পরাবৃত্তের পরিচিতি (Introduction to the parabola)

পরাবৃত্ত (Parabola)

	$y^{2}=4 a x$   [a>0]	$x^{2}=4 a y$   [a>0]	$(y-\beta)^{2}=4 a(x-\alpha)$  [a>0]	$(x-\alpha)^{2}=4 a(y-\beta)$  [a>0]
চিত্র
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (A)	(0, 0)	(0, 0)	$(\alpha, \beta)$	$(\alpha, \beta)$
ফোকাস/ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (S)	(a, 0)	(0, a)	$(a+\alpha, \beta)$	$(\alpha, a+\beta)$
দিকাক্ষ/ নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক	(-a, 0)	(0, -a)	$(-a+\alpha, \beta)$	$(\alpha,-a+\beta)$

 

দিকাক্ষ/ নিয়ামকরেখার সমীকরণ	x+a=0 $\Rightarrow$x = a – 1	𝐲+𝐚=𝟎 ⇒𝐲=−𝐚	𝐱−𝛂+𝐚=𝟎	𝐲−𝛃+𝐚=𝟎
অক্ষরেখার সমীকরণ	y=0	x=0	$\begin{array}{c} y=\beta \\ \Rightarrow y-\beta=0 \end{array}$	$\begin{array}{c} x=\alpha \\ \Rightarrow x-\alpha=0 \end{array}$
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ	x=a	y=a	$\begin{array}{c} x-\alpha-a=0 \\ \Rightarrow x-\alpha=a \end{array}$	$\begin{array}{c} y-\beta-a=0 \\ \Rightarrow y-\beta=a \end{array}$
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য	4 |a|	4 |a|	4 |a|	4 |a|
উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়	(a, ±2a)	(±2a, a)	$(a+\alpha, \pm 2 a+\beta)$	$(\pm 2 a+\alpha, a+\beta)$
ফোকাস দূরত্ব/ উপকেন্দ্রিক দূরত্ব	SP=x+a	SP=y+a	x-+a	y-+a
শীর্ষে স্পর্শকের সমীকরণ	x=0	y=0	x=α ⇒x-α=0	y=β ⇒y-β=0
উপকেন্দ্র ও শীর্ষের দূরত্ব	a	a
পরামিতিক সমীকরণ	$\begin{array}{c} x=a t^{2} \\ y=2 a t \end{array}$	$\begin{array}{l} y=a t^{2} \\ x=2 a t \end{array}$
পোলার স্থানাঙ্কে সমীকরণ	r= 4acotθcosecθ	r= 4atanθsecθ

 

• x অক্ষের সমান্তরাল অক্ষবিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ:$x=a y^{2}+b y+c$

শীর্ষ $\left(-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a},-\frac{b}{2 a}\right)$ উপকেন্দ্রিক লম্ব $=\frac{1}{|a|}$

• y অক্ষের সমান্তরাল অক্ষবিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y=a x^{2}+b x+c$

শীর্ষ  $\left(-\frac{b}{2 a},-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right)$ উপকেন্দ্রিক লম্ব $=\frac{1}{|a|}$

• $Y^{2}=4 a x$ পরাবৃত্তের $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: $y y_{1}=2 a\left(x+x_{1}\right)$
• e=0 হলে একটি বিন্দু বৃত্ত পাওয়া যায়। 

[e এর আর এমন কোনো মান নাই যে, কণিকের সংজ্ঞা হতে বৃত্তের সমীকরণ পাওয়া যায়। এই কারণে বৃত্তকে কণিক বলা যায় না।]

• দিকাক্ষ যার সমান্তরাল তার উপর বর্গ, অর্থাৎ অক্ষ যার সমান্তরাল তার বিপরীতে বর্গ। 
• পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র মূলবিন্দু হলে, সমীকরণ: $y^{2}=4 a(x+a)$
• পরাবৃত্তের দিকাক্ষ ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দু মূলবিন্দু হলে, সমীকরণ: $y^{2}=4(x-a)$
•  অক্ষরেখা হতে পরাবৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্বের বর্গের ও শীর্ষ স্পর্শক হতে ঐ  বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান। অর্থাৎ, $y^{2}=4 a x$ পরাবৃত্তে অক্ষ হতে দূরত্বশীর্ষে স্পর্শক হতে দূরত্ব =4|a|
• $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ বিন্দুটি $y^{2}=4 a x$ পরাবৃত্তের 

                বাইরে অবস্থান করবে যদি $y_{1}^{2}-4 a x_{1}>0$ হয়।

                উপরে অবস্থান করবে যদি $y_{1}^{2}-4 a x_{1}=0$ হয়।

                ভিতরে অবস্থান করবে যদি $y_{1}^{2}-4 a x_{1}<0$হয়।

$y^{2}=4 a x$ পরাবৃত্ত:	$y^{2}=-4 a x$ পরাবৃত্ত:
$x^{2}=4 a y$ পরাবৃত্ত:	$x^{2}=-4 a y$পরাবৃত্ত:
$(y-\beta)^{2}=4 a(x-\alpha)$ পরাবৃত্ত:	$(y-\beta)^{2}=-4 a(x-a)$ পরাবৃত্ত:
$(x-\alpha)^{2}=4 a(y-\beta)$ পরাবৃত্ত:	$(x-\alpha)^{2}=-4 a(y-\beta)$ পরাবৃত্ত: