\u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u09a1\u099f \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 (Scalar or Dot product):<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u09c7 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u098f\u0995\u099f\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09b9\u09b2\u09c7 \u098f\u0987 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u0995\u09c7 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09b2\u09c7\u0964 \u098f\u0987 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u09c7 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ae\u09be\u09a8\u09c7\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u098f\u09ac\u0982 \u09a4\u09be\u09a6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09a7\u09cd\u09af\u09ac\u09b0\u09cd\u09a4\u09c0 \u0995\u09cb\u09a3\u09c7\u09b0 \u0995\u09cb\u09b8\u09be\u0987\u09a8\u09c7\u09b0 (cosine) \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8 \u09b9\u09af\u09bc\u0964 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u0995\u09c7 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u0995\u09b0\u09a4\u09c7 \u09b9\u09b2\u09c7 \u0989\u09b9\u09be\u09a6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u099d\u09c7 \u098f\u0995\u099f\u09bf \u09a1\u099f (.) \u099a\u09bf\u09b9\u09cd\u09a8 \u09a6\u09bf\u09a4\u09c7 \u09b9\u09af\u09bc\u0964 \u098f\u0987 \u099c\u09a8\u09cd\u09af \u098f \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u09c7\u09b0 \u0985\u09aa\u09b0 \u09a8\u09be\u09ae \u09a1\u099f \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n
\r\n![\"scalar](\"https:\/\/stage-wp.10minuteschool.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/18.1-1-1-1024x730.png\")
<\/figure>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09ac\u09cd\u09af\u09be\u0996\u09cd\u09af\u09be\u0983<\/strong> \u09ae\u09a8\u09c7 \u0995\u09b0\u09bf, \\vec{P}<\/span> \u0993 \\vec{Q}<\/span> \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u0964 \u09a4\u09c0\u09b0 \u0985\u09ad\u09b9\u09bf\u09a4 OA \u0993 OC \u09b8\u09b0\u09b2\u09b0\u09c7\u0996\u09be \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09a6\u09c1\u099f\u09bf\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8 \u0993 \u09a6\u09bf\u0995 \u09a8\u09bf\u09b0\u09cd\u09a6\u09c7\u09b6 \u098f\u09b0\u09be \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09be\u09a5\u09c7 \\alpha<\/span> \u0995\u09cb\u09a3\u09c7 \u0986\u09a8\u09a4\u0964 \u098f\u09a6\u09c7\u09b0\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09ac\u09be \u09a1\u099f \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 = \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}<\/span> \u09a6\u09cd\u09ac\u09be\u09b0\u09be \u09a8\u09bf\u09b0\u09cd\u09a6\u09c7\u09b6 \u0995\u09b0\u09be \u09b9\u09af\u09bc \u098f\u09ac\u0982 \u09aa\u09a1\u09bc\u09a4\u09c7 \u09b9\u09af\u09bc \\vec{P}<\/span> \u09a1\u099f \\vec{Q}<\/span>\u0964 \u0995\u09be\u099c\u09c7\u0987 \u09b8\u0982\u099c\u09cd\u099e\u09be \u0985\u09a8\u09c1\u09b8\u09be\u09b0\u09c7 \u09aa\u09be\u0987,<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\\Rightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\mathrm{PQ} \\cos \\alpha=\\mathrm{QP} \\cos \\alpha<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n\u098f\u0996\u09be\u09a8\u09c7 0 \\leq \\alpha \\leq \\pi<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09ac\u09bf\u09b6\u09c7\u09b7 \u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0 :<\/strong><\/h3>\r\n\r\n\r\n\r\n(\u0995) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=0^{\\circ}<\/span> \u09b9\u09af\u09bc, \u09a4\u09ac\u09c7 \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\mathrm{PQ} \\cos 0^{\\circ}=\\mathrm{PQ}<\/span>\u0964 \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09be\u09b2 \u09b9\u09ac\u09c7<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n(\u0996) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=90^{\\circ}<\/span> \u00a0\u09b9\u09af\u09bc, \u09a4\u09ac\u09c7 \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\mathrm{PQ} \\cos 90^{\\circ}=\\mathrm{0}<\/span>\u0964 \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0 \u09b2\u09ae\u09cd\u09ac \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n(\u0997) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=180^{\\circ}<\/span> \u09b9\u09af\u09bc, \u09a4\u09ac\u09c7 \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\mathrm{PQ} \\cos 180^{\\circ}=\\mathrm{-PQ}<\/span> \u0964 \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09be\u09b2 \u098f\u09ac\u0982 \u09ac\u09bf\u09aa\u09b0\u09c0\u09a4\u09ae\u09c1\u0996\u09c0 \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\u0986\u09af\u09bc\u09a4 \u098f\u0995\u0995 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u0997\u09c1\u09b2\u09cb\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 :<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\\begin{array}{l}\n\\hat{\\imath} . \\hat{\\imath}=\\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{\\jmath}=\\hat{k} \\cdot \\hat{k}=1 \\\\\n\\hat{\\imath} \\cdot \\hat{\\jmath}=\\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{k}=\\hat{l} \\cdot \\hat{k}=0\n\\end{array}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n\u0989\u09aa\u09be\u0982\u09b6\u09c7 \u09ac\u09bf\u09ad\u09be\u099c\u09bf\u09a4 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 :<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09a7\u09b0\u09bf, \\begin{array}{c}\n\\vec{A}=A_{x} \\hat{\\imath}+A_{y} \\hat{\\jmath}+A_{z} \\hat{k} \\\\\n\\vec{B}=B_{x} \\hat{\\imath}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k} \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\cdot \\vec{B}=\\left(A_{x} \\hat{\\imath}+A_{y} \\hat{\\jmath}+A_{z} \\hat{k}\\right) \\cdot\\left(B_{x} \\hat{\\imath}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k}\\right) \\\\\n=A_{x} \\hat{\\imath} \\cdot\\left(B_{x} \\hat{\\imath}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k}\\right)+A_{y} \\hat{\\jmath} \\cdot\\left(B_{x} \\hat{\\imath}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k}\\right)+A_{z} \\hat{k} \\cdot\\left(B_{x} \\hat{\\imath}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k}\\right) \\\\\n=A_{x} B_{x} \\hat{\\imath} \\cdot \\hat{\\imath}+A_{x} B_{y} \\hat{\\imath} \\cdot \\hat{\\jmath}+A_{x} B_{z} \\hat{\\imath} \\cdot \\hat{k}+A_{y} B_{x} \\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{\\imath}+A_{y} B_{y} \\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{\\jmath}+A_{y} B_{z} \\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{k}+A_{z} B_{x} \\hat{k} \\cdot \\hat{\\imath} \\\\\n+A_{z} B_{y} \\hat{k} \\cdot \\hat{\\jmath}+A_{z} B_{z} \\hat{k} \\cdot \\hat{k} \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\cdot \\vec{B}=A_{x} B_{x}+0+0+0+A_{y} B_{y}+0+0+0+A_{z} B_{z} \\\\\n{[\\because \\hat{\\imath} \\cdot \\hat{\\imath}=\\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{\\jmath}=\\hat{k} \\cdot \\hat{k}=1 ; \\hat{\\imath} \\cdot \\hat{\\jmath}=\\hat{\\jmath} ; \\hat{k}=\\hat{k} \\cdot \\hat{\\jmath}=\\hat{k} \\cdot \\hat{\\imath}=\\hat{\\imath} \\cdot \\hat{k}=0]} \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\cdot \\vec{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}\n\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\u0985\u09b0\u09cd\u09a5\u09be\u09ce \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 = \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09a6\u09c1\u099f\u09bf\u09b0 X \u0989\u09aa\u09be\u0982\u09b6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8\u09c7\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 + \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09a6\u09c1\u099f\u09bf\u09b0 Y \u0989\u09aa\u09be\u0982\u09b6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8\u09c7\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 + \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09a6\u09c1\u099f\u09bf\u09b0 Z \u0989\u09aa\u09be\u0982\u09b6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8\u09c7\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n
\u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 (Vector or Cross product)<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u09af\u09a6\u09bf \u098f\u0995\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09b9\u09af\u09bc, \u09a4\u09ac\u09c7 \u0990 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u0995\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09b2\u09c7\u0964 \u098f\u0987 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09a6\u09c1\u099f\u09bf\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8 \u098f\u09ac\u0982 \u09a4\u09be\u09a6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09a7\u09cd\u09af\u09ac\u09b0\u09cd\u09a4\u09c0 \u0995\u09cb\u09a3\u09c7\u09b0 \u09b8\u09be\u0987\u09a8 (sine) \u098f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u0964 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u0995\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u0995\u09b0\u09a4\u09c7 \u09b9\u09b2\u09c7 \u0989\u09b9\u09be\u09a6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u099d\u09c7 \u098f\u0995\u099f\u09bf \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 (x) \u099a\u09bf\u09b9\u09cd\u09a8 \u09a6\u09bf\u09a4\u09c7 \u09b9\u09af\u09bc \u098f\u0987\u099c\u09a8\u09cd\u09af \u098f\u0987 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u09c7\u09b0 \u0985\u09aa\u09b0 \u09a8\u09be\u09ae \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u0964 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09c7\u09b0\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995 \u09a1\u09be\u09a8\u09b9\u09be\u09a4\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09cd\u09b0\u09c1 \u09a8\u09bf\u09af\u09bc\u09ae\u09c7 \u09a8\u09bf\u09b0\u09cd\u09a3\u09af\u09bc \u0995\u09b0\u09be \u09b9\u09af\u09bc\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n
\u09ac\u09cd\u09af\u09be\u0996\u09cd\u09af\u09be : <\/strong>\u09ae\u09a8\u09c7 \u0995\u09b0\u09bf \\vec{P}<\/span> \u0993 \\vec{Q}<\/span> \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u0964 \u098f\u09b0\u09be \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09be\u09a5\u09c7 \\alpha<\/span> \u0995\u09cb\u09a3\u09c7 O \u09ac\u09bf\u09a8\u09cd\u09a6\u09c1\u09a4\u09c7 \u0995\u09cd\u09b0\u09bf\u09af\u09bc\u09be \u0995\u09b0\u09c7\u0964 \u0985\u09a4\u098f\u09ac \u098f\u09a6\u09c7\u09b0 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u09ac\u09be \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\\overrightarrow{\\mathrm{R}}=\\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\times \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\hat{\\eta} \\overrightarrow{|\\mathrm{P}|} \\overrightarrow{|Q|} \\sin \\alpha 0 \\leq \\alpha \\leq \\pi<\/span>, \u098f\u0996\u09be\u09a8\u09c7 \\hat{\\eta}<\/span> \u0997\u09c1\u09a3\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995 \u09a8\u09bf\u09b0\u09cd\u09a6\u09c7\u09b6 \u0995\u09b0\u09c7\u0964<\/p>\r\n\\begin{aligned}\n\\Rightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{R}} &=\\overrightarrow{\\mathrm{Q}} \\times \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\\\\n&=\\hat{\\eta} Q P \\sin \\alpha 0 \\leq \\alpha \\leq \\pi\n\\end{aligned}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n![\"vector](\"https:\/\/stage-wp.10minuteschool.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/20.1-1-1024x687.png\")
<\/figure>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09a1\u09be\u09a8 \u09b9\u09be\u09a4\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09cd\u09b0\u09c1 \u09a8\u09bf\u09af\u09bc\u09ae (Right Hand Screw Rule)<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09af\u09c7 \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c7 \u0985\u09ac\u09b8\u09cd\u09a5\u09bf\u09a4 \u09b8\u09c7\u0987 \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c7\u09b0 \u0989\u09aa\u09b0 \u09b2\u09ae\u09cd\u09ac\u09ad\u09be\u09ac\u09c7 \u098f\u0995\u099f\u09bf \u09a1\u09be\u09a8 \u09b9\u09be\u09a4\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09cd\u09b0\u09c1\u0995\u09c7 \u09b0\u09c7\u0996\u09c7 \u09aa\u09cd\u09b0\u09a5\u09ae \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b9\u09a4\u09c7 \u09a6\u09cd\u09ac\u09bf\u09a4\u09c0\u09af\u09bc \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u09c7\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995\u09c7 \u0995\u09cd\u09b7\u09c1\u09a6\u09cd\u09b0\u09a4\u09ae \u0995\u09cb\u09a3\u09c7 \u0998\u09c1\u09b0\u09be\u09b2\u09c7 \u09b8\u09cd\u0995\u09c1\u099f\u09bf \u09af\u09c7 \u09a6\u09bf\u0995\u09c7 \u0985\u0997\u09cd\u09b0\u09b8\u09b0 \u09b9\u09af\u09bc \u09b8\u09c7\u0987 \u09a6\u09bf\u0995\u0987 \u09b9\u09ac\u09c7 \\vec{R}<\/span> \u09a4\u09a5\u09be \\hat{\\eta}<\/span> \u098f\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\u0989\u09aa\u09b0\u09cb\u0995\u09cd\u09a4 \u09a8\u09bf\u09af\u09bc\u09ae \u0985\u09a8\u09c1\u09b8\u09be\u09b0\u09c7 \\vec{P} \\times \\vec{Q}<\/span> \u098f\u09b0 \u0985\u09ad\u09bf\u09ae\u09c1\u0996 \u09b9\u09ac\u09c7 \u0989\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995\u09c7\u0964 [\u099a\u09bf\u09a4\u09cd\u09b0] \u098f\u09ac\u0982 \u0990 \\vec{Q} \\times \\vec{P}<\/span> \u098f\u09b0 \u0985\u09ad\u09bf\u09ae\u09c1\u0996\u09c7 \u09b9\u09ac\u09c7 \u09a8\u09bf\u099a\u09c7\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995\u09c7 [\u099a\u09bf\u09a4\u09cd\u09b0] \u0985\u09b0\u09cd\u09a5\u09be\u09ce \u09aa\u09cd\u09b0\u09a5\u09ae \u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09a1\u09be\u09a8 \u09b9\u09be\u09a4\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09cd\u09b0\u09c1\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995 \u09b9\u09ac\u09c7 \u0998\u09a1\u09bc\u09bf\u09b0 \u0995\u09be\u0981\u099f\u09be\u09b0 \u09ac\u09bf\u09aa\u09b0\u09c0\u09a4\u09ae\u09c1\u0996\u09c0 (Clockwise) \u098f\u09ac\u0982 \u09a6\u09cd\u09ac\u09bf\u09a4\u09c0\u09af\u09bc \u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u0998\u09a1\u09bc\u09bf\u09b0 \u0995\u09be\u099f\u09be\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995\u09c7 (Clockwise)\u0964 Anti-clockwise direction-\u0995\u09c7 positive (\u09a7\u09a8\u09be\u09a4\u09cd\u09ae\u0995) \u09a7\u09b0\u09be \u09b9\u09af\u09bc \u098f\u09ac\u0982 clockwise direction-\u0995\u09c7 Negative (\u098b\u09a3\u09be\u09a4\u09cd\u09ae\u0995) \u09a7\u09b0\u09be \u09b9\u09af\u09bc\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n![\"right](\"https:\/\/stage-wp.10minuteschool.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/21.1-1-1024x666.png\")
<\/figure>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09ac\u09bf\u09b6\u09c7\u09b7 \u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0 :<\/strong><\/h3>\r\n\r\n\r\n\r\n(\u0995) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=0^{\\circ}<\/span> \u09b9\u09af\u09bc, \u09a4\u09ac\u09c7 \\overrightarrow{\\mathrm{R}}=\\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\times \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\hat{\\eta} \\mathrm{PQ} \\sin 0^{\\circ}=0<\/span> \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09be\u09b2 \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n(\u0996) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=90^{\\circ}<\/span> \u00a0\u09a4\u09ac\u09c7 \\overrightarrow{\\mathrm{R}}=\\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\times \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\hat{\\eta} \\mathrm{PQ} \\sin 90^{\\circ}=\\mathrm{PQ}<\/span>\u00a0 \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09aa\u09b0 \u09b2\u09ae\u09cd\u09ac \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n(\u0997) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=180^{\\circ}<\/span> \u00a0\u09a4\u09ac\u09c7 \\vec{R}=\\vec{P} \\times \\vec{Q}=\\hat{\\eta} P Q \\sin 180^{\\circ}=0<\/span> \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09be\u09b2 \u098f\u09ac\u0982 \u09ac\u09bf\u09aa\u09b0\u09c0\u09a4\u09ae\u09c1\u0996\u09c0 \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\u0986\u09af\u09bc\u09a4 \u098f\u0995\u0995 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u0997\u09c1\u09b2\u09cb\u09b0 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 :<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\\begin{array}{c}\n\\hat{\\jmath} \\times \\hat{\\jmath}=\\hat{k} \\times \\hat{k}=\\overrightarrow{0} \\\\\n\\therefore \\hat{\\imath} \\times \\hat{\\imath}=\\hat{\\jmath} \\times \\hat{\\jmath}=\\hat{k} \\times \\hat{k}=\\overrightarrow{0}\n\\end{array}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n\u0989\u09aa\u09be\u0982\u09b6\u09c7 \u09ac\u09bf\u09ad\u09be\u099c\u09bf\u09a4 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u09c7\u09b0 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 :<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\\vec{A} \\times \\vec{B}=\\left|\\begin{array}{ccc}\n\\hat{\\imath} & \\hat{\\jmath} & \\hat{k} \\\\\nA_{x} & A_{y} & A_{z} \\\\\nB_{x} & B_{y} & B_{z}\n\\end{array}\\right|<\/span>\r\n\u09aa\u09cd\u09b0\u09ae\u09be\u09a3 : \u09a7\u09b0\u09be \u09af\u09be\u0995,<\/p>\r\n\\begin{array}{c}\n\\vec{A}=\\hat{\\imath} A_{x}+\\hat{\\jmath} A_{y}+\\hat{k} A_{z} \\\\\n\\vec{B}=\\hat{\\imath} B_{x}+\\hat{\\jmath} B_{y}+\\hat{k} B_{z} \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\times \\vec{B}=\\left(\\hat{\\imath} A_{x}+\\hat{\\jmath} A_{y}+\\hat{k} A_{z}\\right) \\times\\left(\\hat{\\imath} B_{x}+\\hat{\\jmath} B_{y}+\\hat{k} B_{z}\\right) \\\\\n=(\\hat{\\imath} \\times \\hat{\\imath}) A_{x} B_{x}+(\\hat{\\imath} \\times \\hat{\\jmath}) A_{x} B_{y}+(\\hat{\\imath} \\times \\hat{k}) A_{x} B_{z}+(\\hat{\\jmath} \\times \\hat{\\imath}) A_{y} B_{x}+(\\hat{\\jmath} \\times \\hat{\\jmath}) A_{y} B_{y} \\\\\n+(\\hat{\\jmath} \\times \\hat{k}) A_{y} B_{z}+(\\hat{k} \\times \\hat{\\imath}) A_{z} B_{x}+(\\hat{k} \\times \\hat{\\jmath}) A_{z} B_{y}+(\\hat{k} \\times \\hat{k}) A_{z} B_{z} \\\\\n=\\overrightarrow{0}+\\widehat{K} A_{x} B_{y}-\\hat{\\jmath} A_{x} B_{z}-\\widehat{K} A_{y} B_{x}+\\overrightarrow{0}+\\hat{\\imath} A_{y} B_{z}+\\hat{\\jmath} A_{z} B_{x}-\\hat{\\imath} A_{z} B_{y}+\\overrightarrow{0} \\\\\n=\\hat{\\imath}\\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\\right)+\\hat{\\jmath}\\left(A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}\\right)+\\hat{k}\\left(A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}\\right) \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\times \\vec{B}=\\left|\\begin{array}{ccc}\n\\hat{\\imath} & \\hat{\\jmath} & \\hat{k}_{x} & A_{y} & A_{z} \\\\\nB_{x} & B_{y} & B_{z}\n\\end{array}\\right|\n\\end{array}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09a4\u09cd\u09b0\u09bf\u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 (Triple Product) :<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u09b0 \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09b8\u09be\u09a5\u09c7 \u09a4\u09c3\u09a4\u09c0\u09af\u09bc \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u099f\u09bf\u09b0 \u09a1\u099f \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u0995\u09b0\u09be \u09b9\u09b2\u09c7 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u09b9\u09ac\u09c7 \u098f\u0995\u099f\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u0986\u09b0 \u098f \u09a7\u09b0\u09a8\u09c7\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u0995\u09c7 \u09ac\u09b2\u09be \u09b9\u09af\u09bc \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09a4\u09cd\u09b0\u09bf\u0997\u09c1\u09a3 \u098f\u09ac\u0982 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u0995\u09c7 \u09ac\u09b2\u09c7 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09a4\u09cd\u09b0\u09bf\u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u0964 \\vec{A}, \\vec{B}<\/span> \u0993 \\vec{C}<\/span> \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09a4\u09cd\u09b0\u09bf\u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09b9\u09a4\u09c7 \u09aa\u09be\u09b0\u09c7 \u09a8\u09bf\u09ae\u09cd\u09a8\u09cb\u0995\u09cd\u09a4\u09ad\u09be\u09ac\u09c7-<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\\begin{aligned}\n\\vec{A} \\cdot(\\vec{B} \\times \\vec{C}) & \\Rightarrow \\vec{B} \\cdot(\\vec{C} \\times \\vec{A}) \\Rightarrow \\vec{C} \\cdot(\\vec{A} \\times \\vec{B}) \\\\\n\\vec{A} \\cdot(\\vec{B} \\times \\vec{C}) &=\\vec{B} \\cdot(\\vec{C} \\times \\vec{A})=\\vec{C} \\cdot(\\vec{A} \\times \\vec{B})\n\\end{aligned}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \\vec{A}, \\vec{B}<\/span> \u0993 \\vec{C}<\/span> \u00a0\u09af\u09a6\u09bf \u098f\u0995\u099f\u09bf \u0998\u09a8 \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09bf\u0995 \u09ac\u09be \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u0995 \u09ac\u09be \u09aa\u09cd\u09af\u09be\u09b0\u09be\u09b2\u09c7\u09b2\u09c7\u09aa\u09be\u0987\u09aa\u09a1(parallelepiped)-\u098f\u09b0 \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u09ac\u09be\u09b9\u09c1 \u09a8\u09bf\u09b0\u09cd\u09a6\u09c7\u09b6 \u0995\u09b0\u09c7 (\u099a\u09bf\u09a4\u09cd\u09b0) \u09a4\u09be\u09b9\u09b2\u09c7 \u0990 \u0998\u09a8 \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09bf\u0995 \u09ac\u09be \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u0995\u09c7\u09b0 \u0986\u09af\u09bc\u09a4\u09a8 \u09b9\u09ac\u09c7<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n![\"triple](\"https:\/\/stage-wp.10minuteschool.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/23.1-1-1024x646.png\")
<\/figure>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n\\begin{aligned}\n\\text { \u0986\u09af\u09bc\u09a4\u09a8 , } & V=\\vec{A} \\cdot(\\vec{B} \\times \\vec{C}) \\\\\n\\text { \u098f\u0996\u09a8 , \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0, } & \\vec{A}=A_{x} \\hat{\\imath}+A_{y} \\hat{\\jmath}+A_{z} \\hat{k} \\\\\n& \\vec{B}=B_{x} \\hat{i}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k} \\\\\n& \\vec{C}=C_{x} \\hat{i}+C_{y} \\hat{\\jmath}+C_{z} \\hat{k} \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\cdot(\\vec{B} \\times \\vec{C})=\\left|\\begin{array}{lll}\nA_{x} & A_{y} & A_{z} \\\\\nB_{x} & B_{y} & B_{z} \\\\\nC_{x} & C_{y} & C_{z}\n\\end{array}\\right|\n\\end{aligned}<\/span>|<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\u00a0\\vec{A}, \\vec{B}<\/span> \u0993 \\vec{C}<\/span> \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u098f\u0995\u0987 \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c7 \u0985\u09ac\u09b8\u09cd\u09a5\u09bf\u09a4 \u09b9\u0993\u09af\u09bc\u09be\u09b0 \u0985\u09b0\u09cd\u09a5 \u0998\u09a8 \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09bf\u0995 \u09ac\u09be \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u0995\u099f\u09bf\u09b0 \u0989\u099a\u09cd\u099a\u09a4\u09be \u09b6\u09c2\u09a8\u09cd\u09af \u0985\u09b0\u09cd\u09a5\u09be\u09ce \u0964 \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u0995\u099f\u09bf\u09b0 \u0986\u09af\u09bc\u09a4\u09a8\u0993 \u09b6\u09c2\u09a8\u09cd\u09af\u0964 \u09b8\u09c1\u09a4\u09b0\u09be\u0982 \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09a4\u09cd\u09b0\u09bf\u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u09b6\u09c2\u09a8\u09cd\u09af \u09b9\u09b2\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c0\u09af\u09bc \u09ac\u09be \u098f\u0995\u0987 \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c7 \u0985\u09ac\u09b8\u09cd\u09a5\u09bf\u09a4 \u09b9\u09ac\u09c7\u0964 \u0985\u09b0\u09cd\u09a5\u09be\u09ce\\vec{A} \\cdot(\\vec{B} \\times \\vec{C})=0<\/span> \u09b9\u09b2\u09c7 \u00a0\\vec{A}, \\vec{B}<\/span> \u0993 \\vec{C}<\/span> \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u098f\u0995\u0987 \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c7 \u0985\u09ac\u09b8\u09cd\u09a5\u09bf\u09a4 \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"\u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09a6\u09bf\u0995 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09ac\u09be \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u09b8\u09be\u09a7\u09be\u09b0\u09a3 \u09a6\u09c1\u0987 \u09aa\u09cd\u09b0\u0995\u09be\u09b0, \u09af\u09a5\u09be\u0983 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u09a1\u099f \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 (Scalar or Dot product) \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 (Vector or Cross product) \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u09a1\u099f \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 (Scalar or Dot product): \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0<\/p>\n
<\/figure>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09ac\u09cd\u09af\u09be\u0996\u09cd\u09af\u09be\u0983<\/strong> \u09ae\u09a8\u09c7 \u0995\u09b0\u09bf, \\vec{P}<\/span> \u0993 \\vec{Q}<\/span> \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u0964 \u09a4\u09c0\u09b0 \u0985\u09ad\u09b9\u09bf\u09a4 OA \u0993 OC \u09b8\u09b0\u09b2\u09b0\u09c7\u0996\u09be \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09a6\u09c1\u099f\u09bf\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8 \u0993 \u09a6\u09bf\u0995 \u09a8\u09bf\u09b0\u09cd\u09a6\u09c7\u09b6 \u098f\u09b0\u09be \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09be\u09a5\u09c7 \\alpha<\/span> \u0995\u09cb\u09a3\u09c7 \u0986\u09a8\u09a4\u0964 \u098f\u09a6\u09c7\u09b0\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09ac\u09be \u09a1\u099f \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 = \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}<\/span> \u09a6\u09cd\u09ac\u09be\u09b0\u09be \u09a8\u09bf\u09b0\u09cd\u09a6\u09c7\u09b6 \u0995\u09b0\u09be \u09b9\u09af\u09bc \u098f\u09ac\u0982 \u09aa\u09a1\u09bc\u09a4\u09c7 \u09b9\u09af\u09bc \\vec{P}<\/span> \u09a1\u099f \\vec{Q}<\/span>\u0964 \u0995\u09be\u099c\u09c7\u0987 \u09b8\u0982\u099c\u09cd\u099e\u09be \u0985\u09a8\u09c1\u09b8\u09be\u09b0\u09c7 \u09aa\u09be\u0987,<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\\Rightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\mathrm{PQ} \\cos \\alpha=\\mathrm{QP} \\cos \\alpha<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n \u098f\u0996\u09be\u09a8\u09c7 0 \\leq \\alpha \\leq \\pi<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n (\u0995) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=0^{\\circ}<\/span> \u09b9\u09af\u09bc, \u09a4\u09ac\u09c7 \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\mathrm{PQ} \\cos 0^{\\circ}=\\mathrm{PQ}<\/span>\u0964 \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09be\u09b2 \u09b9\u09ac\u09c7<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n (\u0996) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=90^{\\circ}<\/span> \u00a0\u09b9\u09af\u09bc, \u09a4\u09ac\u09c7 \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\mathrm{PQ} \\cos 90^{\\circ}=\\mathrm{0}<\/span>\u0964 \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0 \u09b2\u09ae\u09cd\u09ac \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n (\u0997) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=180^{\\circ}<\/span> \u09b9\u09af\u09bc, \u09a4\u09ac\u09c7 \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\mathrm{PQ} \\cos 180^{\\circ}=\\mathrm{-PQ}<\/span> \u0964 \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09be\u09b2 \u098f\u09ac\u0982 \u09ac\u09bf\u09aa\u09b0\u09c0\u09a4\u09ae\u09c1\u0996\u09c0 \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n \u09a7\u09b0\u09bf, \\begin{array}{c}\n\\vec{A}=A_{x} \\hat{\\imath}+A_{y} \\hat{\\jmath}+A_{z} \\hat{k} \\\\\n\\vec{B}=B_{x} \\hat{\\imath}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k} \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\cdot \\vec{B}=\\left(A_{x} \\hat{\\imath}+A_{y} \\hat{\\jmath}+A_{z} \\hat{k}\\right) \\cdot\\left(B_{x} \\hat{\\imath}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k}\\right) \\\\\n=A_{x} \\hat{\\imath} \\cdot\\left(B_{x} \\hat{\\imath}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k}\\right)+A_{y} \\hat{\\jmath} \\cdot\\left(B_{x} \\hat{\\imath}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k}\\right)+A_{z} \\hat{k} \\cdot\\left(B_{x} \\hat{\\imath}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k}\\right) \\\\\n=A_{x} B_{x} \\hat{\\imath} \\cdot \\hat{\\imath}+A_{x} B_{y} \\hat{\\imath} \\cdot \\hat{\\jmath}+A_{x} B_{z} \\hat{\\imath} \\cdot \\hat{k}+A_{y} B_{x} \\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{\\imath}+A_{y} B_{y} \\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{\\jmath}+A_{y} B_{z} \\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{k}+A_{z} B_{x} \\hat{k} \\cdot \\hat{\\imath} \\\\\n+A_{z} B_{y} \\hat{k} \\cdot \\hat{\\jmath}+A_{z} B_{z} \\hat{k} \\cdot \\hat{k} \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\cdot \\vec{B}=A_{x} B_{x}+0+0+0+A_{y} B_{y}+0+0+0+A_{z} B_{z} \\\\\n{[\\because \\hat{\\imath} \\cdot \\hat{\\imath}=\\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{\\jmath}=\\hat{k} \\cdot \\hat{k}=1 ; \\hat{\\imath} \\cdot \\hat{\\jmath}=\\hat{\\jmath} ; \\hat{k}=\\hat{k} \\cdot \\hat{\\jmath}=\\hat{k} \\cdot \\hat{\\imath}=\\hat{\\imath} \\cdot \\hat{k}=0]} \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\cdot \\vec{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}\n\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n \u0985\u09b0\u09cd\u09a5\u09be\u09ce \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 = \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09a6\u09c1\u099f\u09bf\u09b0 X \u0989\u09aa\u09be\u0982\u09b6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8\u09c7\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 + \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09a6\u09c1\u099f\u09bf\u09b0 Y \u0989\u09aa\u09be\u0982\u09b6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8\u09c7\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 + \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09a6\u09c1\u099f\u09bf\u09b0 Z \u0989\u09aa\u09be\u0982\u09b6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8\u09c7\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u09af\u09a6\u09bf \u098f\u0995\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09b9\u09af\u09bc, \u09a4\u09ac\u09c7 \u0990 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u0995\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09b2\u09c7\u0964 \u098f\u0987 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09a6\u09c1\u099f\u09bf\u09b0 \u09ae\u09be\u09a8 \u098f\u09ac\u0982 \u09a4\u09be\u09a6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09a7\u09cd\u09af\u09ac\u09b0\u09cd\u09a4\u09c0 \u0995\u09cb\u09a3\u09c7\u09b0 \u09b8\u09be\u0987\u09a8 (sine) \u098f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u0964 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u0995\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u0995\u09b0\u09a4\u09c7 \u09b9\u09b2\u09c7 \u0989\u09b9\u09be\u09a6\u09c7\u09b0 \u09ae\u09be\u099d\u09c7 \u098f\u0995\u099f\u09bf \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 (x) \u099a\u09bf\u09b9\u09cd\u09a8 \u09a6\u09bf\u09a4\u09c7 \u09b9\u09af\u09bc \u098f\u0987\u099c\u09a8\u09cd\u09af \u098f\u0987 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u09c7\u09b0 \u0985\u09aa\u09b0 \u09a8\u09be\u09ae \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u0964 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09c7\u09b0\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995 \u09a1\u09be\u09a8\u09b9\u09be\u09a4\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09cd\u09b0\u09c1 \u09a8\u09bf\u09af\u09bc\u09ae\u09c7 \u09a8\u09bf\u09b0\u09cd\u09a3\u09af\u09bc \u0995\u09b0\u09be \u09b9\u09af\u09bc\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n \u09ac\u09cd\u09af\u09be\u0996\u09cd\u09af\u09be : <\/strong>\u09ae\u09a8\u09c7 \u0995\u09b0\u09bf \\vec{P}<\/span> \u0993 \\vec{Q}<\/span> \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u0964 \u098f\u09b0\u09be \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09be\u09a5\u09c7 \\alpha<\/span> \u0995\u09cb\u09a3\u09c7 O \u09ac\u09bf\u09a8\u09cd\u09a6\u09c1\u09a4\u09c7 \u0995\u09cd\u09b0\u09bf\u09af\u09bc\u09be \u0995\u09b0\u09c7\u0964 \u0985\u09a4\u098f\u09ac \u098f\u09a6\u09c7\u09b0 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u09ac\u09be \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\\overrightarrow{\\mathrm{R}}=\\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\times \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\hat{\\eta} \\overrightarrow{|\\mathrm{P}|} \\overrightarrow{|Q|} \\sin \\alpha 0 \\leq \\alpha \\leq \\pi<\/span>, \u098f\u0996\u09be\u09a8\u09c7 \\hat{\\eta}<\/span> \u0997\u09c1\u09a3\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995 \u09a8\u09bf\u09b0\u09cd\u09a6\u09c7\u09b6 \u0995\u09b0\u09c7\u0964<\/p>\r\n\\begin{aligned}\n\\Rightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{R}} &=\\overrightarrow{\\mathrm{Q}} \\times \\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\\\\n&=\\hat{\\eta} Q P \\sin \\alpha 0 \\leq \\alpha \\leq \\pi\n\\end{aligned}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09af\u09c7 \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c7 \u0985\u09ac\u09b8\u09cd\u09a5\u09bf\u09a4 \u09b8\u09c7\u0987 \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c7\u09b0 \u0989\u09aa\u09b0 \u09b2\u09ae\u09cd\u09ac\u09ad\u09be\u09ac\u09c7 \u098f\u0995\u099f\u09bf \u09a1\u09be\u09a8 \u09b9\u09be\u09a4\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09cd\u09b0\u09c1\u0995\u09c7 \u09b0\u09c7\u0996\u09c7 \u09aa\u09cd\u09b0\u09a5\u09ae \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b9\u09a4\u09c7 \u09a6\u09cd\u09ac\u09bf\u09a4\u09c0\u09af\u09bc \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u09c7\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995\u09c7 \u0995\u09cd\u09b7\u09c1\u09a6\u09cd\u09b0\u09a4\u09ae \u0995\u09cb\u09a3\u09c7 \u0998\u09c1\u09b0\u09be\u09b2\u09c7 \u09b8\u09cd\u0995\u09c1\u099f\u09bf \u09af\u09c7 \u09a6\u09bf\u0995\u09c7 \u0985\u0997\u09cd\u09b0\u09b8\u09b0 \u09b9\u09af\u09bc \u09b8\u09c7\u0987 \u09a6\u09bf\u0995\u0987 \u09b9\u09ac\u09c7 \\vec{R}<\/span> \u09a4\u09a5\u09be \\hat{\\eta}<\/span> \u098f\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n \u0989\u09aa\u09b0\u09cb\u0995\u09cd\u09a4 \u09a8\u09bf\u09af\u09bc\u09ae \u0985\u09a8\u09c1\u09b8\u09be\u09b0\u09c7 \\vec{P} \\times \\vec{Q}<\/span> \u098f\u09b0 \u0985\u09ad\u09bf\u09ae\u09c1\u0996 \u09b9\u09ac\u09c7 \u0989\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995\u09c7\u0964 [\u099a\u09bf\u09a4\u09cd\u09b0] \u098f\u09ac\u0982 \u0990 \\vec{Q} \\times \\vec{P}<\/span> \u098f\u09b0 \u0985\u09ad\u09bf\u09ae\u09c1\u0996\u09c7 \u09b9\u09ac\u09c7 \u09a8\u09bf\u099a\u09c7\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995\u09c7 [\u099a\u09bf\u09a4\u09cd\u09b0] \u0985\u09b0\u09cd\u09a5\u09be\u09ce \u09aa\u09cd\u09b0\u09a5\u09ae \u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09a1\u09be\u09a8 \u09b9\u09be\u09a4\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09cd\u09b0\u09c1\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995 \u09b9\u09ac\u09c7 \u0998\u09a1\u09bc\u09bf\u09b0 \u0995\u09be\u0981\u099f\u09be\u09b0 \u09ac\u09bf\u09aa\u09b0\u09c0\u09a4\u09ae\u09c1\u0996\u09c0 (Clockwise) \u098f\u09ac\u0982 \u09a6\u09cd\u09ac\u09bf\u09a4\u09c0\u09af\u09bc \u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u0998\u09a1\u09bc\u09bf\u09b0 \u0995\u09be\u099f\u09be\u09b0 \u09a6\u09bf\u0995\u09c7 (Clockwise)\u0964 Anti-clockwise direction-\u0995\u09c7 positive (\u09a7\u09a8\u09be\u09a4\u09cd\u09ae\u0995) \u09a7\u09b0\u09be \u09b9\u09af\u09bc \u098f\u09ac\u0982 clockwise direction-\u0995\u09c7 Negative (\u098b\u09a3\u09be\u09a4\u09cd\u09ae\u0995) \u09a7\u09b0\u09be \u09b9\u09af\u09bc\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n (\u0995) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=0^{\\circ}<\/span> \u09b9\u09af\u09bc, \u09a4\u09ac\u09c7 \\overrightarrow{\\mathrm{R}}=\\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\times \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\hat{\\eta} \\mathrm{PQ} \\sin 0^{\\circ}=0<\/span> \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09be\u09b2 \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n (\u0996) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=90^{\\circ}<\/span> \u00a0\u09a4\u09ac\u09c7 \\overrightarrow{\\mathrm{R}}=\\overrightarrow{\\mathrm{P}} \\times \\overrightarrow{\\mathrm{Q}}=\\hat{\\eta} \\mathrm{PQ} \\sin 90^{\\circ}=\\mathrm{PQ}<\/span>\u00a0 \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09aa\u09b0 \u09b2\u09ae\u09cd\u09ac \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n (\u0997) \u09af\u09a6\u09bf \\alpha=180^{\\circ}<\/span> \u00a0\u09a4\u09ac\u09c7 \\vec{R}=\\vec{P} \\times \\vec{Q}=\\hat{\\eta} P Q \\sin 180^{\\circ}=0<\/span> \u098f\u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09aa\u09b0\u09b8\u09cd\u09aa\u09b0 \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09be\u09b2 \u098f\u09ac\u0982 \u09ac\u09bf\u09aa\u09b0\u09c0\u09a4\u09ae\u09c1\u0996\u09c0 \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n \u09aa\u09cd\u09b0\u09ae\u09be\u09a3 : \u09a7\u09b0\u09be \u09af\u09be\u0995,<\/p>\r\n\\begin{array}{c}\n\\vec{A}=\\hat{\\imath} A_{x}+\\hat{\\jmath} A_{y}+\\hat{k} A_{z} \\\\\n\\vec{B}=\\hat{\\imath} B_{x}+\\hat{\\jmath} B_{y}+\\hat{k} B_{z} \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\times \\vec{B}=\\left(\\hat{\\imath} A_{x}+\\hat{\\jmath} A_{y}+\\hat{k} A_{z}\\right) \\times\\left(\\hat{\\imath} B_{x}+\\hat{\\jmath} B_{y}+\\hat{k} B_{z}\\right) \\\\\n=(\\hat{\\imath} \\times \\hat{\\imath}) A_{x} B_{x}+(\\hat{\\imath} \\times \\hat{\\jmath}) A_{x} B_{y}+(\\hat{\\imath} \\times \\hat{k}) A_{x} B_{z}+(\\hat{\\jmath} \\times \\hat{\\imath}) A_{y} B_{x}+(\\hat{\\jmath} \\times \\hat{\\jmath}) A_{y} B_{y} \\\\\n+(\\hat{\\jmath} \\times \\hat{k}) A_{y} B_{z}+(\\hat{k} \\times \\hat{\\imath}) A_{z} B_{x}+(\\hat{k} \\times \\hat{\\jmath}) A_{z} B_{y}+(\\hat{k} \\times \\hat{k}) A_{z} B_{z} \\\\\n=\\overrightarrow{0}+\\widehat{K} A_{x} B_{y}-\\hat{\\jmath} A_{x} B_{z}-\\widehat{K} A_{y} B_{x}+\\overrightarrow{0}+\\hat{\\imath} A_{y} B_{z}+\\hat{\\jmath} A_{z} B_{x}-\\hat{\\imath} A_{z} B_{y}+\\overrightarrow{0} \\\\\n=\\hat{\\imath}\\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\\right)+\\hat{\\jmath}\\left(A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}\\right)+\\hat{k}\\left(A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}\\right) \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\times \\vec{B}=\\left|\\begin{array}{ccc}\n\\hat{\\imath} & \\hat{\\jmath} & \\hat{k}_{x} & A_{y} & A_{z} \\\\\nB_{x} & B_{y} & B_{z}\n\\end{array}\\right|\n\\end{array}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u09b0 \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u09c7\u09b0 \u09b8\u09be\u09a5\u09c7 \u09a4\u09c3\u09a4\u09c0\u09af\u09bc \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u099f\u09bf\u09b0 \u09a1\u099f \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u0995\u09b0\u09be \u09b9\u09b2\u09c7 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u09b9\u09ac\u09c7 \u098f\u0995\u099f\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u0986\u09b0 \u098f \u09a7\u09b0\u09a8\u09c7\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8\u0995\u09c7 \u09ac\u09b2\u09be \u09b9\u09af\u09bc \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09a4\u09cd\u09b0\u09bf\u0997\u09c1\u09a3 \u098f\u09ac\u0982 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u0995\u09c7 \u09ac\u09b2\u09c7 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09a4\u09cd\u09b0\u09bf\u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2\u0964 \\vec{A}, \\vec{B}<\/span> \u0993 \\vec{C}<\/span> \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09a4\u09cd\u09b0\u09bf\u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09b9\u09a4\u09c7 \u09aa\u09be\u09b0\u09c7 \u09a8\u09bf\u09ae\u09cd\u09a8\u09cb\u0995\u09cd\u09a4\u09ad\u09be\u09ac\u09c7-<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\\begin{aligned}\n\\vec{A} \\cdot(\\vec{B} \\times \\vec{C}) & \\Rightarrow \\vec{B} \\cdot(\\vec{C} \\times \\vec{A}) \\Rightarrow \\vec{C} \\cdot(\\vec{A} \\times \\vec{B}) \\\\\n\\vec{A} \\cdot(\\vec{B} \\times \\vec{C}) &=\\vec{B} \\cdot(\\vec{C} \\times \\vec{A})=\\vec{C} \\cdot(\\vec{A} \\times \\vec{B})\n\\end{aligned}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \\vec{A}, \\vec{B}<\/span> \u0993 \\vec{C}<\/span> \u00a0\u09af\u09a6\u09bf \u098f\u0995\u099f\u09bf \u0998\u09a8 \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09bf\u0995 \u09ac\u09be \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u0995 \u09ac\u09be \u09aa\u09cd\u09af\u09be\u09b0\u09be\u09b2\u09c7\u09b2\u09c7\u09aa\u09be\u0987\u09aa\u09a1(parallelepiped)-\u098f\u09b0 \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u09ac\u09be\u09b9\u09c1 \u09a8\u09bf\u09b0\u09cd\u09a6\u09c7\u09b6 \u0995\u09b0\u09c7 (\u099a\u09bf\u09a4\u09cd\u09b0) \u09a4\u09be\u09b9\u09b2\u09c7 \u0990 \u0998\u09a8 \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09bf\u0995 \u09ac\u09be \u09b8\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u0995\u09c7\u09b0 \u0986\u09af\u09bc\u09a4\u09a8 \u09b9\u09ac\u09c7<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n \\begin{aligned}\n\\text { \u0986\u09af\u09bc\u09a4\u09a8 , } & V=\\vec{A} \\cdot(\\vec{B} \\times \\vec{C}) \\\\\n\\text { \u098f\u0996\u09a8 , \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0, } & \\vec{A}=A_{x} \\hat{\\imath}+A_{y} \\hat{\\jmath}+A_{z} \\hat{k} \\\\\n& \\vec{B}=B_{x} \\hat{i}+B_{y} \\hat{\\jmath}+B_{z} \\hat{k} \\\\\n& \\vec{C}=C_{x} \\hat{i}+C_{y} \\hat{\\jmath}+C_{z} \\hat{k} \\\\\n\\therefore \\vec{A} \\cdot(\\vec{B} \\times \\vec{C})=\\left|\\begin{array}{lll}\nA_{x} & A_{y} & A_{z} \\\\\nB_{x} & B_{y} & B_{z} \\\\\nC_{x} & C_{y} & C_{z}\n\\end{array}\\right|\n\\end{aligned}<\/span>|<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n \u00a0\\vec{A}, \\vec{B}<\/span> \u0993 \\vec{C}<\/span> \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u098f\u0995\u0987 \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c7 \u0985\u09ac\u09b8\u09cd\u09a5\u09bf\u09a4 \u09b9\u0993\u09af\u09bc\u09be\u09b0 \u0985\u09b0\u09cd\u09a5 \u0998\u09a8 \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u09bf\u0995 \u09ac\u09be \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u0995\u099f\u09bf\u09b0 \u0989\u099a\u09cd\u099a\u09a4\u09be \u09b6\u09c2\u09a8\u09cd\u09af \u0985\u09b0\u09cd\u09a5\u09be\u09ce \u0964 \u09b8\u09be\u09ae\u09be\u09a8\u09cd\u09a4\u09b0\u0995\u099f\u09bf\u09b0 \u0986\u09af\u09bc\u09a4\u09a8\u0993 \u09b6\u09c2\u09a8\u09cd\u09af\u0964 \u09b8\u09c1\u09a4\u09b0\u09be\u0982 \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u09a4\u09cd\u09b0\u09bf\u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u09b6\u09c2\u09a8\u09cd\u09af \u09b9\u09b2\u09c7 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c0\u09af\u09bc \u09ac\u09be \u098f\u0995\u0987 \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c7 \u0985\u09ac\u09b8\u09cd\u09a5\u09bf\u09a4 \u09b9\u09ac\u09c7\u0964 \u0985\u09b0\u09cd\u09a5\u09be\u09ce\\vec{A} \\cdot(\\vec{B} \\times \\vec{C})=0<\/span> \u09b9\u09b2\u09c7 \u00a0\\vec{A}, \\vec{B}<\/span> \u0993 \\vec{C}<\/span> \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09a4\u09bf\u09a8\u099f\u09bf \u098f\u0995\u0987 \u09b8\u09ae\u09a4\u09b2\u09c7 \u0985\u09ac\u09b8\u09cd\u09a5\u09bf\u09a4 \u09b9\u09ac\u09c7\u0964<\/p>\r\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09a6\u09bf\u0995 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf \u09ac\u09be \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u09b0\u09be\u09b6\u09bf\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 \u09b8\u09be\u09a7\u09be\u09b0\u09a3 \u09a6\u09c1\u0987 \u09aa\u09cd\u09b0\u0995\u09be\u09b0, \u09af\u09a5\u09be\u0983 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u09a1\u099f \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 (Scalar or Dot product) \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 (Vector or Cross product) \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u09a1\u099f \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 (Scalar or Dot product): \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0<\/p>\n\u09ac\u09bf\u09b6\u09c7\u09b7 \u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0 :<\/strong><\/h3>\r\n\r\n\r\n\r\n
\u0986\u09af\u09bc\u09a4 \u098f\u0995\u0995 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u0997\u09c1\u09b2\u09cb\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 :<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\\begin{array}{l}\n\\hat{\\imath} . \\hat{\\imath}=\\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{\\jmath}=\\hat{k} \\cdot \\hat{k}=1 \\\\\n\\hat{\\imath} \\cdot \\hat{\\jmath}=\\hat{\\jmath} \\cdot \\hat{k}=\\hat{l} \\cdot \\hat{k}=0\n\\end{array}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n
\u0989\u09aa\u09be\u0982\u09b6\u09c7 \u09ac\u09bf\u09ad\u09be\u099c\u09bf\u09a4 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u09c7\u09b0 \u09b8\u09cd\u0995\u09c7\u09b2\u09be\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 :<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n
\u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 \u09ac\u09be \u0995\u09cd\u09b0\u09b8 \u0997\u09c1\u09a3\u09a8 (Vector or Cross product)<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n
<\/figure>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09a1\u09be\u09a8 \u09b9\u09be\u09a4\u09bf \u09b8\u09cd\u0995\u09cd\u09b0\u09c1 \u09a8\u09bf\u09af\u09bc\u09ae (Right Hand Screw Rule)<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n
<\/figure>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n\u09ac\u09bf\u09b6\u09c7\u09b7 \u0995\u09cd\u09b7\u09c7\u09a4\u09cd\u09b0 :<\/strong><\/h3>\r\n\r\n\r\n\r\n
\u0986\u09af\u09bc\u09a4 \u098f\u0995\u0995 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u0997\u09c1\u09b2\u09cb\u09b0 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 :<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\\begin{array}{c}\n\\hat{\\jmath} \\times \\hat{\\jmath}=\\hat{k} \\times \\hat{k}=\\overrightarrow{0} \\\\\n\\therefore \\hat{\\imath} \\times \\hat{\\imath}=\\hat{\\jmath} \\times \\hat{\\jmath}=\\hat{k} \\times \\hat{k}=\\overrightarrow{0}\n\\end{array}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n
\u0989\u09aa\u09be\u0982\u09b6\u09c7 \u09ac\u09bf\u09ad\u09be\u099c\u09bf\u09a4 \u09a6\u09c1\u099f\u09bf \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0\u09c7\u09b0 \u09ad\u09c7\u0995\u09cd\u099f\u09b0 \u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 :<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n\\vec{A} \\times \\vec{B}=\\left|\\begin{array}{ccc}\n\\hat{\\imath} & \\hat{\\jmath} & \\hat{k} \\\\\nA_{x} & A_{y} & A_{z} \\\\\nB_{x} & B_{y} & B_{z}\n\\end{array}\\right|<\/span>\r\n
\u09a4\u09cd\u09b0\u09bf\u0997\u09c1\u09a3\u09ab\u09b2 (Triple Product) :<\/strong><\/h2>\r\n\r\n\r\n\r\n
<\/figure>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n