অধিবৃত্ত

রিয়ন এর আজ মন খুব খারাপ। সে ঘরে একা একা মন খারাপ করে বসে আছে। তার সব বন্ধুরা এই সপ্তাহের ক্লাস টেস্টে খুব ভালো করলেও সে খারাপ করেছে। ক্লাস টেস্টটি ছিল অধিবৃত্তের উপর। তার বাবা এসে তাকে মন খারাপের কারণ জিজ্ঞেস করলেন। রিয়ন সব কিছু খুলে বললো। সব শুনে রিয়নের বাবা রিয়নকে রেখে অন্য ঘরে চলে গেলো।
কয়েকদিন আগেই রিয়নদের বাসায় তার ছোট ভাইয়ের জন্মদিন উদযাপিত হয়। তাই রিয়নদের বাসায় কিছু অতিরিক্ত বার্থডে ক্যাপ ছিল।
রিয়নের বাবা দুইটি বার্থডে ক্যাপ ও ব্লেড নিয়ে আসলেন। তিনি বার্থডে ক্যপ দুটিকে উল্টো করে রেখে তা ব্লেড দিয়ে কেটে ফেললেন। রিয়ন অবাক হয়ে দেখলো কাটা অংশ দুইটি দেখতে হুবাহুব তার বইয়ের অধিবৃত্তের চিত্রের মতো।

তারপর রিয়নকে তার বাবা কম্পিউটারে একটি ছবি দেখালো। রিয়ন ছবিটি দেখে আবার অবাক হয়ে গেলো। ছবিটি ছিল একটি কুলিং টাওয়ার এর। যা ছিল অধিবৃত্তাকৃতির।

এবার রিয়নের বাবা তাকে বললেন, “কীভাবে বার্থডে ক্যাপ অর্থাৎ সমবৃত্তভূমিক কোনক কেটে অধিবৃত্ত বানানো যায় ও কীভাবে আমাদের জীবনে তা ব্যবহার হছে দেখলে। এবার টেন মিনিট স্কুলের ওয়েবসাইটে চলে যাও। সেখানে ভিডিও টিউটরিয়াল দেখে তোমাদর সিলেবাসে অধিবৃত্তের যে অংশটুকু আছে তা শিখে নাও।”

এবার চলো আমরাও অধিবৃত্তের আদ্যোপান্ত জেনে নিই।


কোনক থেকে অধিবৃত্ত


মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


অধিবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ

কোন সমতলে একটি স্থির বিন্দু ও একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা হতে যেসব বিন্দুর দুরত্বের অনুপাত 1 এর চেয়ে বেশী অর্থাৎ উৎকেন্দ্রিকতা 1 এর চেয়ে বেশী সেসব বিন্দুর সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথকে অধিবৃত্ত বলে।

মনে করি, কোন সমতলে একটি স্থির বিন্দু S(h, k) এবং নির্দিষ্ট সরলরেখা \(S = ax + by + c = 0\)। কনিকের উপরস্থ যেকোন বিন্দু \(P(x, y)\) এবং AB এর উপর লম্ব PM। উৎকেন্দ্রিকতা \(e > 1\)
এখানে,

S ও P এর মধ্যবর্তী দুরত্ব \(= SP = \sqrt{(x -h)^{2} + (y – k)^{2}}\)

P ও M এর মধ্যবর্তী দুরত্ব \(= PM = \frac{(ax + by + c)} {\sqrt{(a^{2} + b^{2})}}\)

তাহলে অধিবৃত্তের সংজ্ঞা হতে পাই,

\(\frac{SP}{PM} = e\)

বা, \(SP = e.PM\)

বা, \( \sqrt{(x -h)^{2} + (y – k)^{2}} = e. \frac{(ax + by + c)}{(a^{2} + b^{2})}\)

বা, \((x – h)^{2} + (y – k)^{2} = e^{2} \frac{(ax + by + c)^{2}}{a^{2} + b^{2}}\)

এটিই অধিবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।


অধিবৃত্ত সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ সংজ্ঞা


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


অধিবৃত্তের বিভিন্ন প্রকার সমীকরণ


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।
১/ x অক্ষ বরাবর আড় অক্ষ ও y অক্ষ বরাবর অনুবন্ধী অক্ষ বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ হচ্ছে, \( \frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (a ও b যথাক্রমে আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য)। অধিবৃত্তটির কেন্দ্র হচ্ছে মূলবিন্দু।
২/ y অক্ষ বরাবর আড় অক্ষ ও x অক্ষ বরাবর অনুবন্ধী অক্ষ বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ হচ্ছে, \( \frac{y^{2}}{b^{2}}- \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1\) (a ও b যথাক্রমে আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য)। অধিবৃত্তটির কেন্দ্র হচ্ছে মূলবিন্দু।
৩/ x অক্ষের সমান্তরাল আড় অক্ষ বিশিষ্ট ও y অক্ষের সমান্তরাল অনুবন্ধী অক্ষ বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ হচ্ছে, \( \frac{(x – h)^{2}}{a^{2}}- \frac{(y – k)^{2}}{b^{2}} = 1\)। অধিবৃত্তের কেন্দ্র হবে (h, k)।
৪/ y অক্ষের সমান্তরাল আড় অক্ষ বিশিষ্ট ও x অক্ষের সমান্তরাল অনুবন্ধী অক্ষ বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ হচ্ছে, \( \frac{(y – \alpha)^{2}}{b^{2}}- \frac{(x – \beta)^{2}}{a^{2}} = 1\)। অধিবৃত্তের কেন্দ্র হবে (h, k)।


