গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয়

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

টেন মিনিট স্কুলের ফাংশন এবং অন্তরীকরণ সংক্রান্ত স্মার্টবুকগুলি দেখে লিংকন ফাংশন নিয়ে বিভিন্ন কাজ করায় উৎসাহী হয়ে উঠলো। সে বিভিন্ন ফাংশনের গ্রাফ এঁকে গ্রাফগুলি পর্যালোচনা শুরু করলো এবং নানারকম ফাংশনের অন্তরীকরণ ও অন্তরজ নির্ণয় নিয়ে রীতিমত গবেষণা করা শুরু করে দিল। একদিন হঠাৎ তার মনে একটি প্রশ্ন জেগে উঠলো: একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ মান কত হতে পারে এবং তা বের করে কীভাবে? উত্তরটি জানার জন্য লিংকন আরও তৎপর হয়ে উঠলো। কিন্তু কিছুতেই কিছু বের করতে না পেরে শেষে তার বিশ্ববিদ্যালয় পড়ুয়া বড় ভাই জর্জের কাছে গেল তার প্রশ্নের উত্তর জানার জন্য। জর্জ প্রশ্নটি শুনে খুশি হয়ে গেল এবং বলল, “চল, একটা খেলা খেলি। এই খেলার মাধ্যমে তুই উত্তর কিছুটা হলেও পেয়ে যাবি।”

কী ছিল সেই খেলাটি? বন্ধুরা, তাহলে চলো আমরাও খেলাটি খেলে ফেলি! খেলাটির জন্য প্রয়োজন হবে একটি কোণক (প্রকৃতপক্ষে সমবৃত্তভূমিক কোণক) এবং একটি গোলক বা বল। কোণকের তলদেশ খোলা থাকতে হবে। প্রথমে ভূমিতে বলটি বা গোলকটি রেখে তার উপর কোণক দিয়ে ঢেকে দিতে হবে। তবে শর্ত হল, বলটির পরিধি যেন কোণকের সব বাহুকে স্পর্শ করে থাকে এবং কোণকটির তলদেশও সম্পূর্ণভাবে ভূমি স্পর্শ করে থাকে। একটু চিন্তা করলে বুঝতে পারবে এ কাজটি করার জন্য তোমার একটি নির্দিষ্ট আয়তনবিশিষ্ট বল প্রয়োজন হবে। এই সম্ভাব্য সর্বোচ্চ আয়তনের বেশি আয়তন হলে কোণকটির তলদেশ সম্পূর্ণভাবে ভূমি স্পর্শ করবে না, একটু উঁচু হয়ে থাকবে। আর এর থেকে কম আয়তন হলে বলটি কোণকের সব বাহু স্পর্শ করবে না।

এখন, প্রশ্ন হল, কত ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বল ব্যবহার করতে হবে যাতে কোণকের ভিতর বলের আয়তন সর্বাধিক হয়? কী, চিন্তায় পড়ে গেলে? এধরনের মজার সব গাণিতিক সমস্যার সমাধান কিন্তু আমরা অন্তরীকরণের মাধ্যমেই করে ফেলতে পারি!

এরকম বাস্তবজীবনের সাথে জড়িত আরও অনেক গাণিতিক সমস্যা আছে, যার সমাধান আমরা অন্তরীকরণের মাধ্যমে করে ফেলতে পারি। শুধুমাত্র যার মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন করতে হবে, তাকে একটি ফাংশন আকারে নিতে হবে এবং সেই ফাংশনের অন্তরীকরণ করতে হবে। যেমন: তোমাকে একটি খোলা আয়তাকার বাগানে নিয়ে যাওয়া হল এবং ১২০ মিটার বেড়া ধরিয়ে দিয়ে বলা হল যে বাগানটিকে বেড়া দ্বারা ঘিরে ফেলতে হবে। তুমি সর্বাধিক কত ক্ষেত্রফল বাগান ঐ বেড়া দ্বারা ঘিরতে পারবে?

