানো হয়। জ্বালানির দহন ক্রিয়ার ফলে উৎপন্ন উচ্চ চাপের গ্যাস অত্যন্ত উচ্চ বেগে রকেটের নিচের দিকে নির্গমন পথ দিতে বেরিয়ে আসে।

ধরা যাক প্রযুক্ত ধাক্কা =F

𝛥𝑡 সময়ে নির্গত গ্যাসের ভর =𝛥𝑚

গ্যাসের নির্গত বেগ =𝑣

রকেটের ভর =𝑀

Δ𝑡 সময় ব্যবধানে গ্যাসের ভরবেগের পরিবর্তন  = (Δ𝑚)𝑣

ভরবেগের নিত্যতার সূত্র অনুযায়ী,

Δ𝑡 সময়ে ভরবেগের পরিবর্তন = রকেটের উপর প্রযুক্ত বলের ঘাত সমান

∴(Δ𝑚)𝑣=𝐹×Δ𝑡

F = (\frac{\Delta m}{\Delta t})v, এখানে F = \frac{\Delta m}{\Delta t}= জ্বালানি ব্যাবহারের হার

রকেটের তাৎক্ষণিক ত্বরণ 𝑎 হলে , 𝐹=𝑀𝑎

a = \frac{F}{M} = \frac{1}{M}(\frac{\Delta m}{\Delta t})v

• রকেটের ভর কমালে ত্বরণ বৃদ্ধি পায়।

• রকেটের ত্বরণ বৃদ্ধি করতে হলে গ্যাস নির্গমনের হার বাড়াতে হবে।

• গ্যাসের আপেক্ষিক বেগ বৃদ্ধি করলে ত্বরণও বৃদ্ধি পাবে।

অভিকর্ষ বল বিবেচনা করলে F = (\frac{\Delta m}{\Delta t})v-Mg

এখানে যাত্রা শুরুর সময়, 𝑀= জ্বালানী সহ রকেটের ভর

জ্বালানী শেষ হওয়ার সময়, 𝑀= শুধু রকেটের ভর

a=(\frac{\Delta m}{\Delta t}) \times v \times \frac{1}{M}-g

 

নিউটনের গতিসূত্রের সীমাবদ্ধতা (Limitations of Newton’s law of motion) :

• নিউটনের গতিসূত্র বৃহৎ আকৃতির বস্তুর জন্য প্রযোজ্য। যে সকল কণার ভর খুবই কম যেমন ইলেকট্রন, প্রোটন, নিউট্রন ইত্যাদির ক্ষেত্রে নিউটনের গতিসূত্র প্রযোজ্য নয়।
• •ক্ষুদ্র ভর (10^{31} Kg) বিশিষ্ট সকল কণার বেগ বেশি হয়, অর্থাৎ প্রায় আলোর বেগের কাছাকাছি হয় ফলে গতিশীল অবস্থায় এরা তরঙ্গ রূপ আচরণ করে। এ সকল বস্তুর ক্ষেত্রে নিউটনের গতিসূত্র প্রযোজ্য নয়। এসব ক্ষেত্রে আপেক্ষিকতা তত্ত্ব প্রযোজ্য।
• আবার বস্তুর ত্বরণ যখন খুব কম  < 10^{-10} ms^{-2} হয় তখন নিউটনের গতিসূত্র প্রয়োগে ভালো ফল পাওয়া যায় না। এক্ষেত্রে বল ত্বরণের বর্গের সমানুপাতিক হয়। নিউটনের গতিসূত্র কেবলমাত্র বল ত্বরণের সমানুপাতিক ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
• কোনো বস্তু স্থির কাঠামোতে বা সমবেগে চলমান হলে নিউটনের গতিসূত্র প্রযোজ্য হয়। অন্যথায় প্রযোজ্য হবে না।

 

ক্ষেত্র ও প্রাবল্যের ধারণা (Concept of field and field intensity)

ক্ষেত্র (Field) :

একটি বস্তুর চারিদিকে অঞ্চল জুড়ে এর প্রভাব লক্ষ করা যায়। ঐ অঞ্চলে অপর একটি বস্তু থাকলে সেটি বল অনুভব করে। এই বল মহাকর্ষীয় বল। এই বল পারস্পরিক ; অর্থাৎ একে অপরের উপর ক্রিয়াশীল হয়। এখন বস্তুর ভর বৃদ্ধি পেলে বলের মান বাড়ে। আবার বস্তুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব বাড়লে বলের মান কমে।

“কোনো বস্তুর চারদিকে যে স্থান জুড়ে তার আকর্ষণ বল অনুভূত হয়, সে স্থানকে ঐ বস্তুর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র বলে।” অতএব, মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র মহাকর্ষীয় বল সঞ্চালনের মধ্যস্থতাকারী হিসেবে ক্রিয়া করে।

ক্ষেত্র প্রাবল্য (Field Intensity) :

মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের সর্বত্র এর প্রভাব সমান নয়। মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের সকল বিন্দুতে একই বল ক্রিয়াশীল নয়। অর্থাৎ মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ভিন্নতর হয়। মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে প্রাবল্য বা তীব্রতা নির্ণয় করতে ঐ বিন্দুতে একক ভরের একটি বস্তু বিবেচনা করা হয়। একক ভরের বস্তুটি যে বল লাভ করে তা দিয়েই মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের প্রাবল্য পরিমাপ করা হয়।

সংজ্ঞা : মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে 𝑚 ভরের বস্তুর উপর  𝐹  বল ক্রিয়া করলে ওই বিন্দুতে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের প্রাবল্য হবে, \vec{E}= \frac{\vec{F}}{m}

প্রাবল্যের মান ও দিক দুই-ই আছে। প্রাবল্যের অভিমুখই মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের অভিমুখ নির্দেশ করে। এর একক হলো NKg^{-1} ।

 

ভরবেগের সংরক্ষনশীলতা নীতি (Conversion of linear momentum) :

মনে করি কোনো একটি সরল রেখায় m_1 এবং  m_2 ভরের দুটি বস্তুকণা যথাক্রমে \vec{u_1} ও \vec{u_2} বেগে একই দিকে চলছে। [চিত্র ৪.১৫] । এখানে\vec{u_1}>\vec{u_2}। কোনো এক সময়ে প্রথম বস্তুকণাটি পেছনের দিক হতে দ্বিতীয় বস্তুকণাটিকে ধাক্কা দিল এবং এর পর বস্তুকণা দুটি একই সরলরেখায় ও একই দিকে যথাক্রমে \vec{v_1} ও \vec{v_2} বেগে চলতে লাগল।

মনে করি ধাক্কাজনিত ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়ার কার্যকাল 𝑡 । তা হলে

বস্তুকণা দুটির আদি ভরবেগের সমষ্টি  = m_1 \vec{u_1}+m_2 \vec{u_2}

বস্তুকণা দুটির শেষ ভরবেগের সমষ্টি  =  m_1 \vec{v_1}+m_2 \vec{v_2}  

ভরবেগের নিত্যতা সূত্রানুসারে প্রমাণ করতে হবে যে,  m_1 \vec{u_1}+m_2 \vec{u_2}= m_1 \vec{v_1}+m_2 \vec{v_2}

প্রমাণ :

প্রথম বস্তুকণার ভরবেগের পরিবর্তনের হার = \frac{m_1 \vec{v_1}-m_1 \vec{u_1}}{t} = প্রতিক্রিয়া বল = \vec{F_1}= প্রথম বস্তুকণার উপর দ্বিতীয় বস্তুকণার প্রতিক্রিয়া বল।

দ্বিতীয় বস্তুকণার ভরবেগের পরিবর্তনের হার = \frac{m_2 \vec{v_2}-m_2 \vec{u_2}}{t} = ক্রিয়া বল = \vec{F_2} = দ্বিতীয় বস্তুকণার উপর প্রথম বস্তুকণার প্রযুক্ত বল।

কিন্তু বস্তুকণা দুটির ভরবেগের পরিবর্তনের হার (অর্থাৎ ক্রিয়া বল ও প্রতিক্রিয়া বল) সমান ও বিপরীত। অর্থাৎ

\vec{F_2}=-\vec{F_1}

বা, \frac{m_2 \vec{v_2}-m_2 \vec{u_2}}{t} = - \frac{m_1 \vec{v_1}-m_1 \vec{u_1}}{t}

বা,  m_2 \vec{v_2}-m_2 \vec{u_2} = -m_1 \vec{v_1}+m_1 \vec{u_1}

বা, m_1 \vec{u_1}+m_2 \vec{u_2} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_1}= একটি ধ্রুব ভেক্টর।

∴ বস্তুকণা দুটির আদি ভরবেগের সমষ্টি = বস্তুকণা দুটির শেষ ভরবেগের সমষ্টি।

অর্থাৎ \sum m \vec{v} ধ্রুব ভেক্টর। …………………………………………………………………….(4.13)

সুতরাং দুটি বস্তুর মধ্যে ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়াজনিত বলের ফলে মোট ভরবেগের কোনো পরিবর্তন হয় না, একটি বস্তু যে পরিমাণ ভরবেগ হারায়, অপরটি ঠিক সমপরিমাণ ভরবেগ লাভ করে অর্থাৎ ধাক্কার আগে ও পরে মোট ভরবেগ একই থাকে। অতএব ভরবেগের নিত্যতা সূত্রটি প্রমাণিত হলো।

 

নিউটনের গতির তৃতীয় সূত্র ও ভরবেগের নিত্যতা (Newton’s third law of motion and conversion of momentum)

একটি বস্তু যখন অন্য একটি বস্তুর উপর বল প্রয়োগ করে তখন দ্বিতীয় বস্তুটিও প্রথম বস্তুর উপর একটি সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করে। প্রথম বস্তু দ্বিতীয় বস্তুটির উপর যে বল প্রয়োগ করে তাকে যদি ক্রিয়া (Action) ধরা হয়, তবে দ্বিতীয় বস্তু কর্তৃক প্রথম বস্তুটির উপর প্রযুক্ত বলকে প্রতিক্রিয়া (Reaction) বলা হয়।

দুটি বস্তু স্থির থাকুক বা গতিশীল হোক একে অপরকে স্পর্শ করুক বা পরস্পর থেকে দূরে থাকুক নিউটনের তৃতীয় সূত্র সকল ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হবে।

প্রকৃতিতে বল সকল সময় জোড়ায় জোড়ায় ক্রিয়া করে। প্রকৃতিতে একক বিচ্ছিন্ন বল বলে কিছু থাকতে পারে না। আমরা যখন বলি, একটি বল ক্রিয়া করছে আসলে দুটি ক্রিয়াশীল বলের মধ্যে একটির কথা বলি। এই দুটি বল একে অপরের পরিপূরক।

নিউটনের গতির তৃতীয় সূত্রটি হলো :

প্রত্যেক ক্রিয়ার একটি সমান ও বিপরীত প্রতিক্রিয়া রয়েছে। অর্থাৎ প্রত্যেক ক্রিয়ামূলক বলের একটি সমান ও বিপরীত প্রতিক্রিয়ামূলক বল রয়েছে। এই সূত্রকে বস্তুসমূহের মধ্যে বলের পারস্পরিক ক্রিয়ার সূত্র বলা যায়।

ব্যাখ্যা : নিউটনের তৃতীয় সূত্রানুসারে যদি একটি বস্তু 𝐴 অপর একটি বস্তু 𝐵 – এর উপর বল প্রয়োগ করে, তা হলে 𝐵 বস্তুও 𝐴 বস্তুর উপর সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করবে। [চিত্র]।

A -এর দ্বারা প্রযুক্ত বল হলো ক্রিয়া এবং B -এর দ্বারা প্রযুক্ত বল হলো প্রতিক্রিয়া। কাজেই ক্রিয়া \vec{F} ও প্রতিক্রিয়া \vec{R} হলে, \vec{F}=-\vec{R}

ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া দুটি ভিন্ন বস্তুর উপর প্রযুক্ত হয়। ক্রিয়া না থাকলে প্রতিক্রিয়াও থাকে না। ক্রিয়া বা প্রতিক্রিয়া বলের কার্যকাল t হলে \vec{F} \times t = - \vec{R} \times t