আমরা এতক্ষণ যা শিখলাম সে ধারণা ব্যবহার করে নীচের অধিবৃত্তটির বিভিন্ন অংশ চিহ্নিত কর

এখন তোমাদের মনে প্রশ্ন আসতেই পারে এই সমীকরণগুলো সংশ্লিষ্ট অধিবৃত্তগুলো সম্পর্কে বিস্তারিত জানবো।


\( \frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

x অক্ষ বরাবর আড় অক্ষ ও y অক্ষ বরাবর অনুবন্ধী অক্ষ বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকর হচ্ছে, \( \frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)। যার আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য 2a ও কেন্দ্র মূলবিন্দু।

এখন চলো এই সমীকরণটি প্রমাণ করি।

দেয়া আছে,

আড় অক্ষ x অক্ষের উপর অবস্থিত।

অনুবন্ধী অক্ষ y অক্ষের উপর অবস্থিত।

কেন্দ্র মূলবিন্দু

আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2a

মনে করি,

কেন্দ্র = C

উপকেন্দ্র দুটি S এবং S’

নিয়ামকরেখা দুইটি ZM এবং Z’M’

এখন MZ দিকাক্ষের উপর SZ লম্ব টানি। । SZ কে e:1 অনুপাতে A বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত করি ও A’ বিন্দুতে বহির্বিভক্ত করি যেন \(SA= e.AZ\) ও \(SA’= e.A’\) হয়। চিত্র হতে দেখা যাচ্ছে A ও A’ বিন্দু দ্বয় অধিবৃত্ত ও x অক্ষের উপর অবস্থিত। অতএব A ও A’ বিন্দুদ্বয় অধিবৃত্তটির শীর্ষ বিন্দু। তাহলে AA’ হচ্ছে আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য।

যেহেতু দেয়া আছে, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2a। তাই \(AA’ = 2a\)।

\(AA’ = 2a\)

বা, \(CA + CA’ = 2a\) (চিত্র হতে দেখা যাচ্ছে)

অনুবন্ধী অক্ষের সংজ্ঞা হতে জেনেছি এটি আড় অক্ষকে সমদ্বিখন্ডিত করে। তাই, \(CA = CA’\)
তাই,

\(CA + CA = 2a\)

বা, \(2CA = 2a\)

অতএব, \(CA = a … (1)\)

আবার,

\(SA = e.AZ\)

বা, \(CS – AC = e(AC – CZ)\) (চিত্র হতে)

বা, \(CS – a = e(a – CZ)\)…….(i)

আবার,

\(SA’ = e.A’Z\)

বা, \(CS + A’C = e(A’C + CZ)\) (চিত্র হতে)

বা, \(CS + a = e(a + CZ)\)……..(ii)

(i) + (ii) হতে পাই,
\(CS – a + CS + a = e(a – CZ) + e(a + CZ)\)

বা, \(2CS = 2ae\)

বা, \(CS = ae\)

যেহেতু উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব অনুবন্ধী অক্ষ দ্বারা সমদ্বিখন্ডিত হয় তাই,

\(CS = CS’ = ae\) … (2)
(ii) – (i) হতে পাই,

\(CS + a – (CS – a) = e(a + CZ) – e(a – CZ)\)

বা, \(2a = e.2CZ\)

বা, \(a = e.CZ\)

বা, \(CZ = \frac{a}{e}\)

যেহেতু নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব অনুবন্ধী অক্ষ দ্বারা সমদ্বিখন্ডিত হয় তাই,

একইভাবে,

\(CZ = CZ’ = \frac{a}{e}\) … (3)

S ও S’ বিন্দু x অক্ষের উপর অবস্থিত এবং কেন্দ্র (C) মূলবিন্দু। থেকে S ও S’ বিন্দুর দূরত্ব যথাক্রমে CS ও CS’।

আমরা জানি,

CS = CS’ = ae ( (2) থেকে)

তাহলে S ও S’ বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (ae, 0) ও (-ae, 0)।

আবার Z ও Z’ বিন্দু x অক্ষের উপর অবস্থিত এবং কেন্দ্র (C) মূলবিন্দু। থেকে Z ও Z’ বিন্দুর দূরত্ব যথাক্রমে CZ ও CZ’।

আমরা জানি,

\(CZ = CZ’ = \frac{a}{e}\)( (3) থেকে)

তাহলে Z ও Z’ বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((\frac{a}{e}, 0)\) ও \((- \frac{a}{e}, 0)\)।

ধরি, অধিবৃত্তের উপর একটি বিব্দু P(x, y)

P বিন্দু থেকে দিকাক্ষ ও x অক্ষের উপর যথাক্রমে PM ও PN লম্ব আঁকি।।

S ও P এর মধ্যবর্তী দুরত্ব \(= SP = \sqrt{(x – ae)^{2} + (y – 0)^{2}} = \sqrt{((x – ae)^{2} + y^{2}}\)

P ও M এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(= PM = CN – CZ = x – \frac{a}{e}\)

অধিবৃত্তের সংজ্ঞা হতে আমরা জানি,

\(\frac{SP}{PM} = e\)

বা, \(SP = e.PM\)

বা, \(SP^{2} = e^{2}.PM^{2}\)

বা, \((x – ae)^{2} + y^{2} = e^{2} (x – \frac{a}{e})^{2}\) [SP ও PM এর মান বসিয়ে]

বা, \(x^{2} – 2aex + a^{2}e^{2} + y^{2} = e^{2}x^{2} – 2aex + a^{2}\)

বা, \(e^{2}x^{2} + a^{2} = x^{2} + a^{2}e^{2} + y^{2}\)

বা, \(e^{2}x^{2} – x^{2} – y^{2} = a^{2}e^{2} – a^{2}\)

বা, \(x^{2}(e^{2} – 1) – y^{2} = a^{2}(e^{2} – 1)\)

বা, \( \frac{x^{2}}{a^{2}} – \frac{y^{2}}{a^{2}(e^{2} – 1)} = 1\)

যেহেতু e>1, কাজেই a^{2}(e^{2} – 1)>0

\(a^{2}(e^{2} – 1) = b^{2}\) … (4)

ধরে পাই,

\( x^{2}a^{2} – y^{2}b^{2} = 1\)

x অক্ষ বরাবর আড় অক্ষ ও y অক্ষ বরাবর অনুবন্ধী অক্ষ বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ হচ্ছে, \( \frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \) (a ও b যথাক্রমে আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য)। অধিবৃত্তটির কেন্দ্র হচ্ছে মূলবিন্দু।

একটি বিশেষ ঘোষণা:

উপরের (1), (2), (3) ও (4) নং সমীকরণ গুলো খেয়াল রেখো। অধিবৃত্তের বিভিন্ন অংশ নির্ণয়ের জন্য এই সমীকরণগুলো দরকার হবে।


\( \frac{x^{2}}{a^{2}} – \frac {y^{2}}{b^{2}} = 1\) সমীকরণ সংশ্লিষ্ট অধিবৃত্তের বিভিন্ন অংশ নির্ণয়ের সূত্র

উপরে চিত্রটি ভালোভাবে লক্ষ্য করো। তারপর সূত্র গুলো দেখ। সুত্রগুলোর উপর হাত দিয়ে স্পর্শ করলে সূত্রগুলো কীভাবে এসেছে তা বুঝতে পারবে।

কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0)
উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}\)
আড় অক্ষে্র দৈর্ঘ্য 2a
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য 2b
আড় অক্ষের সমীকরণ y = 0
অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ x = 0
শীর্ষদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (± a, 0)
ফোকাসদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (±ae, 0)
ফোকাসদ্বয়ের দুরত্ব 2ae
দিকাক্ষ রেখার পাদবিন্দু ( ± a/e, 0)
দিকাক্ষ দুইটির দুরত্ব 2a/e
দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ x = ± a/e
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \( \frac{2b^{2}}{a}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ x = ± ae

\( \frac{(x – \alpha)^{2}}{a^{2}}- \frac{(y – \beta)^{2}}{b^{2}} = 1\)

x অক্ষের সমান্তরাল আড় অক্ষ ও y অক্ষের সমান্তরাল অনুবন্ধী অক্ষ বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকর হচ্ছে, \( \frac{(x – \alpha)^{2}}{a^{2}}- \frac{(y – \beta)^{2}}{b^{2}} = 1\)

এই সমীকরণবিশিষ্ট অধিবৃত্তের বিভিন্ন অংশ নির্ণয়ের সূত্র:

কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(( \alpha , \beta )\)
উৎকেন্দ্রিকতা \( \sqrt{1 + \frac{b^{2}} {a^{2}}}\)
বৃহৎ অক্ষে্র দৈর্ঘ্য 2a
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য 2b
বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ \(y – \beta = 0\)
ক্ষুদ্র অক্ষের সমীকরণ \(x – \alpha = a\)
শীর্ষদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(( \pm a + \alpha , \beta )\)
ফোকাসদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(( \pm ae + \alpha , \beta )\)
ফোকাসদ্বয়ের দুরত্ব 2ae
দিকাক্ষ রেখার পাদবিন্দু \(( \pm a/e + \alpha , \beta )\)
দিকাক্ষ দুইটির দুরত্ব 2a/e
দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ \(x – \alpha = \pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \( \frac{2b^{2}}{a}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x – \alpha = \pm ae\)