প্রক্ষেপণ গতি (Projection Speed)

তুমি যদি স্টেডিয়ামে কখনও ক্রিকেট খেলা দেখতে যাও তাহলে বাউন্ডারি থেকে ছোঁড়া ক্রিকেট বলের গতি লক্ষ করলে দেখবে বলটি প্রথমে ভূমি থেকে উপরে ওঠে পুনরায় বাঁকা পথে ভূমিতে ফিরে আসে। আবার বন্দুক থেকে উপরের দিকে ছোড়া বুলেটের গতি, নিক্ষিপ্ত তীর বা বর্শার গতি, বিমান থেকে নিক্ষিপ্ত বোমার গতি সকল ক্ষেত্রে একই প্রকার গতিপথ লক্ষ করা যায়। এই ধরনের বক্ৰগতিকে প্রাসের গতি (Projection Speed )বলে এবং গতিপথকে প্রক্ষেপণ (trajectory) বলে।

ইহা একটি অধিবৃত্ত। এ ধরনের গতি দ্বিমাত্রিক গতি। বাতাসের বাধা উপেক্ষা করলে প্রাসের গতি কেবলমাত্র অভিকর্ষের ক্রিয়ায় হয়। প্রাসের গতিপথ সর্বদা প্যারাবোলা বা অধিবৃত্ত হয়। প্রাস সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌছালে এর বেগ সর্বনিম্ন হয়। আবার সর্বাধিক উচ্চতায় প্রাসের গতি একমাত্রিক হয়। প্রাস প্রক্ষেপণ বিন্দু হতে অনুভূমিক দিকে সর্বাধিক যে দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে প্রাসের পাল্লা (Range) বলে।

অনুভূমিক বরাবর প্রাসের ত্বরণ ax=0, উল্লম্ব বরাবর প্রাসের ত্বরণ, ay=-g  হয়। প্রক্ষেপণ বিন্দুতে প্ৰাসের মূলবিন্দুর স্থানাংক x=0,  y=0 হয়। মনে কর O বিন্দু হতে কোণে একটি প্রাসকে v0 আদিবেগে উপরের দিকে নিক্ষেপ হলো [চিত্র]। প্রাসের প্রাথমিক বেগ v0 কে দুটি উপাংশে বিভক্ত করা যায়। একটি উপাংশ OX  বরাবর, উপাংশ OY বরাবর। উপাংশ দুটি হলো vx0=v0cos এবং vy0=v0sin ।

আমরা প্রক্ষেপ মুহূর্ত থেকে সময় গণনা করতে পারি। অর্থাৎ t=0 সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব x হলে,

x=vx0t+12axt2

x=v0cos θt +0 [∵ অনুভূমিক গতি vx0=v0cos  ]

∴t=xv0cos

আবার ax=-g হওয়ায় t সময় পর উল্লম্ব দিকে প্রাসের বেগ বা উল্লম্ব গতি

vy=vy0-gt=v0sin -gt

t সময় পর প্রাস যদি y উচ্চতায় আরোহণ করে, তবে 

y=vy0t-12gt2=v0sin θt –12gt2

t সময়ে লদ্ধি বেগ, v=vx2+vy2

লদ্ধি বেগ অনুভূমিক দিকের সাথে কোণ করলে, tan =vyvx

t এর মান (3.14) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 

y=v0sin xv0cos –12g×x2v02

y=tan x-82v02 x2

y=ax-bx2 … … ইহা একটি প্যারাবোলা বা অধিবৃত্তের সমীকরণ। 

এখানে, a=tan ,b=g2v02

এই রাশি দুটি প্রক্ষেপ পথে ধ্রুব থাকে। সুতরাং প্রাসের গতিপথ একটি  প্যারাবোলা।

প্রক্ষেপণ গতি  বিষয়ক বিভিন্ন রাশি (Projection Speed Related Terms)

সর্বাধিক উচ্চতা (H):  সর্বোচ্চ বিন্দু A–তে বেগের উল্লম্ব  উপাংশের মান শূন্য হয় অর্থাৎ vy=0 হয়

এক্ষেত্রে সমীকরণ থেকে v0sin -gt=0,t=v0sin g 

 সমীকরণে y=H এবং t এর মান বসিয়ে পাওয়া যায়, 

H=v0sin v0sin 8–12gv02 g2

H=v02 g–v02 2g

=v02 81-12=v02 2g

∴H=v02 2g

বিচরণ কাল (T): এক্ষেত্রে উঠা এবং নামার জন্য y=0 হয়

ফলে (2) নং সমীকরণ থেকে v0sin θt –12gt2=0

∴tv0sin –12gt=0

∴∆t=2v0sin 8

t=0 হলে প্রাসের প্রাথমিক অবস্থা 0-কে নির্দেশ করে। অতএব বিচরণ কাল t = T বসিয়ে পাই

T=2v0sin 8

প্রক্ষেপণ সীমা বা পাল্লা (R) : অনুভূমিক দিকে OB = পাল্লা = R

অতএব পাল্লা, R=vx0T=v0cos T =v0cos 2v0sin g=2v02sin cos   8

R=v028s

সর্বাধিক পাল্লা (Rmax): v0 এর যেকোনো প্রদত্ত মানে R সর্বাধিক হয় যখন sin 2θ =1 বা 2θ=90 হয় বা θ=45 হয়।

Rmax=v02sin 90 g=v02g

অর্থাৎ 45 নিক্ষেপণ কোণে নিক্ষিত বস্তুর পাল্লা সর্বাধিক।

অনুভূমিকভাবে নিক্ষিপ্ত বস্তুর বা প্রাসের গতির সমীকরণ (Equation of Motion of a Horizontally Thrown Object or Projectile)

ধরি, একটি বস্তুকে O বিন্দু হতে v0 বেগে অনুভূমিক দিকে নিক্ষেপ করা হলো [চিত্র ]। বায়ুর বাধা ও উচ্চতার সাথে g–এর পরিবর্তন অগ্রাহ্য করলে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতিপথের যে কোনো বিন্দুতে অনুভূমিক বেগ অভিন্ন এবং v0 হবে। কিন্তু নিক্ষিপ্ত বস্তুর বেগের খাড়া উপাংশ না থাকায় অভিকর্ষীয় ত্বরণের দরুন খাড়া নিচের দিকে বস্তুর বেগ সময়ের সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে। ধরি t সেকেন্ডে পরে বস্তুটি অনুভূমিক দিকে x দূরত্ব ও খাড়া নিচের দিকে y দূরত্ব অতিক্রম করে P বিন্দুতে এল এবং P বিন্দুতে বস্তুটির বেগ v ও v –এর অনুভূমিক ও উল্লম্ব  অংশকের মান। যথাক্রমে vx ও vy। তাহলে,

vx=v0=

ও  vy=0+gt=gt=

∴v=vx2+vy2

এখানে অনুভূমিকের সাথে v -এর কৌণিক ব্যবধান θ।

∴tan =vyvx

আবার , x=v0×t … … … (3) [ অনুভুমিকের দিকে ত্বরণ =0]

ও y=12gt2 … … … (4) [ উল্লম্ব দিকে আদি বেগ =0]

সমীকরণ (3) হতে t এর মান সমীকরণ (4)–এ বসিয়ে পাওয়া যায়-

y=12gxv02

∴x2=2v028y

উপরের সমীকরণে 2v02g=4A বসিয়ে পাওয়া যায়,

x2=4Ay

এটি একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ। কাজেই বাধাহীন পথে অনুভূমিকভাবে নিক্ষিপ্ত বস্তুর বা প্রাসের গতিপথ প্যাৱাবোলা (Parabola) বা অধিবৃত্ত রচনা করে।