Uncategorized

অন্তরজের সাহায্যে বেগ ও ত্বরণ নির্ণয়

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

বর্তমান পৃথিবীর দ্রুততম মানব উসাইন বোল্ট কে তো আমরা সবাই চিনি, না? তার সমসাময়িক একজন প্রতিদ্বন্দ্বী হলেন জাসটিন গ্যাটলিন। এই দুইজনেই প্রচন্ড জোরে দৌড়াতে পারেন এবং অলিম্পিকে অনেক পুরস্কারও জিতেছেন।

একদিন তারা দুইজনে নিজেদের মধ্যে ১০০ মিটার দৌড় সম্পর্কে গল্প করতে করতে হঠাৎ বিতর্কে জড়িয়ে গেলেন। বিতর্কের বিষয়বস্তু হল বর্তমানে কে বেশি দ্রুত দৌড়াতে পারেন! তারা একসময় ঠিক করলেন যে একটি ১০০ মিটার দৌড় প্রতিযোগিতার মাধ্যমে দুইজনের বিতর্কের অবসান হবে। যেমন ভাবা তেমন কাজ! দৌড় প্রতিযোগিতার আয়োজন করা হল। একটি যন্ত্র যোগাড় করা হল যার দ্বারা প্রতি সেকেন্ড পরপর তারা দৌড়ের সূচনা লাইন থেকে কতদূর অগ্রসর হল তার হিসাব রাখা হবে।

যথাসময়ে রেফারি এবং দর্শকেরা হাজির হল। দুই স্প্রিন্টার সূচনা লাইনের পিছনে গিয়ে দাঁড়ালেন। রেফারি বাঁশি নিয়ে প্রস্তুত। দর্শকেরা একরাশ উত্তেজনা নিয়ে অপেক্ষা করছে। কয়েক সেকেন্ড অপেক্ষা করে হঠাৎ রেফারি বাঁশিতে ফুঁ দিল। সাথে সাথে গ্যাটলিন সামনে ছুটে গেল বিদ্যুৎ বেগে। অন্যদিকে বোল্টের সূচনা খুব বেশি ভালো হল না। এদিকে যে যন্ত্রটি যোগাড় করা হয়েছিল, সেটি তাদের প্রতি সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব হিসাব করা শুরু করল।

দৌড় শুরু হওয়ার এক সেকেন্ডের মধ্যে দর্শকেরা অবাক হয়ে লক্ষ্য করল, জাসটিনের গতি আস্তে আস্তে কমতে শুরু করেছে এবং জাসটিনকে দেখে মনে হচ্ছে কেমন জানি পা টেনে টেনে জোর করে সামনে আগাচ্ছেন। অন্যদিকে উসাইন বোল্ট তার দৌড় আস্তে শুরু করলেও ক্রমে ক্রমে তার গতি বাড়াচ্ছিলেন এবং একবারও পিছনে না তাকিয়ে ১০ সেকেন্ডের মাথায় ১০০ মিটার দৌড় শেষ করে ফেললেন।

পরে জানা গেল যে দৌড় শুরু হতে না হতে জাসটিনের ডান পায়ের মাংসপেশিতে টান ধরে এবং একারণে তিনি আর ঠিকমত দৌড়াতে পারছিলেন না।

প্রতি সেকেন্ড পর পর দূরত্ব মাপার ঐ যন্ত্রের পাঠগুলিকে ছক কাগজে স্থাপন করে উভয়ের জন্য একটি করে লেখ তৈরি করা হল, যে লেখচিত্র X-অক্ষ বরাবর সময় (সেকেন্ড) এবং Y-অক্ষ বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্দেশ করে।

“দূরত্ব বনাম সময়” লেখ


মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


এখান থেকে আমরা দুইজনের এক সেকেন্ড সময় ব্যবধানে বেগ নির্ণয় করতে পারি। এবং গড় বেগ ও নির্ণয় করতে পারি।

গড় বেগ = দূরত্বের পরিবর্তন / সময়ের পরিবর্তন \(= \frac{(v_{2} – v_{1})} {(t_{2} – t_{1})}\)

উসাইন বোল্টের ২-৩ সেকেন্ডের মধ্যবর্তী সময়ে বেগ \(= \frac {(9 – 4)} {(3 – 2)} = 5 ms^{-1}\)

জাসটিন গ্যাটলিন এর ২-৩ সেকেন্ডের মধ্যবর্তী সময়ে বেগ \(= \frac{(14.7-12)}{(3 – 2)} = 2.7 ms^{-1}\)

অর্থাৎ ততক্ষণে জাসটিনের মাংসপেশিতে টান লেগে যায় এবং সে গতি হারাতে থাকে।

এভাবে স্থানাংক ধরে তাৎক্ষণিক বেগ বের করা সম্ভব, তবে তা বেশি সময়সাপেক্ষ এবং সময় ব্যবধান যদি আরও ক্ষুদ্র অর্থাৎ শুন্যের কাছাকাছি হয়, তবে এভাবে কোন বেগ বের করা এক বিরাট সমস্যা। এই সমস্যা তুমি সমাধান করতে পারবে বক্ররেখার ঢালের রাশিমালা বের করার মাধ্যমে, বা সহজ কথায় অন্তরজ নির্ণয়ের মাধ্যমে। তবে এক্ষেত্রে তোমার দরকার এই “দূরত্ব বনাম সময়” লেখদ্বয়ের সমীকরণ

