আংশিক ভগ্নাংশ

আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করে যোগজীকরণ


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

\( \int \frac{9x}{(x^{2} + 3)(x + 4)^{4}(x+8)}dx\)

উপরের যোগজীকরণটি লক্ষ্য করো।

আপাতদৃষ্টিতে এটি সমাধান করা কঠিন মনে হলেও যোগজীকরণ চিহ্নের মধ্যে থাকা ভগ্নাংশটিকে যদি আংশিক ভগ্নাংশে ভাঙ্গা যায় তাহলে যোগজীকরণ সহজেই করা যায়। চলো এবার আমরা শিখে নিই কীভাবে বীজগণিতীয় ভগ্নাংশকে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করে সহজে যোগজীকরণ করা যায়।

ভগ্নাংশের হরকে উৎপাদকে বিশ্লেষিত করার পর সেটির আকৃতির ভিত্তিতে এই অধ্যায়ের অঙ্কগুলোকে চারভাগে ভাগ করা হয়েছে।

টাইপ ০১


যখন হরে বাস্তব ও একঘাত বিশিষ্ট উৎপাদক থাকে ও কোন উৎপাদকই পুনরাবৃত্তি ঘটে না

\(= \int \frac{1}{x^{2} + x – 6}dx\)

দেখা যাচ্ছে যোগজীকরণ চিহ্নের মধ্যে থাকা ভগ্নাংশের হর উৎপাদকে বিশ্লেষিত না। প্রথমে একে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।

\(= \int \frac{1}{x^{2} + 3x – 2x – 6}dx\)

\(=\int \frac{1}{x(x + 3) – 2(x + 3)}dx\)

\(=\int \frac{1}{(x + 3)(x – 2)}dx\)

দেখা যাচ্ছে, যোগজীকরণ চিহ্নের মধ্যে থাকা ভগ্নাংশের হরকে উৎপাদকে বিশ্লেষিত করার পর সেটি একঘাত বিশিষ্ট এবং কোন উৎপাদকেরি পুনরাবৃত্তি ঘটেনি। এবার আমরা \(\frac{1}{(x + 3)(x – 2)}\) এই ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে বিভক্ত করবো।

ধরি,

\(\frac{1}{(x + 3)(x – 2)} = \frac{A}{x + 3}+ \frac{B}{x – 2}\) … (i)

বা, \(\frac{1}{(x + 3)(x – 2)}×(x + 3)(x – 2) = \frac{A}{x + 3}×(x + 3)(x – 2) + \frac{B}{x – 2}×(x + 3)(x – 2)\) ( উভয়পক্ষকে \((x + 3)(x – 2)\) দ্বারা গুণ করে)

বা, \(1 = A(x – 2) + B(x + 3)\) … (ii)

(ii) নং সমীকরণে \(x = 2\) বসিয়ে পাই,

\(1 = A(2 – 2) + B(2 + 3)\)

বা, \(1 = 5B\)

বা, \(B = \frac{1}{5}\)

(ii) নং সমীকরণে \(x = – 3\) বসিয়ে পাই,

\(1 = A(-3 – 2) + B(-3 + 3)\)

বা, \(1 = – 5A\)

বা,\( A = -\frac{1}{5}\)

(i) নং সমীকরণে A ও B এর মান বসিয়ে পাই,

\(\frac{1}{(x + 3)(x – 2)} = – \frac{1}{5(x + 3)}+ \frac{1}{5(x – 2)}\)

অতএব, \( \frac{1}{(x + 3)(x – 2)}\) ভগ্নাংশটি আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষিত হল।

\( \int \frac{1}{(x + 3)(x – 2)}dx\)

এখন, \(\frac{1}{(x + 3)(x – 2)}\) এই ভগ্নাংশের বদলে যোগজীকরণ চিহ্নের ভেতরে \(- \frac{1}{5(x + 3)}+ \frac{1}{5(x – 2)}\) বসিয়ে পাই,

\(= \int (-\frac{1}{5(x + 3)}+ \frac{1}{5(x – 2)})dx\)

\(= \int \frac{1}{5(x – 2)}dx – \int \frac{1}{5(x + 3)}dx\)

\(= \frac{1}{5} \int \frac{1}{(x – 2)}dx- \frac{1}{5} \int \frac{1}{(x + 3)}dx\)

\(= \frac{1}{5}ln।x – 2। – \frac{1}{5}ln।x +3। + c\)

অতএব,

\( \int \frac{1}{x^{2} + x – 6}dx\)

\(= \frac{1}{5}ln।x – 2। – \frac{1}{5}ln।x +3। + c\)

উদাহরণ-১:

\( \int \frac{2x + 3}{x^{3} + x^{2} – 2x}dx\)

সমাধান:

\( \int \frac{2x + 3}{x^{3} + x^{2} – 2x}dx\)

\(=\int \frac{2x + 3}{x( x^{2} + x – 2)}dx\)

\(=\int \frac{2x + 3}{x( x^{2} + 2x – x – 2)}dx\)

\(=\int \frac {2x + 3}{x( x(x + 2)(-1)( x + 2))}dx\)

\(=\int \frac{2x + 3}{x(x + 2)(x – 1)}dx\)

 

ধরি,

\( \frac{2x + 3}{x(x + 2)(x – 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}+ \frac {C}{x -1}\)

উভয়পক্ষকে \(x(x + 3)(x – 2)\) দ্বারা গুণ করে পাই,

\(2x + 3 = A(x + 2)(x – 1) + Bx(x – 1) + cx(x + 2)\) … (i)

(i) নং সমীকরণে \(x = – 2\) বসিয়ে পাই,

\(2(-2) + 3 = A(-2 + 2)(-2 – 1) + B(-2)(-2 – 1) + c(-2)(-2 + 2)\)

বা, \(- 1 = 6B\)

বা, \(B = -\frac{1}{6}\)

 

(i) নং সমীকরণে \(x = 1\) বসিয়ে পাই,

\(2(1) + 3 = A(1 + 2)(1 – 1) + B(1)(1 – 1) + c(1)(1 + 2)\)

বা, \(5 = 0 + 0 + 3C\)

বা, \(3C = 5\)

বা, \(C = \frac{5}{3}\)

 

(i) নং সমীকরণে \(x = 0\) বসিয়ে পাই,

\(2(0) + 3 = A(0 + 2)(0 – 1) + B(0)(0 – 1) + c(0)(0 + 2)\)

বা, \(3 = -2A\)

বা, \(A = -\frac{3}{2}\)

(i) নং সমীকরণে A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই,

\(\frac{2x + 3}{x(x + 2)(x – 1)} = -\frac{3}{2x} – \frac{1}{6(x + 2)}+\frac{5}{3(x -1)}\)

\( \int \frac{1}{(x + 3)(x – 2)}dx\)

\(= \int (- \frac{3}{2x} – \frac{1}{6(x + 2)}+ \frac{5}{3(x -1)})dx\)

\(= \int (\frac{3}{2x} )dx + \int ( \frac{1}{6(x + 2)})dx+ \int (\frac{5}{3(x -1)})dx\)

\(= \frac{3}{2} \int \frac{1}{x}dx \frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 2}dx + \frac{ 5}{3}\int \frac{1}{x – 1}dx\)

\(= \frac{3}{2}ln।x। \frac{1}{6}ln।x + 2। + \frac{5}{3}ln।x – 1। + c\)

অতএব, \(\int \frac{2x + 3}{x^{3} + x^{2} – 2x}dx = \frac{3}{2}ln।x। \frac{1}{6}ln।x + 2। + \frac{5}{3}ln।x – 1। + c\)


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


আমরা দেখলাম Cover-up Rule ব্যবহার করা কত তাড়াতাড়ি A, B, C নির্ণয়ের মাধ্যমে আংশিক ভগ্নাংশ নির্ণয় করা যায়।


টাইপ ০২


যখন হরে বাস্তব ও একঘাত বিশিষ্ট উৎপাদক থাকে এবং উৎপাদকগুলোর মধ্যে কমপক্ষে একটির পুনরাবৃত্তি ঘটে

\( \int \frac{x}{(x – 1)^{2}(x + 2)}dx\)

দেখা যাচ্ছে, যোগজীকরণ চিহ্নের মধ্যে থাকা ভগ্নাংশের হর একঘাত বিশিষ্ট এবং একটি উৎপাদকের পুনরাবৃত্তি ঘটেছে। এবার আমরা \(\frac{x}{(x – 1)^{2}(x + 2)}\) এই ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে বিভক্ত করবো।

ধরি,

\(\frac{x}{(x – 1)^{2}(x + 2)} = \frac{A}{x – 1}+ \frac{B}{(x – 1)^{2}} + \frac{C}{x + 2} \)… (i)

বা, \(\frac{x}{(x – 1)^{2}(x + 2)}×(x – 1)^{2}(x + 2) = \frac{A}{x – 1}×(x – 1)^{2}(x + 2) + \frac{B}{(x – 1)^{2}}×(x – 1)^{2}(x + 2) + \frac{C}{x + 2}×(x – 1)^{2}(x + 2)\)

( উভয়পক্ষকে \((x – 1)^{2}(x + 2)\) দ্বারা গুণ করে)

বা, \(x = A(x – 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x – 1)^{2}\)

বা, \(x = A(x^{2}+ 2x x – 2) + Bx + 2B + C(x^{2} 2x + 1)\)

বা, \(x = A(x^{2}+ x – 2) + Bx + 2B + C(x^{2}- 2x + 1)\)

বা, \(x = Ax^{2}+ Ax – 2A + Bx + 2B + Cx^{2}- 2Cx + C\)

বা, \(x = x^{2}(A + C) + x(A + B – 2C) + 1(-2A + 2B + C)\)

সমীকরণের উভয়পক্ষ থেকে সহগ সমীকৃত করে পাই,

\(A + C = 0\) … (ii)

\(A + B – C = 1 \)… (iii)

\(-2A + 2B + C = 0\) … (iv)

(ii), (iii) ও (iv) নং সমীকরণ তিনটিকে সমাধান করে পাই,

\(A = \frac{2}{9}; B = \frac{1}{3}; C = -\frac{2}{9}\)

(i) নং সমীকরণে A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই,

\(\frac{x}{(x – 1)^{2}(x + 2)} = \frac{2}{9(x – 1)}+ \frac{1}{(x – 1)^{2} – \frac{2}{9(x + 2)}}\)

অতএব, \(\frac{x}{(x – 1)^{2}(x + 2)}\) ভগ্নাংশটি আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষিত হল।

\( \int \frac{x}{(x – 1)^{2}(x + 2)}dx\)

এখন, \(\frac{x}{(x – 1)^{2}(x + 2)}\) এই ভগ্নাংশের বদলে যোগজীকরণ চিহ্নের ভেতরে \(\frac{2}{9(x – 1)}+ \frac{1}{3(x – 1)^{2}} – \frac{2}{9(x + 2)}\) বসিয়ে পাই,

\(= \int (\frac{2}{9(x – 1)}+ \frac{1}{3(x – 1)^{2}} – \frac{2}{9(x + 2)})dx\)

\(= \int \frac{2}{9(x – 1)}dx+ \int \frac{1}{3(x – 1)^{2}}dx – \int \frac{2}{9(x + 2)}dx\)

\(= \frac{2}{9} \int \frac{1}{(x – 1)}dx+ \frac{1}{3} \int \frac{1}{(x -1)^{2}}dx – \frac{2}{9} \int \frac{1}{(x + 2)}dx\)

\(= \frac{2}{9} ln|x -1|+ \frac{1}{3(x – 1)} – \frac{2}{9}ln|x+2|+ c\)

অতএব, \( \int \frac{x}{(x – 1)^{2}(x + 2)}dx = \frac{2}{9}ln|x -1|+ \frac{1}{3(x – 1)} – \frac{2}{9}ln|x+2|+ c\)


উদাহরণ-১:

\(\int \frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx\)

সমাধান:

\(\frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx\)

এবার আমরা \(\frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}}\) এই ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে বিভক্ত করবো।

ধরি,

\(\frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}+ \frac{D}{(x + 1)^{2}}\) … (i) (সমীকরণের উভয়পক্ষকে \(x^{2}(x + 1)^{2}\) দ্বারা গুণ করে)

বা, \(1 = Ax(x + 1)^{2} + B(x + 1)^{2} + Cx^{2}(x + 1)+ Dx^{2}\)

বা, \(1 = Ax(x^{2}+ 2x + 1) + B(x^{2}+ 2x + 1) + C(x^{3} + x^{2})+ Dx^{2}\)

বা, \(1 = Ax^{3}+ 2Ax^{2}+ Ax + Bx^{2}+ 2Bx + B + Cx^{3} + C x^{2}+ Dx^{2}\)

বা, \(1 = x^{3}(A + C) + x^{2}(2A + B + C + D) + x(A + 2B) + B \)

সমীকরণের উভয়পক্ষ থেকে সহগ সমীকৃত করে পাই,

\(A + C = 0\) … (ii)

\(2A + B + C + D =0\) … (iii)

\(A + 2B = 0 \)… (iv)

\(B = 1 \)… (v)

(ii), (iii), (iv) ও (v) নং সমীকরণ চারটিকে সমাধান করে পাই,

\(A = -2; B = 1; C = 2; D = 1\)

(i) নং সমীকরণে A, B, C ও D এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

\( \frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}} = -\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1}+\frac {1}{(x + 1)^{2}}\)

\( \int \frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}} dx\)

\(= \int (-\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1}+ \frac{1}{(x + 1)^{2}})dx\)

\(= -2 \int \frac{1}{x} dx+ \int \frac{1}{x^{2}}dx + \int 2 \frac{1}{x + 1}dx + \int \frac{1}{(x + 1)^{2}}dx\)

\(= 2ln|x| \frac{1}{x} + ln|x+1|- \frac{1}{x + 1}+ c\)

অতএব, \( \int \frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx = 2ln|x| \frac{1}{x} + ln|x+1|- \frac{1}{x + 1}+ c\)


টাইপ ০৩


যখন হরে বাস্তব ও দ্বিঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকে ও কোন উৎপাদকই পুনরাবৃত্তি ঘটে না

\(\int \frac{1}{x(x^{2} + 1)}dx\)

দেখা যাচ্ছে, যোগজীকরণ চিহ্নের মধ্যে থাকা ভগ্নাংশের হর একটি দ্বিঘাত বিশিষ্ট উৎপাদক রয়েছে। এবার আমরা \(\frac{1}{x(x^{2} + 1)}dx\) এই ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে বিভক্ত করবো।

ধরি,

\(\frac{1}{x(x^{2} + 1)}dx = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 1}\) … (i)

বা,\( \int \frac{1}{x(x^{2} + 1)}dx × x(x^{2} + 1) = \frac{A}{x} × x(x^{2} + 1) + \frac{Bx + C}{x^{2} + 1}×x(x^{2} + 1)\)

( উভয়পক্ষকে \(x(x^{2} + 1)\) দ্বারা গুণ করে)

বা, \(1 = A(x^{2} + 1) + (Bx + C)x\)

বা, \(1 = x^{2}A + A + Bx^{2} + Cx\)

বা, \(1 = x^{2}(A + B) + A + Cx\)

সমীকরণের উভয়পক্ষ থেকে সহগ সমীকৃত করে পাই,

\(A + B = 0\)

\(C = 0 \)

\(A = 1\)

অতএব, \(B = – A = -1\)

(i) নং সমীকরণে A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই,

\(\frac{1}{x(x^{2} + 1)} = \frac{1}{x} – \frac{x}{x^{2} + 1}\)

অতএব, \(\frac{1}{x(x^{2} + 1)}\) ভগ্নাংশটি আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষিত হল।

\( \int \frac{1}{x(x^{2} + 1)}dx\)

এখন, \(\frac{x}{(x – 1)^{2}(x + 2)}\) এই ভগ্নাংশের বদলে যোগজীকরণ চিহ্নের ভেতরে \(\frac{1}{x} – \frac{x}{x^{2} + 1}\) বসিয়ে পাই,

\(=\int (\frac{1}{x} – \frac{x}{x^{2} + 1})dx\)

\(= \int \frac{1}{x} dx – \int \frac{x}{x^{2} + 1}dx\)

\(= \int \frac{1}{x} dx- \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^{2} + 1}dx\)

\(= ln|x| – \frac{1}{2}ln|x^{2} + 1|+ c\)

অতএব, \(\int \frac{1}{x(x^{2} + 1)}dx = ln|x| – \frac{1}{2}ln|x^{2} + 1|+ c\)


উদাহরণ-১:

\( \int \frac{x}{(x – 1)(x^{2} + 4)}dx\)

সমাধান:

\( \int \frac{x}{(x – 1)(x^{2} + 4)}dx\)

ধরি,

\( \frac{x}{(x – 1)(x^{2} + 4)} = \frac{A}{x – 1} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 4}\) … (i)

বা, \( \frac{x}{(x – 1)(x^{2} + 4)} × (x – 1)(x^{2} + 4) = \frac{A}{x – 1} × (x – 1)(x^{2} + 4) + \frac{Bx + C}{x^{2} + 4}×(x – 1)(x^{2} + 4)\)

( উভয়পক্ষকে \((x – 1)(x^{2} + 4)\) দ্বারা গুণ করে)

বা, \(x = A(x^{2} + 4) + (Bx + C)(x – 1)\)

বা, \(x = x^{2}A + 4A + Bx^{2} – Bx + Cx – C\)

বা, \(x = x^{2}(A + B) + x(C – B) + (4A – C) \)

সমীকরণের উভয়পক্ষ থেকে সহগ সমীকৃত করে পাই,

\(A + B = 0\) … (ii)

\(C – B = 1\) … (iii)

\(4A – C = 0\) … (iv)

(ii), (iii) ও (iv) নং সমীকরণ তিনটিকে সমাধান করে পাই,

\(A = \frac{1}{5}; B = -\frac {1}{5}; C = \frac{4}{5}\)

(i) নং সমীকরণে A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই,

\( \frac{x}{(x – 1)(x^{2} + 4)} = \frac{1}{5(x – 1)} + \frac{4 – x}{5(x^{2} + 4)}\)

অতএব, \(\frac{x}{(x – 1)(x^{2} + 4)}\) ভগ্নাংশটি আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষিত হল।

\(\int \frac{x}{(x – 1)(x^{2} + 4)}dx\)

\(= \int (\frac{1}{5(x – 1)} + \frac{4 – x}{5(x^{2} + 4)})dx\)

\(= \int \frac{1}{5(x – 1)} dx + \int \frac{4 – x}{5(x^{2} + 4)}dx\)

\(= \frac{1}{5} \int \frac{1}{(x – 1)} dx + \frac{1}{5} \int \frac{4 – x}{(x^{2} + 4)}dx\)

\(=\frac{1}{5} \int \frac{1}{(x – 1)} dx + \frac{4}{5} \int \frac{1}{x^{2} + 4} dx – \frac{1}{5} \int \frac{x}{x^{2} + 4} dx\)

\(=\frac{1}{5} \int \frac{1}{(x – 1)} dx + \frac{2}{5} \int \frac{2}{x^{2} + 4} dx – \frac{1}{10} \int \frac{2x}{x^{2} + 4} dx\)

\(= \frac{1}{5} ln|x – 1| + \frac{2}{5}tan^{-1} \frac{x}{2}- \frac{1}{10}ln|x^{2} + 4|+ c\)

অতএব, \( \int \frac{x}{(x – 1)(x^{2} + 4)}dx = \frac{1}{5} ln|x – 1| + \frac{2}{5}tan^{-1} \frac{x}{2}- \frac{1}{10}ln|x^{2} + 4|+ c\)


টাইপ ০৪


যখন হরে বাস্তব ও দ্বিঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকে ও কমপক্ষে একটি উৎপাদক এর পুনরাবৃত্তি ঘটে

\( \int \frac{3x^{4} + 4x^{3} + 16x^{2} + 20x + 9}{(x + 2)(x^{2} + 3)^2}dx\)

দেখা যাচ্ছে, যোগজীকরণ চিহ্নের মধ্যে থাকা ভগ্নাংশের হর একটি দ্বিঘাত বিশিষ্ট উৎপাদক এবং একটি উৎপাদকের পুনরাবৃত্তি ঘটেছে। এবার আমরা \( \int \frac{3x^{4} + 4x^{3} + 16x^{2} + 20x + 9}{(x + 2)(x^{2} + 3)^2}\) এই ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে বিভক্ত করবো।

ধরি,

\( \int \frac{3x^{4} + 4x^{3} + 16x^{2} + 20x + 9}{(x + 2)(x^{2} + 3)^2} = \frac{A}{x + 2} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 3}+\frac{Dx + E}{(x^{2} + 3)^{2}}\) … (i)

বা,\( \int \frac{3x^{4} + 4x^{3} + 16x^{2} + 20x + 9}{(x + 2)(x^{2} + 3)^2} ×(x + 2)(x^{2} + 3)^{ 2}= \frac{A}{x + 2} × (x + 2)(x^{2} + 3)^{2} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 3}×(x + 2)(x^{2} + 3)^{2} + \frac{Dx + E}{(x^{2} + 3)^{2}} × (x + 2)(x^{2} + 3)^{2}\)

 

( উভয়পক্ষকে \((x + 2)(x^{2} + 3)^2\) দ্বারা গুণ করে)

বা, \(3x^{4}+ 4x^{3}+ 16x^{2}+ 20x + 9 = A(x^{2} + 3)^{2} + (Bx + C)(x + 2)(x^{2} + 3) + (Dx + E)(x + 2)\)

বা, \(3x^{4}+ 4x^{3}+ 16x^{2}+ 20x + 9 = A(x^{4} + 6x^{2} + 9) + (Bx + C)(x^{3} + 2x^{2} + 3x + 6) + (Dx^{2} + xE + 2Dx + 2E)\)

বা, \(3x^{4}+ 4x^{3}+ 16x^{2}+ 20x + 9 = Ax^{4} + 6Ax^{2} + 9A + Bx^{4} + 2Bx^{3} + 3Bx^{2} + 6Bx +Cx^{3} + 2Cx^{2} + 3Cx + 6C + Dx^{2} + xE + 2Dx + 2E\)

বা, \(3x^{4}+ 4x^{3}+ 16x^{2}+ 20x + 9 = (A + B)x^{4} + (2B + C)x^{3} + (6A + 3B + 2C + D)x^{2} + (6B + 3C + 2D + E)x + (9A + 6C + 2E)\)

সমীকরণের উভয়পক্ষ থেকে সহগ সমীকৃত করে পাই,

\(A + B = 3\) … (ii)

\(2B + C = 4 \)… (iii)

\(6A + 3B + 2C + D = 16\) … (iv)

\(6B + 3C + 2D + E = 20 \)… (v)

\(9A + 6C + 2E = 9 \)… (vi)

(ii), (iii), (iv), (v) ও (vi) নং সমীকরণ চারটিকে সমাধান করে পাই,

\(A = 1; B = 2; C = 0; D = 4; E = 0\)

(i) নং সমীকরণে A, B, C, D ও E এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

\( \frac{3x^{4} + 4x^{3} + 16x^{2} + 20x + 9}{(x + 2)(x^{2} + 3)^{2}} = \frac{1}{x + 2} + \frac{2x} {x^{2} + 3}+ \frac{4x}{(x^{2} + 3)^{2}}\)

অতএব, \(\frac{3x^{4} + 4x^{3} + 16x^{2} + 20x + 9}{(x + 2)(x^{2} + 3)^{2}}\) ভগ্নাংশটি আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষিত হল।

\( \int \frac{3x^{4} + 4x^{3} + 16x^{2} + 20x + 9}{(x + 2)(x^{2} + 3)^{2}}\)

এখন,\( \frac{3x^{4} + 4x^{3} + 16x^{2} + 20x + 9}{(x + 2)(x^{2} + 3)^{2}}\) এই ভগ্নাংশের বদলে যোগজীকরণ চিহ্নের ভেতরে \(\frac{1}{x + 2} + \frac{2x} {x^{2} + 3}+ \frac{4x}{(x^{2} + 3)^{2}}\) বসিয়ে পাই,

\(= \int (\frac{1}{x + 2} + \frac{2x} {x^{2} + 3}+ \frac{4x}{(x^{2} + 3)^{2}})dx\)

\(= \int \frac{1}{x + 2} dx + \int \frac{2x} {x^{2} + 3}dx + \int \frac{4x}{(x^{2} + 3)^{2}}dx\)

\(= ln|x + 2| + ln|x^{2} + 3| – 2(x^{2} + 3) + c\)

অতএব,\( \frac{3x^{4} + 4x^{3} + 16x^{2} + 20x + 9}{(x + 2)(x^{2} + 3)^{2}} dx = ln|x + 2| + ln|x^{2} + 3| – \frac{2}{(x^{2} + 3)} + c\)


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা আংশিক ভগ্নাংশ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।