অর্থাৎ, ক্রিয়াজনিত বলের ঘাত = – প্রতিক্রিয়াজনিত বলের ঘাত।

এটি স্থির বা গতিশীল যে-কোনো বস্তুর ক্ষেত্রে সমভাবে প্রযোজ্য।

উদাহরণ:

টেবিলের উপর বই থাকা: 

একটি টেবিলের উপর বই রাখা হলে বই- এর ওজন টেবিলের ওপর লম্বভাবে চাপ প্রয়োগ করবে। এটিই ক্রিয়া। নিউটনের গতির তৃতীয় সূত্রানুসারে টেবিল বই-এর উপর উপরের দিকে সমপরিমাণ বল প্রয়োগ করবে। এটি হলো প্রতিক্রিয়া। ক্রিয়া এবং প্রতিক্রিয়া সমান ও বিপরীত হওয়ায় বইটি টেবিলের উপর সাম্যবস্থায় থাকে।

বন্দুক হতে গুলি ছোঁড়া :

যখন বন্দুক হতে শিকারী গুলি ছোঁড়ে তখন সে পেছন দিকে একটি ধাক্কা অনুভব করে। প্রাথমিক অবস্থায় বন্দুক ও গুলি উভয়েরই বেগ শূন্য থাকে । ফলে তাদের মিলিত ভরবেগ শূন্য থাকে। গুলি ছোঁড়া হলে তা সামনের দিকে একটি ভরবেগ প্রাপ্ত হয়। নিউটনের তৃতীয় সূত্রানুসারে বন্দুকটি গুলির সমান ও বিপরীত ভরবেগ প্রাপ্ত হবে অর্থাৎ বন্দুকটি সমান ভরবেগে পেছনের দিকে যাবে এবং শিকারী পেছন দিকে ধাক্কা অনুভব করবে।

নৌকা থেকে লাফ দেয়া :

যখন আরোহী নৌকা হতে নদীর পাড়ে লাফিয়ে পড়ে, তখন নৌকাটিকে পেছনে ছুটে যেতে দেখা যায়। আরোহী নৌকার উপর যে বল প্রয়োগ করে তাতে নৌকাটি পেছনে যায়। নিউটনের তৃতীয় সূত্রানুসারে নৌকাও আরোহীর উপর সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করে। ফলে আরোহী তীরে পৌছায়।

পায়ে হাঁটা :

আমরা যখন পায়ে হেঁটে চলি তখন সামনের পা মাটির উপর লম্বভাবে নিচের দিকে একটা বল প্রয়োগ করে। এর নাম ক্রিয়া। মাটিও সামনের পায়ের তলার উপর সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করে। এর নাম প্রতিক্রিয়া। ক্রিয়া এবং প্রতিক্রিয়া সমান এবং বিপরীত হওয়ায় সামনের পা স্থির থাকে। কিন্তু পেছনের পা মাটির উপর 𝑄 বিন্দুতে তির্যকভাবে  𝐹  পরিমাণ বল 𝑄𝑃 বরাবর ক্রিয়া করে। [ চিত্র ]।

এই বল আনুভূমিকের সাথে 𝜃 কোণ উৎপন্ন করে। নিউটনের তৃতীয় সূত্রানুসারে মাটি পায়ের তলার উপর সমান ও বিপরীতমুখী প্রতিক্রিয়া বল প্রয়োগ করে।

মনে করি প্রতিক্রিয়া বল \vec{R}। ফলে \vec{R}=-\vec{F} । প্রতিক্রিয়া বলের অনুভূমিক অংশক 𝑅 cos 𝜃  আমাদেরকে স্যামনের দিকে এগিয়ে নেয় এবং উলম্ব অংশক 𝑅 sin 𝜃  শরীরের ওজন বহন করতে সাহায্য করে।

কিন্তু পিচ্ছিল পথে চলা শক্ত হয়। কারণ পথ পিচ্ছিল হলে মাটির উপর যথেষ্ট বল প্রয়োগ করা পায়ের পক্ষে সম্ভব হয় না। ফলে পায়ের উপর মাটির প্রতিক্রিয়া বল এবং সাথে সাথে প্রতিক্রিয়া বলের অনুভূমিক অংশক কম হয়। এজন্য পিচ্ছিল পথে চলা শক্ত হয়। মার্বেলের তৈরি মেঝে, বালুকাময় রাস্তায় হাঁটতে একই সমস্যা।

 

নিউটনের সূত্র ও ভরবেগের নিত্যতার গাণিতিক ব্যাখ্যা (Newtons law of motion and mathematical explanation of conversion of momentum)

সূত্র : যখন কোনো ব্যবস্থার উপর প্রযুক্ত বাহ্যিক বল শূন্য হয়, তখন ব্যবস্থাটির মোট ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে।

মনে করি,m_1 ও m_2 ভরের দুটি বস্তু আছে। এই বস্তু সমষ্টির উপর বাহ্যিক কোনো বল প্রযুক্ত হচ্ছে না। অতএব বস্তু দুটি কেবলমাত্র পারস্পরিক ক্রিয়া-প্রতিক্রিয়া বলের প্রভাব চলছে। যদি  m_1 এর উপর m_2 দ্বারা প্রযুক্ত বল \vec{F_1} হয় তাহলে নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী m_2 এর উপর m_1 এর সমান ও বিপরীতমুখী বল \vec{F_2} প্রয়োগ করবে অর্থাৎ

\vec{F_1} = -\vec{F_2}……..[4.15]

ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া বল একই সময় ধরে প্রযুক্ত হয়।

মনে করি m_1 ও m_2 ভরের বস্তু দুটির ভরবেগ যথাক্রমে \vec{P_1} ও \vec{P_2}। অতএব নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী

F_1=\frac{dP_1}{dt}এবংF_2=\frac{dP_2}{dt}

∴ সমীকরণ (4.15) থেকে পাই,

\frac{dP_1}{dt} = - \frac{dP_2}{dt}

বা,  \frac{dP_1}{dt} + \frac{dP_2}{dt} = 0

বা,\frac{d}{dt}(P_1+P_2)=0∴(P_1+P_2) = ধ্রুবক।

অর্থাৎ বাহ্যিক বল প্রযুক্ত না হলে ভরবেগ ধ্রুব থাকে। এটাই ভরবেগের সংরক্ষণ নীতি।

উপরের আলোচনা হতে আমরা যে সকল বিষয় জানতে পেরেছি তা হলো :

(২) এই নীতি যেকোনো ধরনের পারস্পরিক ক্রিয়ার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

(১) নীতিটি প্রতিপাদন করার সময় ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া বলের প্রকৃতি নিয়ে আলোচনা করা হয়নি।

(৩) ভরবেগ একটি ভেক্টর রাশি। অর্থাৎ এই নীতি অনুযায়ী বিচ্ছিন্ন বস্তু সমষ্টির ভরবেগের পরিবর্তন কেবলমাত্র বাইরে থেকে বল প্রয়োগ দ্বারাই করা যায়।

(৪) এ নীতির সাহায্যে একাধিক বস্তুর মধ্যে পারস্পরিক ক্রিয়া সম্পর্কে জটিল সমস্যার সমাধান করা যায়।

 

---

এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য কোর্সসমূহ

• ঢাবি-ক কোশ্চেন সলভ কোর্স
• ভার্সিটি A Unit + গুচ্ছ এডমিশন কোর্স
• ভার্সিটি B Unit + গুচ্ছ এডমিশন কোর্স
• ভার্সিটি C Unit + গুচ্ছ এডমিশন কোর্স 

---

৬ষ্ঠ-৯ম শ্রেণির ‘পোস্টার প্রেজেন্টেশনের দারুন সব টিপস অ্যান্ড ট্রিক্স শিখতে এখনই ভিজিট করুন এই ফ্রি কোর্সটিতেঃ 

• পোস্টার প্রেজেন্টেশন সুপার কোর্স

---

টেন মিনিট স্কুলের ওয়েবসাইট ভিজিট করুন:  www.10minuteschool.com