পরীক্ষা করে দেখবে, উসাইন বোল্টের দূরত্ব বনাম সময় লেখটি অনেকটা \(s = t^{2}\) আকারের এবং জাসটিন গ্যাটলিন এর লেখটি অনেকটা \(s = 12√(.5t)\) আকারের যেখানে t স্বাধীন চলক দ্বারা সময় ও s অধীন চলক দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্দেশিত হয়।

আচ্ছা, এখন তোমার যদি জানার ইচ্ছা হয় যে 10th সেকেন্ডে উসাইন বোল্ট এবং জাসটিন গ্যাটলিন এর তাৎক্ষণিক বেগ কত ছিল, তাহলে তুমি কোন পদ্ধতিতে এটি বের করবে? অবশ্যই দ্বিতীয় পদ্ধতিতে, অর্থাৎ অন্তরীকরণ করার মাধ্যমে।

উসাইন বোল্টের ক্ষেত্রে, প্রদত্ত সমীকরণ \(s = t^{2}\)

সমীকরণের উভয়পক্ষকে t এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

\frac{ds}{dt}= 2t\) … … (1)

কিন্তু, \(\frac{ds}{dt}= v =\) তাৎক্ষণিক বেগ।

\(t = 10\) বসিয়ে পাই, \(v = 2×10 = 20 ms^{-1}\)

জাসটিন গ্যাটলিন এর ক্ষেত্রে, প্রদত্ত সমীকরণ, \(s = 12√(0.5t)\)

সমীকরণের উভয়পক্ষকে t এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

\(\frac{ds}{dt}= \frac{12}{2\sqrt{0.5t}}.(0.5)= \frac{3}{0.5t}\) … … (2)

\(t = 10\) বসিয়ে পাই, \(v = 1.342 ms^{-1}\)

এখন মনে কর তোমার আর তোমার বন্ধুর মধ্যে ঝগড়া লাগলো। তোমার বন্ধু বলছে যে জাসটিন গ্যাটলিন এর মাংসপেশিতে টান না লাগলে সে ঠিকই বোল্ট কে হারাতে পারতো। আর তুমি বলছো যে না তাও পারতো না।

তো এটা পরিমাপেরও উপায় আছে। পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ পদ্ধতির নাম শুনেছো নিশ্চয়ই? এটি সম্পর্কে ধারণা না থাকলে চটজলদি করে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ” স্মার্টবুকটি দেখে নাও একবার।

পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ বইয়ে আমরা দেখতে পাই একটি প্রদত্ত ফাংশনকে একবার অন্তরীকরণ করার পর নির্ণেয় অন্তরজকে আবার অন্তরীকরণ করে আরেকটি অন্তরজ বের করা হচ্ছে। তারপর আবার। এভাবে ভিন্ন ভিন্ন অন্তরজ পাওয়া যায়। কোনটি কোনটির এভাবে আজীবন ধরেও অন্তরীকরণ চালানো যায়। তোমাদের আজীবন অন্তরীকরণ করা লাগবে না। দূরত্ব বনাম সময়ের লেখচিত্র থেকে প্রাপ্ত সমীকরণকে, অর্থাৎ s কে t এর সাপেক্ষে পরপর দুইবার অন্তরীকরণ করলেই আমরা ত্বরণের সমীকরণ পেয়ে যাব। কোন সময়ের তাৎক্ষণিক ত্বরণ নির্ণয়ের মাধ্যমে আমরা বেগ বৃদ্ধির হার হিসাব করতে পারি।

তাহলে বুঝতেই পারছো, জাসটিনের ঠিক পায়ের মাংসপেশিতে টান লাগার আগ মুহূর্তে তার ত্বরণ নির্ণয় করতে পারলেই বুঝা যাবে ওর জিতার সম্ভাবনা কতটুকু ছিল।

(2) নং কে পুনরায় t এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, \(a = \frac{d^{2}s}{dt^{2}}= -\frac{5}{2t√t}\)

এবার নাহয় তোমরা নিজেরাই হিসাব করো তার ত্বরণ কোন সেকেন্ডে কত ছিল এবং মাংসপেশিতে টান না লাগলে জাসটিন দৌড়ে জিততে পারত কিনা!

মূলত “দূরত্ব বনাম সময়” লেখের ঢাল = বেগ

এবং “বেগ বনাম সময়” লেখের ঢাল = ত্বরণ নির্দেশ করে। লেখগুলি বক্ররেখা হলে অন্তরীকরণ করার মাধ্যমে যথাক্রমে বেগ এবং ত্বরণ নির্ণয় করতে হয়।


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো


আজ এ পর্যন্তই। আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা অন্তরজের সাহায্যে বেগ ও ত্বরণ নির্ণয় সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।