কোনো বিন্দু থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব, ধনাত্নক ও ঋণাত্নক পার্শ্ব, দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ

মাসুম ও সীমান্ত দুই বন্ধু। একদিন তারা দুজন মাসুমের বাসায় একসাথে অঙ্ক করছিলো। সীমান্ত মাসুমকে জিজ্ঞেস করলো কয়টা বাজে। মাসুম ঘড়ির দিকে তাকিয়ে দেখলো ঘড়ির সব কাঁটা স্থির। মাসুম সীমান্তকে বললো, “ঘড়ি নষ্ট
হয়ে গেছে।” সীমান্ত ঘড়ির দিকে তাকিয়ে মাসুমকে বললো, “যেহেতু সেকেন্ডের কাঁটাকাটা মিনিটের কাঁটা কাটা ও ঘন্টার কাঁটা মাঝে আছে তাই ঘড়িটির সেকেন্ডের কাঁটা ঘড়ির মিনিটের কাঁটা ও ঘন্টার কাঁটাকে সমখন্ডিত করেছে।”


তখন মাসুম বললো,” ঘড়ির সেকেন্ডের কাঁটাকাটা যেভাবে মিনিটের ও ঘন্টার কাঁটাকাটাকে সমদ্বিখন্ডিত করেছে তেমনি যেকোন দুটি অসমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডক থাকবে।”

চলো এবার আমরা দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, যেকোনো বিন্দু থেকে উক্ত রেখার লম্ব দূরত্ব, যেকোনো দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব শিখে নিই।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


\(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু থেকে \(ax + by + c = 0\) রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয়


মনে করি, \(ax + by + c = 0\) সমীকরণ বিশিষ্ট সরলরেখা হচ্ছে AB। \(P(x_{1}, y_{1})\) হতে AB এর উপর PQ লম্ব আঁকি। ধরি, \(PQ = d\)। এখন PQ লম্বের দৈর্ঘ্য অর্থাৎ d এর মান বের করতে হবে।

\(ax + by + c = 0\)

বা, \(ax + by = -c\)

বা, \( \frac{x}{-\frac{c}{a}}+ \frac{y}{- \frac{c}{b}}= 1\)

অর্থাৎ AB রেখাটি x অক্ষকে \((- \frac{c}{a}, 0 )\) ও y অক্ষকে \((0, – \frac{c}{b})\) বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্র হতে দেখা যায়, \(A(- \frac{c}{a}, 0)\) ও \(B(0, – \frac{c}{b})\)।

চিত্র হতে দেখা যায়, ABP একটি ত্রিভুজ সৃষ্টি হয়েছে যার ক্ষেত্রফল,

\(= \frac{1}{2}। ( \frac{c^{2}}{ab}- 0 ) + (0 + \frac{cx_{1}}{b} ) + (0 + \frac{cy_{1}}{b} ) ।\)

\(= \frac{1}{2}। ( \frac{c^{2}}{ab} + \frac{cx_{1}}{b} + \frac{cy_{1}}{b} ) ।\)

\(= \frac{1}{2}। \frac{c}{ab} (c + ax_{1} + by_{1} ) ।\)

\(= \frac{1}{2}। \frac{c}{ab} ( ax_{1} + by_{1}+ c ) ।\)

আবার, ত্রিভুজ ABP এ AB ভূমি ও PQ লম্ব।

অতএব, ত্রিভুজ ABP এর ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2} × AB × PQ\) বর্গএকক

এখানে, AB এর দৈর্ঘ্য = A ও B এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(= \sqrt{(- \frac{c}{a})^{2} +(-\frac{c}{b})^{2}}\)

\(= \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{c^{2}}{b^{2}}}\)

\(= \sqrt{ \frac{c^{2}}{b^{2}a^{2}}(a^{2}+b^{2})}\)

\(= \sqrt{। \frac{c}{ab}।^{2}(a^{2}+b^{2})}\)

\(= । \frac{c}{ab}।× \sqrt{(a^{2}+b^{2})}\)

আবার \(PQ = d\)

অতএব, ত্রিভুজ ABP এর ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2}×AB×PQ\) বর্গএকক

\(= \frac{1}{2}×d। \frac{c}{ab}।\sqrt{(a^{2}+b^{2})}\) বর্গএকক

যেহেতু, \( \frac{1}{2}। \frac{c}{ab} ( ax_{1}+ by_{1}+ c ) ।\) ও \(\frac{1}{2}×d। \frac{c}{ab}। \sqrt{(a^{2}+b^{2})}\)

উভয়ই ত্রিভুজ ABP এর ক্ষেত্রফল। তাই,

\( \frac{1}{2}×d ×। \frac{c}{ab}।\sqrt{(a^{2}+b^{2})} = \frac{1}{2} ×।\frac{c}{ab} ( ax_{1} + by_{1}+ c ) ।\)

বা, \( \frac{1}{2}×d। \frac{c}{ab}×।\sqrt{(a^{2}+b^{2})} = \frac{1}{2}।\frac{c}{ab}।×। ( ax_{1} + by_{1}+ c ) ।\)

বা, \(d× \sqrt{(a^{2}+b^{2})} = । ( ax_{1} + by_{1}+ c ) ।\)

বা, \(d = \frac{। ( ax_{1} + by_{1}+ c ) ।}{\sqrt{(a^{2}+b^{2})}}\)

\(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু থেকে \(ax + by + c = 0\) রেখার লম্ব দূরত্ব \(= \frac{। ( ax_{1} + by_{1}+ c ) ।} {\sqrt{(a^{2}+b^{2})}}\)


গাণিতিক সমস্যাবলি


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত