অনির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়ের বিভিন্ন কৌশল


আমরা ইতিমধ্যে যোগজীকরণ সম্পর্কে প্রাথমিক ধারণা পেয়েছি। কিছু কিছু ফাংশন আছে যাদের যোগজীকরণ এর ক্ষেত্রে যদি কিছু নির্দিষ্ট ধাপ অনুসরণ না করা হয় তাহলে যোগজীকরণ করা অনেক জটিল হয়ে যায়। অনেক ক্ষেত্রে যোগজীকরণ করা অসম্ভবও হয়ে যায়। আমরা এবার এরকম কিছু ফাংশনের যোগজীকরণ করা শিখবো।


টাইপ -১


আমাদের যে যোগজকে যোগজীকরণ করতে হবে তাতে যদি একটি ফাংশন f(x) ও তার অন্তরজ f’(x) উভয়ই বিদ্যামান থাকে তাহলে ঐ ফাংশন (f(x)) কে z ধরে যোগজীকরণ করতে হবে। নীচের উদাহরণটি দেখলে বিষয়টি পরিষ্কার হবে।
\( \int sec^{2}xe^{tanx}dx\)

এই যোগজটিতে লক্ষ্য করলে দেখা যায় \(tanx\) ও তার অন্তরজ \(sec^{2}x\) উভয়ই উপস্থিত। অতএব আমাদের যোগজীকরণ করার সময় tanx কে z ধরে যোগজীকরণ করতে হবে।

ধরি,

\(z = tanx\)

বা, \( \frac{dz}{dx} = \frac{d(tanx)}{dx}\) ( উভয় পক্ষকে x এর স্বাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে)

বা, \(\frac{dz}{dx}= sec^{2}x\)

বা, \(dz = sec^{2}xdx\)

এখন যোগজটিতে \(tanx\) ও \(sec^{2}x\) এর বদলে যথাক্রমে z ও dz বসিয়ে পাই,

\( \int e^{z} dz\)

\(= e^{z}\)

\(= e^{tanx}\) ( z এর মান বসিয়ে )

এবার চলো আমরা এই টাইপের কিছু অঙ্ক করি।

অংক (ক):

\( \int \frac{sin^{-1}x}{ \sqrt{1 – x^{2}}}dx\)

সমাধান:

\( \int \frac{sin^{-1}x}{ \sqrt{1 – x^{2}}}dx\)

ধরি,
\(z = sin^{-1}x\)

বা, \( \frac{dz}{dx} = \frac{d(sin^{-1}x)}{dx}\) ( উভয় পক্ষকে x এর স্বাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে)

বা, \(\frac{dz}{dx}= \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}\)

বা, \(dz = \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}dx\)

অতএব,

\(\int zdz\)

\(= \frac{z^{1 + 1}}{2}\)

\(= \frac{z^{2}}{2}\)

\(= \frac{(sin^{-1}x)^{2}}{2}\) (z এর মান বসিয়ে) (Ans)

অংক (খ):

\( \int \frac{1}{x(1 + lnx)} dx\)

সমাধান:

\( \int \frac{1}{x(1 + lnx)} dx\)

ধরি,

\( z = 1 + lnx\)

বা, \( \frac{dz}{dx} = \frac{d(1 + lnx)}{dx}\) ( উভয় পক্ষকে x এর স্বাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে)

বা, \(\frac{dz}{dx}=\frac{1}{x}\)

বা, \(dz = \frac{1}{x}dx\)

অতএব,

\( \int \frac{1}{z}dz\)

\(= ln।z। + c\)

\(= ln। 1 + lnx। + c\) (z এর মান বসিয়ে) (Ans)


টাইপ -২:


অনেক সময় দেখা যায় যে যোগজকে যোগজীকরণ করতে হবে তাতে একই সাথে f(x) ও f’(x) উভয়ই বিদ্যামান না থাকলেও যোগজটিকে যদি কোন ধ্রুবক দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয় তাহলে একসাথে f(x) ও f’(x) উভয়ই পাওয়া যায়। এরকম ক্ষেত্রে আমাদের যোগজটিকে সুবিধামত ধ্রুবক দ্বারা গুণ করার পর f(x) কে z ধরে যোগজীকরণ করতে হবে। নীচের যোগজটি লক্ষ্য করো,

\( \int xsinx^{2}dx\)

এই যোগজটিকে যদি আমরা 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,

\( \frac{1}{2} \int 2xsinx^{2}dx\) … (i)

2 দ্বারা ভাগ করার পর দেখা যাচ্ছে যোগজটিতে \(x^{2}\) ও তার অন্তরজ 2x উভয়ই উপস্থিত। অতএব, এখন আমাদের \(x^{2}\) কে z ধরে যোগজীকরণ করতে হবে।

ধরি,

\(z = x^{2}\)

বা, \(\frac{dz}{dx} = \frac{d(x^{2})}{dx}\) ( উভয় পক্ষকে x এর স্বাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে)

বা, \( \frac{dz}{dx}= 2x\)

বা,\( dz = 2xdx\)

এখন (i) নং যোগজটিতে \(x^{2}\) ও 2x এর বদলে যথাক্রমে z ও dz বসিয়ে পাই,
\( \frac{1}{2} \int sinzdz\)

\(= – \frac{1}{2}cosz\)

\(= – \frac{1}{2}cosx^{2}\)(z এর মান বসিয়ে)

চলো এবার আমরা এই টাইপের কিছু অঙ্ক করি।

অংক (ক)

\( \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 – 2x^{4}}}dx\)

সমাধান:

\( \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 – 2x^{4}}}dx\)

\(= – \frac{1}{8} \int \frac{-8x^{3}}{ \sqrt{1 – 2x^{4}}}dx\)

ধরি,

\(z = 1 – 2x^{4}\)

\(dz = – 8x^{3}\)

অতএব,

\(- \frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{z}}dz\)

\(= – \frac{1}{8} \int z^{-\frac{1}{2}}dz\)

\(= – \frac{1}{8} \times \frac{z^{-\frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}+ c\)

\(= – \frac{1}{8} \times \frac{z^{\frac{1}{2}}} {\frac{1}{2}} + c\)

\(= – \frac{\sqrt{z}}{4}\)

\(= – \frac{\sqrt{1 – 2x^{4}}}{4}\) (z এর মান বসিয়ে) (Ans)

অংক (খ)

\( \int \frac{cosx}{ \sqrt{(1 – sinx)^{2}}}dx\)

সমাধান:

\( \int \frac{cosx}{ \sqrt{(1 – sinx)^{2}}}dx\)= –cosx(1 – sinx)2dx

\( = \int \frac{-cosx}{\sqrt(1-sinx)^{2}} dx\)

ধরি,

\(z = 1 – sinx\)

\(dz = – cosxdx\)

অতএব,

\(= – \int \frac{1}{√z}dz\)

\(= – \int z^{-2}dz\)

\(= – \frac{z^{-2 + 1}}{-2 + 1}+ c\)

\(= \frac{1}{1 – sinx}+ c\) ( z এর মান বসিয়ে) (Ans)


প্রয়োজনীয় কিছু সূত্র


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত