Uncategorized

অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরক সহগ

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

তোমরা তো এতদিনে নিশ্চয়ই অনেক প্রকার ফাংশনের নাম শুনেছ এবং ফাংশন চিনেছ! আজকে তোমরা নতুন আরেক রকমের ফাংশন সম্পর্কে জানবে, তা হল অব্যক্ত ফাংশন (Implicit Function)। অব্যক্ত ফাংশন সম্পর্কে জানার আগে চল জেনে আসি ‘অব্যক্ত’ শব্দটির মানে কি। অব্যক্ত এর মানে হল অস্পষ্ট, সরাসরি নয় বা পরোক্ষ এমনভাবে কিছু বলা।

সমাজে সবার সাথে মানিয়ে নিয়ে চলতে হলে আমাদেরকে অনেক ভদ্রতা, শিষ্টাচার ও ফর্মালিটি মেনে চলতে হয়। নিজের ভাবমূর্তি বজায় রাখার জন্য আমরা অনেক সময় সঠিক কথাটি সরাসরিও বলতে পারি না। তখন একটু ঘুরিয়ে এমনভাবে কথাটি আমরা বলার চেষ্টা করি যেন কথাটি রুঢ় না শুনায়, কিন্তু পরোক্ষভাবেই মূল বক্তব্যটি প্রকাশিত হয়ে পড়ে। তো তুমি মনে করো তোমার খালা-খালুর সাথে বাণিজ্য মেলায় ঘুরতে গিয়েছ। এখন মেলায় দুই ঘণ্টা হাঁটার পর স্বাভাবিকভাবেই ক্লান্ত হয়ে গেলে। সাথে খিদেও পেয়েছে বড্ড! কিন্তু এখন তুমি বড় হয়েছ, খালুর সামনে সরাসরি বলতেও লজ্জা লাগছে যে তুমি কিছু খেতে চাও। এক্ষেত্রে সরাসরি “খালু, আমার ক্ষুধা লেগেছে, আমি কিছু খেতে চাই” এটা বলার বদলে তুমি অন্য এক পদ্ধতি অবলম্বন করলে। আস্তে আস্তে হাঁটতে হাঁটতে এবং হালকা অভিনয় করে বললে, “খালু, আমার মনে হয় শক্তি ফুরিয়ে যাচ্ছে, এতক্ষণ ধরে হাঁটছি। কোথাও বসে একটু শক্তি সঞ্চয় করার ব্যবস্থা করতে পারলে ভাল হত। তাহলে আবার পুরোদমে হাঁটতে পারতাম।”

তোমার বুদ্ধিমান খালু এটি শুনে স্বাভাবিকভাবেই তোমাদের নিয়ে বসবে মেলার কোন খাবার দোকানে। তো দেখ, তুমি সরাসরি কিন্তু বলোনি যে তোমার কিছু খেতে ইচ্ছে করছে, কিন্তু আসল কথাকে একটু ঘুরিয়ে এমনভাবে তুমি তোমার খালুর সাম্লে উপস্থাপন করলে যে তাতে মূল বক্তব্যই পরোক্ষভাবে প্রকাশ পাচ্ছে। অর্থাৎ, তুমি অব্যক্তভাবে তোমার খালুকে বললে যে তোমার খেতে ইচ্ছে করছে। গাণিতিক জগতে অব্যক্ত ফাংশনের ধারণাটিও অনেকটা এরকম। তবে অব্যক্ত ফাংশন বা ইমপ্লিসিট ফাংশন কি, তা বুঝার আগে এক্সপ্লিসিট ফাংশন (Explicit Function) কি তা বুঝে নিতে হবে। এতদিন পর্যন্ত অন্তরীকরণ সম্পর্কিত যতগুলি স্মার্টবুক তোমরা পড়েছ, তার প্রায় সবই ছিল এক্সপ্লিসিট ফাংশন।

\(f(x) = y = 2x+5\)

এই ফাংশনটি একটি Explicit Function. তার কারণ, এই ফাংশনে অধীন চলক y বা f(x) এর মান সম্পূর্ণভাবে স্বাধীন চলক x এর মাধ্যমে প্রকাশিত হচ্ছে। ফাংশনের ডোমেন অনুযায়ী এর x যেকোনো মান ইনপুট দিলে সহজেই y এর মান পাওয়া যাবে। এমনকি শুধুমাত্র পর্যবেক্ষণ করার মাধ্যমেই এই ফাংশনে y এর মান বের করে ফেলা সম্ভব। তাই এটি একটি ব্যক্ত বা ইমপ্লিসিট ফাংশন।

এবার অব্যক্ত ফাংশনের ধারণায় আসি। যেসব ফাংশনে স্বাধীন চলকের দ্বারা সরাসরি সহজে অধীন চলকের মান নির্ণয় করা যায় না, এবং কোন কোন ক্ষেত্রে একদমই নির্ণয় করা সম্ভবপর হয়ে ওঠে না, তাদেরকে অব্যক্ত ফাংশন বলে। এসব ফাংশনে স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে অধীন চলক অব্যক্ত অবস্থায় থাকে এবং অধিকাংশ ক্ষেত্রে x এর সাথে সংমিশ্রিত অবস্থায় থাকে। উপরের গল্পে যেমন তুমি সরাসরি তোমার খালুকে ক্ষুধা লাগার কথা বলতে পার নি, তেমনি এই ফাংশনে অধীন চলক y ও সরাসরি স্বাধীন চলকের মাধ্যমে নির্ণীত হতে পারে না। তাই এদের অন্তরীকরণও সরাসরি করা যায় না বরং গল্পের মত একটু ঘুরিয়ে পেঁচিয়ে \(\frac{dy}{dx}\) (x এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় করতে হলে) বের করতে হয়।

ধরি, একটি সমীকরণ x² + 2xy + y² = 0 ধরি। এটি প্রকৃতপক্ষে একটি অব্যক্ত ফাংশন। এর কারণ, এখানে y এর মান সরাসরি x এর মান ইনপুট দিয়ে নির্ণয় করা যাবে না। এই ফাংশনে y অব্যক্ত অবস্থায় আছে।

ব্যতিক্রমধর্মী একটি অব্যক্ত ফাংশন আছে, যা হচ্ছে বৃত্তের ফাংশন। যেমন ধর,

\(x^{2}+ y^{2}= 9\)

তোমরা বলতে পার, “এটি তো কোন ফাংশনই না”

কারণ?

“কারণ এই সমীকরণে x এর একটি মানের জন্য এর দুটি মান পাওয়া যায়।” চিত্র দ্রষ্টব্য:

\(y^{2} = 9 – x^{2}\)

\(⇒ y = ±√(9 – x^{2})\)

এইযে, এখানে এর দুটি মান আসে। তবে \(⇒ y = +√(9 – x^{2})\) একটি ফাংশন ধর, যা একটি অর্ধবৃত্ত এবং \(⇒ y = -√(9 – x^{2})\) ফাংশন যা আরেকটি অর্ধবৃত্ত। এই দুটি পৃথক অর্ধবৃত্ত প্রত্যেকে একটি করে ব্যক্ত ফাংশন বা এক্সপ্লিসিট ফাংশন। কিন্তু সামগ্রিকভাবে এই দুইটি মিলিতভাবেই একটি অব্যক্ত ফাংশন তৈরি করে। অর্থাৎ \(x^{2} + y^{2} = 9\) বা বৃত্তের ফাংশন হল অব্যক্ত ফাংশন এবং এটিই ব্যতিক্রমধর্মী অব্যক্ত ফাংশন।

অব্যক্ত ফাংশন চেনা


তো আর দেরি কেন? চল আমরা এখনি কিছু অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরক সহগ বা অন্তরজ নির্ণয় করে ফেলি:

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


সত্য মিথ্যা যাচাই করো



আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরক সহগ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।