একঘাত সমীকরণ জোট ও সমাধান নির্ণয় (System of linear equation and it’s Solution)
একঘাত সমীকরণ কাকে বলে? জোট (System of linear equations) a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . . . + a n x n = b a_1x_1+a_2x_2+.....+a_nx_n=b a 1 x 1 + a 2 x 2 + ..... + a n x n = b x 1 , x 2 , . . . . . . , x n x_1,x_2,......,x_n x 1 , x 2 , ...... , x n চলকের একঘাত সমীকরণ বলা হয়, যেখানে a 1 , a 2 , . . . . . . , a n a_1,a_2,......,a_n a 1 , a 2 , ...... , a n ধ্রুবক। এইরূপ একাধিক একঘাত সমীকরণকে একত্রে একঘাত সমীকরণ জোট বলা হয়।
নির্ণায়কের ১৭৫০ খ্রিষ্টাব্দে গ্যাবিয়েল ক্রেমার প্রতিষ্ঠা করেন বিধায় একে ক্রেমারের নিয়ম (Cramer’s Rule) বলা হয়।
ক্রেমারের নিয়মে একঘাত সমীকরণ জোট ও সমাধান (Solution of system of linear equations using cramer’s rule) দুই চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের ক্ষেত্রে- মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণ জোট : a 1 x + b 1 y = c 1 . . . . . . ( i ) a 2 x + b 2 y = c 2 . . . . . . ( i i ) a_1x+b_1y=c_1......(i)\\
a_2x+b_2y=c_2......(ii) a 1 x + b 1 y = c 1 ...... ( i ) a 2 x + b 2 y = c 2 ...... ( ii )
এখানে, x ও এর y সহগগুলি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক, D = ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ ≠ 0 D=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{vmatrix} \neq 0 D = ∣ ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ ∣ = 0
x এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, D x = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ D_x=\begin{vmatrix}
c_1 & b_1\\
c_2 & b_2
\end{vmatrix} D x = ∣ ∣ c 1 c 2 b 1 b 2 ∣ ∣
এবং y এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, D y = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ D_y=\begin{vmatrix}
a_1 & c_1\\
a_2 & c_2
\end{vmatrix} D y = ∣ ∣ a 1 a 2 c 1 c 2 ∣ ∣
বজ্রগুণন সূত্রানুসারে, x − b 1 c 2 + b 2 c 1 = y − c 1 a 2 + c 2 a 1 = 1 a 1 b 2 + a 2 b 1 \frac{x}{-b_1c_2+b_2c_1}=\frac{y}{-c_1a_2+c_2a_1}=\frac{1}{a_1b_2+a_2b_1} − b 1 c 2 + b 2 c 1 x = − c 1 a 2 + c 2 a 1 y = a 1 b 2 + a 2 b 1 1
বা, x ∣ c 1 b 1 c 2 b 1 ∣ = y ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ = 1 ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ \frac{x}{\begin{vmatrix}
c_1 & b_1\\
c_2 & b_1
\end{vmatrix}}=\frac{y}{\begin{vmatrix}
a_1 & c_1\\
a_2 & c_2
\end{vmatrix}}=\frac{1}{\begin{vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}} ∣ ∣ c 1 c 2 b 1 b 1 ∣ ∣ x = ∣ ∣ a 1 a 2 c 1 c 2 ∣ ∣ y = ∣ ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ ∣ 1
বা, x D x = y D y = 1 D \frac{x}{D_x}=\frac{y}{D_y}=\frac{1}{D} D x x = D y y = D 1
∴ x = D x D , y = D y D \therefore x=\frac{D_x}{D}, y=\frac{D_y}{D} ∴ x = D D x , y = D D y x,y এর মান অর্থাৎ, প্রদত্ত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করা যায়।
তিন চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের ক্ষেত্রে- মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণ জোট : a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 . . . . . . ( i ) a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 . . . . . . ( i i ) a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . . . . . . ( i i i ) a_1x+b_1y+c_1z=d_1......(i)\\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2......(ii)\\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3......(iii) a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 ...... ( i ) a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 ...... ( ii ) a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 ...... ( iii )
∴ আমরা পাই, x D x = y D y = z D z = 1 D \frac{x}{D_x}=\frac{y}{D_y}=\frac{z}{D_z}=\frac{1}{D} D x x = D y y = D z z = D 1
এখানে, D = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ ≠ 0 ; D=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}\neq 0; D = ∣ ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ ∣ = 0 ; x,y,z সহগগুলি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক।
D x = ∣ d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 ∣ D_x=\begin{vmatrix}
d_1 & b_1 & c_1\\
d_2 & b_2 & c_2\\
d_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix} D x = ∣ ∣ d 1 d 2 d 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ ∣ ; x এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক।
আবার D y = ∣ a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3 ∣ D_y=\begin{vmatrix}
a_1 & d_1 & c_1\\
a_2 & d_2 & c_2\\
a_3 & d_3 & c_3
\end{vmatrix} D y = ∣ ∣ a 1 a 2 a 3 d 1 d 2 d 3 c 1 c 2 c 3 ∣ ∣ ; y এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক।
এবং D z = ∣ a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 ∣ D_z=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & d_1\\
a_2 & b_2 & d_2\\
a_3 & b_3 & d_3
\end{vmatrix} D z = ∣ ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 d 1 d 2 d 3 ∣ ∣ ; z এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক।
∴ x = D x D , y = D y D , z = D z D \therefore x=\frac{D_x}{D}, y=\frac{D_y}{D}, z=\frac{D_z}{D} ∴ x = D D x , y = D D y , z = D D z x,y,z এর মান অর্থাৎ, প্রদত্ত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করা যায়।
দ্রষ্টব্য : যদি D≠0 হয়, তবে সমীকরণ জোটের অনন্য সমাধান বিদ্যমান। কেবল D≠0 শর্তেই ক্রেমারের নিয়ম প্রযোজ্য।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান (Solution of system of linear equations using inverse matrix) মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণ জোট: a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 . . . . . . ( i ) a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 . . . . . . ( i i ) a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . . . . . . ( i i i ) a_1x+b_1y+c_1z=d_1......(i)\\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2......(ii)\\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3......(iii) a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 ...... ( i ) a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 ...... ( ii ) a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 ...... ( iii )
সমীকরণ জোটটি ম্যাট্রিক্স আকারে লিখে পাই, [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] [ x y z ] = [ d 1 d 2 d 3 ] \begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\
a_2 & b_2 & c_2\\
a_3 & b_3 & c_3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
d_1\\
d_2\\
d_3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ d 1 d 2 d 3 ⎦ ⎤
⇒ A X = B \Rightarrow AX=B ⇒ A X = B A = [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] A=\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\
a_2 & b_2 & c_2\\
a_3 & b_3 & c_3
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ⎦ ⎤ একটি অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স, X = [ x y z ] X=\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} X = ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ এবং B = [ d 1 d 2 d 3 ] B=\begin{bmatrix}
d_1\\
d_2\\
d_3
\end{bmatrix} B = ⎣ ⎡ d 1 d 2 d 3 ⎦ ⎤
∴ X = A − 1 B \therefore X=A^{-1}B ∴ X = A − 1 B x,y,z মান পাওয়া যায়।
এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ
HSC 25 অনলাইন ব্যাচ ২.০ (বাংলা, ইংরেজি, তথ্য ও যোগাযোগ প্রযুক্তি) HSC 26 অনলাইন ব্যাচ (বাংলা, ইংরেজি, তথ্য ও যোগাযোগ প্রযুক্তি) HSC 25 অনলাইন ব্যাচ (ফিজিক্স, কেমিস্ট্রি, ম্যাথ, বায়োলজি) HSC 26 অনলাইন ব্যাচ (ফিজিক্স, কেমিস্ট্রি, ম্যাথ, বায়োলজি) মেডিকেল এডমিশন কোর্স – ২০২৪ ঢাকা ভার্সিটি A Unit এডমিশন কোর্স – ২০২৪ ঢাকা ভার্সিটি B Unit এডমিশন কোর্স – ২০২৪ বুয়েট কোশ্চেন সলভ কোর্স গুচ্ছ A Unit এডমিশন কোর্স – ২০২৪ গুচ্ছ B Unit এডমিশন কোর্স – ২০২৪
আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ
১ ০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com
