Uncategorized

অনিদির্ষ্ট যোগজ- প্রাথমিক ধারণা

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

তোমরা তো এতদিন ফাংশনের অন্তরীকরণ বা ব্যবকলন করেছো। যোগজীকরণ হল ঠিক অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া। তাই যোগজীকরণ বুঝতে হলে তোমাদের অন্তরীকরণ বুঝা লাগবে। এখনও যদি অন্তরীকরণ সম্পর্কে সঠিকভাবে অবহিত না থাকো, তবে জলদি করে ঘুরে আসো আমাদের অন্তরীকরণ সংক্রান্ত স্মার্টবুক গুলি থেকে।

আমরা জানি, \(\frac{d}{dx}(x^{2})=2x\)

এখানে, \(\frac{d}{dx}\) একটি অপারেটর। এই অপারেটর এর দুইটি অংশ। একটি হল উপরের d এবং অপরটি হল নিচের dx. অপারেটর এর কাজ কী? অপারেটরের কাজ হল কোনো ইনপুটকে নির্দিষ্ট কোনো নিয়মের আয়তায় কিছু একটা করে একটি আউটপুট প্রদানের নির্দেশ দেয়া। \(\frac{d}{dx}\) অপারেটরের d অন্তরীকরণের নির্দেশ দেয়, অর্থাৎ এটি বলে “অন্তরীকরণ করো”। আর dx বলে “এ কাজটি করো x এর সাপেক্ষে”। তাহলে একত্রে বিষয়টা কী দাঁড়ালো? \(\frac{d}{dx}\)()অপারেটর বলে “x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করো () এর ভিতর যে আছে, তাকে।”

তো অন্তরীকরণ করার পর তো অন্তরজ হিসেবে একটি ফাংশন পাবো, না? এই ফাংশন থেকে আবার অন্তরীকরণ করার আগের অবস্থায় ফিরে যেতে হলে কী করতে হবে বলতে পারো? তখন আবার আরেকটি অপারেটর ব্যবহার করা লাগবে, যাকে যোগজীকরণ অপারেটর বলে।

আচ্ছা, আমরা 2x থেকে পূর্বের ফাংশন \(x^{2}\) পেতে চাই। তাহলে আমরা লিখবো: \(∫(2x) dx\)

এখানেও অনেকটা আগের মতোই ∫ চিহ্ন বলছে “যোগজীকরণ করো” এবং dx বলছে “x এর সাপেক্ষে করো।” তাহলে একত্রে \(∫(2x) dx\) বলছে “2x কে x এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করো।”

চলো, এই অধ্যায়ের আরও গভীরে প্রবেশ করার আগে কিছু সংজ্ঞা দেখে নিই:

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


আচ্ছা, মনে করো আমরা একটি ফাংশন \(f(x) = 5x^{2} + 6\) এর অন্তরজ নির্ণয় করতে চাই। তাহলে কী করবো? অন্তরীকরণ করবো, যথা: \(\frac{d}{dx}(5x^{2} + 6)= \frac{d}{dx}(5x^{2})+ \frac{d}{dx}(6) =10x + 0 = 10x\)।

আমরা অন্তরজ পেলাম 10x। এখন নিয়ম অনুযায়ী আমাদের কী 10x কে যোগজীকরণ করে যোগজ হিসেবে \(5x^{2} + 6\) পাওয়া উচিত না?

আবার ধরি, আরেকটি ফাংশন \(g(x) =5x^{2} – 3\) এর অন্তরজও আমরা নির্ণয় করতে চাই। তাহলে,

\(\frac{d}{dx}(5x^{2} – 3)= \frac{d}{dx}(5x^{2})-\frac{d}{dx}(3) =10x + 0 = 10x\)

আমরা আবারও অন্তরজ পেলাম 10x. এখন, প্রশ্ন হল, দুইবারই তো অন্তরজ পেলাম 10x, কারণ ধ্রুবকের অন্তরজ শুন্য; কিন্তু 10x ফাংশনকে যোগজীকরণ করে যোগজ হিসেবে আমরা কোনটি নিব? \(5x^{2} + 6\) নাকি \(5x^{2} – 3\)? এতো মহা সমস্যা! আবার \(5x^{2} + 4\) যদি আরেকটি ফাংশন হয়, 10x তো তারও অন্তরজ। এমন সমস্যার সমাধান কী?