এক্ষেত্রে তোমার প্রথমে বাগানের ক্ষেত্রফলের ফাংশন তৈরি করতে হবে। অতঃপর সমাধান করতে হবে। পুরো স্মার্টবুকটি পড়লে পড়ে তোমরা সহজেই এই অংকটি সমাধান করতে পারবে আশা করি।


পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণে ব্যবহৃত চিহ্নসমূহ
(Symbols used in Continuous Differentiation)


যেসব ক্ষেত্রে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণের প্রয়োজন হয়, ঐসব ক্ষেত্রে f’(x) বা \(\frac{dy}{dx}\), f”(x) বা \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\), … … , \(\frac{d^{n}y}{dx^{n}}\) ইত্যাদি ব্যবহার করা হয়।


স্বাধীন চলক ও অধীন চলকের অন্তরক
(Differentials of Independent and Dependent Variable)


আগের স্মার্টবুকগুলিতে তোমরা যেই ধরণের অন্তরীকরণ করেছো, তা ছিল অপারেটর হিসেবে \(\frac{dy}{dx}\) ব্যবহার করার মাধ্যমে, যাতে একে একটি একক সত্ত্বা (Single Entity) হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে। কিন্তু এবার dx ও dy প্রতীককে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হবে যেন \(\frac{dy}{dx}\) একটি যথার্থ অনুপাত হিসেবে প্রকাশ পায়।

y = f(x) ফাংশনের স্বাধীন চলক x এর অন্তরক (Differential) হল dx। আর অধীন চলক y এর অন্তরক হল dy


স্বাধীন চলক ও অধীন চলকের অন্তরক


∴ dx ও dy কে যথাক্রমে স্বাধীন চলক x ও অধীন চলক y এর অন্তরক বলা যাবে যখন তাদের অনুপাত = f’(x) হয়, যেখানে dx ≠ 0


ক্রমবর্ধমান ও ক্রমহ্রাসমান ফাংশন
(Increasing and Decreasing Function


চল আমরা আগে একটি লেখচিত্র পর্যবেক্ষণ করি।


যদি কোনো ফাংশন y = f(x) এর নির্দিষ্ট কোনো ব্যবধিতে x এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে y বা f(x) এর মান হ্রাস পেতে থাকে তবে f(x) এর ঐ ব্যবধিতে ফাংশনটিকে ক্রমহ্রাসমান ফাংশন বলা হয়। ক্রমহ্রাসমান ফাংশনের সকল বিন্দুতে বক্রের স্পর্শকের ঢাল ঋণাত্মক হয়, অর্থাৎ \(\frac{dy}{dx}\) < 0 হয়। এ সম্পর্কে আরেকটু নিচে বিস্তারিত বলা হচ্ছে।

চল আমরা একই লেখচিত্র একটু ভিন্নভাবে পর্যবেক্ষণ করি।


যদি কোনো ফাংশন y = f(x) এর নির্দিষ্ট কোনো ব্যবধিতে x এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে y বা f(x) এর মানও বৃদ্ধি পেতে থাকে তবে f(x) এর ঐ ব্যবধিতে ফাংশনটিকে ক্রমবর্ধমান ফাংশন বলা হয়। ক্রমবর্ধমান ফাংশনের সকল বিন্দুতে বক্রের স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক হয়, অর্থাৎ \(\frac{dy}{dx}> 0\) হয়।

তাহলে ঢাল দ্বারা ক্রমবর্ধমান আর ক্রমহ্রাসমান ফাংশনের একটু বিশদ বর্ণনা করা যাক। নিচের GIF টি মনোযোগ দিয়ে দেখো:

দেখতে পাচ্ছো? এটি একটি পরাবৃত্তের লেখ। লেখটির সর্বনিম্ন বিন্দুর স্থানাংক (0,1) এবং সর্বোচ্চ বিন্দু দুইটি হবে, যা অসীমে পাওয়া যাবে। Y-অক্ষ লেখটিকে দুইটি প্রতিসম অংশে বিভক্ত করেছে। পরাবৃত্তের অর্ধেক অংশ(যা Y-অক্ষের বামে অবস্থিত) এর প্রত্যেকটি বিন্দুর ভুজ ঋণাত্মক। আর বাকি অর্ধেক (যা Y-অক্ষের ডানে অবস্থিত) এর প্রতিটি বিন্দুর ভুজ ধনাত্মক। Y-অক্ষের বামদিকে ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান আর ডানদিকে ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান।

ধরি,পরাবৃত্তের ফাংশনটি y = f(x). GIF টি থেকে দেখতে পাচ্ছ, বক্ররেখাটির যেসব বিন্দুর ভুজ ঋণাত্মক, অর্থাৎ Y-অক্ষের বামদিকে অবস্থিত সকল বিন্দুর উপর অঙ্কিত প্রত্যেকটি স্পর্শক X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে।

আমরা জানি, কোন রেখার ঢাল, m = tanθ ; যেখানে θ হল X-অক্ষের ধনাত্মক দিকে উৎপন্ন কোণ।

90° < θ < 180° ব্যবধিতে θ দ্বিতীয় চতুরভাগে পড়ে বলে tangent ফাংশনের মান ঋণাত্মক।

∴ এক্ষেত্রে ঢাল, m < 0 .

তাই ক্রমহ্রাসমান ফাংশনের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ঋণাত্মক।

আবার, বক্ররেখাটির যেসব বিন্দুর ভুজ ধনাত্মক, অর্থাৎ Y-অক্ষের ডানদিকে অবস্থিত সকল বিন্দুর উপর অঙ্কিত প্রত্যেকটি স্পর্শক X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সূক্ষ্মকোণ উৎপন্ন করে।

θ < 90° হলে tan θ ধনাত্মক এবং এক্ষেত্রে স্পর্শকের ঢাল, m > 0.

তাই ক্রমবর্ধমান ফাংশনের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক।


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


গুরুমান ও লঘুমান
(Local Maximum and local Minimum)


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


উপরের সংজ্ঞাগুলি পড়লে এতক্ষণে বুঝে যাওয়ার কথা যে এই লেখচিত্রে a, b, c, d প্রত্যেকেই ফাংশনটির একেকটি করে চরমবিন্দু বা সন্ধিবিন্দু। আরও বুঝতে পারছো, ফাংশনের d বিন্দুর কোটি  সর্বোচ্চ বলে এটিই Global Maximum Point এবং a বিন্দুর কোটি সর্বনিম্ন বলে এটি Global Minimum Point. এখন প্রশ্ন, তাহলে Local Minimum আর Local Maximum কী? খেয়াল করো, b ও c কে যথাক্রমে Local Maximum ও Local Minimum হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে।

আসলে, কোনো ব্যবধিতে ফাংশন f(x) ক্রমবর্ধমান হলে তো x এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে f(x) এর মানও বৃদ্ধি পেতে থাকে। x এর মান বৃদ্ধি পেতে পেতে এমন একসময় আসবে যখন f(x) এর মান হবে ঐ ব্যবধির মধ্যে সর্বোচ্চ, অর্থাৎ একটি সন্ধিবিন্দুতে পৌঁছাবে। এই বিন্দুটিকেই বলা হবে একটি গুরুমান বা গরিষ্ঠ মান (Local Maximum)। যেমনটি হয়েছে b বিন্দুতে। (a,b) ব্যবধিতে ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান। b বিন্দুর বামপাশে অবস্থিত f(x) ফাংশনের সকল বিন্দুর স্পর্শকের ঢাল X-অক্ষের সাথে সূক্ষ্মকোণ উৎপন্ন করে বলে ঢালের মান ধনাত্মক।

আবার, কোনো ব্যবধিতে ফাংশন f(x) ক্রমহ্রাসমান হলে x এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে f(x) এর মান হ্রাস পেতে থাকে। x এর মান কমতে কমতে এমন একসময় আসবে যখন f(x) এর মান হবে ঐ ব্যবধির মধ্যে সর্বনিম্ন, অর্থাৎ আরেকটি সন্ধিবিন্দুতে পৌঁছাবে। এই বিন্দুটিকেই বলা হবে একটি লঘুমান বা লঘিষ্ঠ মান (Local Minimum)। যেমনটি হয়েছে চিত্রের c বিন্দুতে। (b,c) ব্যবধিতে ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান। b বিন্দুর ডানপাশে বা c বিন্দুর বামপাশে অবস্থিত এর সকল বিন্দুর স্পর্শকের ঢাল X-অক্ষের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে বলে ঢালের মান ঋণাত্মক।

আচ্ছা, মনে করো কেউ তোমাকে বলল, “রাশিয়া ইউরোপের সবচেয়ে বড় রাষ্ট্র।” তুমি শুনে প্রতিবাদ করলে, “না, রাশিয়া পৃথিবীর বৃহত্তম রাষ্ট্র।” তোমাদের দুইজনের মধ্যে কেউ কী আসলে ভুল বলেছে? না। পুরো পৃথিবীর মধ্যে তুলনা করলে রাশিয়া বৃহত্তম দেশ। কিন্তু তুলনার ব্যবধি যদি পুরো পৃথিবী না হয়ে ৭ টি মহাদেশের একটি ইউরোপ হয়? তাহলেও তো রাশিয়া সেই ব্যবধিতেও বৃহত্তম দেশই।

তাহলে, এখান থেকে কী তোমাদের বুঝতে পারছো যে কোনো ফাংশনের একদম সর্বোচ্চ মান বা Global Maximum ও একটি গুরুমান এবং একদম সর্বনিম্ন মান বা Global Minimum কেও একটি লঘুমান বলা যায়? সুতরাং, চিত্রে (d, a) ও (a, b) ব্যবধির মাঝেও একটি লঘুমান বিদ্যমান আর তা হল a বিন্দুতে y = f(a) এর মান৷

এখন তাহলে লঘুমান ও গুরুমানের আসল সংজ্ঞা দেখে নাও:

গরিষ্ঠ মান বা গুরুমান: যদি f(x) এমন একটি ফাংশন হয় যেন,

(i) x = a বিন্দুতে f(x) = 0 হয়

(ii) a অপেক্ষা ক্ষুদ্র কিন্তু a এর কাছাকাছি এমন x এর মানের জন্য, অর্থাৎ x → a এর জন্য বক্রের স্পর্শকের ঢাল,  f(x) > 0 হয়

(iii) a অপেক্ষা বড় কিন্তু a এর কাছাকাছি এমন x এর মানের জন্য, অর্থাৎ x → a+  এর জন্য বক্রের স্পর্শকের ঢাল,  f(x) < 0 হয়,

তবে x = a বিন্দুতে প্রদত্ত f(x) ফাংশনের একটি গরিষ্ঠ মান আছে এবং তা হল a-h < a < a+h ব্যবধিতে f(a).   যেখানে h > 0

অবশ্যই (a-h) মানগুলিতে ফাংশন ক্রমবর্ধমান এবং (a+h) মানগুলিতে ফাংশন ক্রমহ্রাসমান।

উপরের চিত্রে A বিন্দুতে গরিষ্ঠ মান বিদ্যমান এবং তা 60.

লঘিষ্ঠ মান বা লঘুমান:

যদি f(x) এমন একটি ফাংশন হয় যেন,

(i) x = b বিন্দুতে f(x) = 0 হয়

(ii) b অপেক্ষা ক্ষুদ্র কিন্তু b এর কাছাকাছি এমন x এর মানের জন্য, অর্থাৎ x → b এর জন্য বক্রের স্পর্শকের ঢাল,  f(x) < 0 হয়

(iii) b অপেক্ষা বড় কিন্তু b এর কাছাকাছি এমন x এর মানের জন্য, অর্থাৎ x → b+  এর জন্য বক্রের স্পর্শকের ঢাল,  f(x) > 0 হয়,

তবে x = b বিন্দুতে প্রদত্ত f(x) ফাংশনের একটি গরিষ্ঠ মান আছে এবং তা হল b-h < b < b+h ব্যবধিতে f(b).   যেখানে h > 0

অবশ্যই (b-h) মানগুলিতে ফাংশন ক্রমহ্রাসমান এবং (b+h) মানগুলিতে ফাংশন ক্রমবর্ধমান।

একটি ব্যাপার অবশ্যই মাথায় রাখবে। কোনো বক্রের গুরুমান এবং লঘুমান সর্বদা বিদ্যমান থাকবে এমন কোনো কথা নেই। যেমন, উপরের চিত্রের ফাংশনের কোনো গুরুমান নেই। আবার কোনো কোনো ফাংশনের কোনো চরম বিন্দুই নেই।

আর কোনো ফাংশনের সবকয়টি গুরুমান যে লঘুমানের চাইতে বড় হবে এমন কোনো কথা নেই। কোনো বক্রের একটি লঘুমান (Local Minimum) অন্য একটি গুরুমান (Local Maximum) এর চাইতে বড় হতেই পারে


ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান বের করার নিয়ম


তোমাদের এখন কোনো ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় করার পদ্ধতি ধাপে ধাপে দেখানো হবে। এর জন্য তোমরা নিচের স্লাইডগুলি মনোযোগ সহকারে দেখবে।

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


গাণিতিক সমস্যাবলী



এই স্মার্টবুকের একদম শুরুর দিকের ঐ গাণিতিক সমস্যাটির কথা মনে আছে? ঐযে যেখানে তোমাদের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের বেড়া দিয়ে বলা হল আয়তাকার বাগান ঘিরে ফেলতে? এরকম বাস্তব জীবনের সাথে সম্পর্কযুক্ত কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান নিচে দেখে ফেলো:

বাস্তব জীবনের সাথে সম্পর্কযুক্ত কিছু অংক

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা গুরুমান ও লঘুমান কিভাবে নির্ণয় করা যায় সে সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।