আসলে আমরা যেকোনো ধ্রুবককে অন্তরীকরণ করলে যেহেতু শুন্য পাই, তাই আমরা যদি শুন্নের যোগজ নির্ণয় করতে যাই, তবে একটি ধ্রুবক সংখ্যা পাবো, এটা নিশ্চিত। কিন্তু উপরের সমস্যাটির মতো কোন ধ্রুবকটি আমরা গ্রহণ করবো, তা আমরা জানি না। আর জানি না বলেই আমরা সেই ধ্রুবকের স্থলে “c” বসিয়ে দেই। এই “c” কেই যোগজীকরণ ধ্রুবক বলে।

তাই আমরা, 10x কে যোগজীকরণ করে ফলাফল \(5x^{2}+ c\) লিখে দিব।

\(∴ ∫(10x) dx = 5x^{2} + c \)


আবারও বলছি, যোগজীকরণ হল ঠিক অন্তরীকরণের বিপরীত। অন্তরীকরণ প্রক্রিয়াটি একটু মনে করে দেখো, তোমরা অন্তরীকরণের সময় কোনো ফাংশনের লেখকে অনেকগুলো ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে ভাগ করে তারপর হিসাব করেছিলে, মনে আছে? যোগজীকরণের ক্ষেত্রে তাহলে ঠিক উলটো ব্যাপারটি ঘটবে। অর্থাৎ তোমরা ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র জিনিসকে একত্র করে যোগ (Summation) এর মাধ্যমে সামগ্রিকভাবে একটি বড় জিনিস বের করে হিসাব করবে।

নিচের চিত্রটি দেখলে ব্যাপারটি আরও স্পষ্ট হবে:

চিত্রে তোমরা দেখতে পাচ্ছো যে y = f(x) একটি ফাংশন, যাকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অনেকগুলো অংশে ভাগ করা হয়েছে। এই ক্ষুদ্র অংশগুলির প্রস্থ সবগুলির dx ধরি। অন্তরীকরণ সম্পন্ন করার জন্য এখন তোমাদের এই ক্ষুদ্র অংশে X-অক্ষের সাপেক্ষে Y-অক্ষের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করতে হবে।

এখন মনে করো y = f(x) ফাংশনটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফলটি তোমরা জানো না। কিন্তু তোমরা জানো যে একে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ৪০ টি অংশে ভাগ করা হয়েছে যাদের প্রত্যেকের প্রস্থ dx। এতুকু জানলেই তোমরা তোমাদের কাঙ্ক্ষিত উত্তর পেয়ে গিয়েছো, অর্থাৎ এখন তোমরা সম্পূর্ণ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারবে। কীভাবে? সবগুলি ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশ যোগ দাও। তাহলেই তুমি বিশাল একটা অংশ পেয়ে গেলে। আর এভাবেই যোগজীকরণ সম্পন্ন করা হয়।

তবে অবশ্যই মাথায় রাখবে, অন্তরীকরণ কিন্তু শুধুমাত্র কোনো ফাংশনকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অঞ্চলে ভাগ করা নয়; ভাগ করে অতঃপর স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে অধীন চলকের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করা। তেমনিভাবে যোগজীকরণও কিন্তু শুধুমাত্র অনেকগুলো ছোট জিনিসকে একত্রে করে বড় করা নয়, বরং বড় করে অতঃপর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা।


এখন তোমরা দেখবে তোমাদের পরিচিত কিছু অন্তরজকে (যা তোমরা সূত্র হিসেবে ব্যবহার করো) যোগজীকরণের মাধ্যমে কীভাবে প্রাথমিক ফাংশনে নিয়ে আসা যায়। তাহলে জলদি নিচের স্লাইডগুলি দেখে ফেলো:

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


কতিপয় গাণিতিক সমস্যা



প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো


তাহলে বন্ধুরা, এখানে অনির্দিষ্ট যোগজ সম্পর্কে প্রাথমিক কিছু ধারণা দেওয়া হল। আস্তে আস্তে তোমরা বিভিন্ন জটিল ফাংশনের অনির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয় শিখবে। তার জন্য তোমরা আমাদের যোগজীকরণ সম্পর্কিত পরবর্তী স্মার্টবুকগুলি দেখতে থাকো, এবং