Uncategorized

ডি- মরগানের উপপাদ্য (De-Morgan’s Theorem)

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

আমরা মি. জর্জ বুল এর বুলিয়ান বীজগণিত সম্পর্কে শুনেছি বা জেনেছি। যা আসলে লজিক এর সত্য ও মিথ্যা; কেবলমাত্র এই দুটি স্তরের উপর ভিত্তি করেই তৈরি করা হয়েছে। লজিক সত্য হলে বাইনারি সংখ্যায় এর মান হবে 1 আর মিথ্যা হলে 0 হবে। বুলিয়ান বীজগণিতের সমস্ত কাজ শুধুমাত্র বুলিয়ান যোগ ও বুলিয়ান গুন এর সাহায্যে করা হয়। আর এই যোগ ও গুনের উপর ভিত্তি করেই OR, AND, NOT নামের তিনটি Logical Operation এর সাথে পরিচয় করানো হয়েছে।

ফরাসি গণিতবিদ ডি-মরগান এই বুলিয়ান বীজগণিত নিয়ে কাজ করে তিনি বুঝতে পারলেন এর ভবিষ্যৎ সম্ভাবনা; যেমন পরিসংখ্যান ডিজিটাল সিস্টেম ডিজাইন এবং কম্পিউটার ও ডিজিটাল ইলেক্ট্রনিকস এর ব্যবহার। তারপর তিনি এই বুলিয়ান বীজগণিত নিয়ে গবেষণা করে এমন দুইটি সুত্র বের করলেন যে সুত্র গুলো দিয়ে বড় বড় লজিক রাশিমালা ও বুলিয়ান বীজগণিতের বিভিন্ন সমস্যা সহজেই প্রমান করা সম্ভব। এই দুইটি সুত্রই De-Morgan’s Theorem বা ডি-মরগানের উপপাদ্য নামে পরিচিত। যা মূলত বুলিয়ান যোগ বা লজিক্যাল OR, বুলিয়ান গুন বা লজিক্যাল AND এবং লজিক্যাল NOT সম্পর্কিত। সুতরাং ডি-মরগানের উপপাদ্য ভালভাবে শিখতে হলে বুলিয়ান বীজগণিত সম্পর্কে ভাল ধারণা থাকা দরকার।

তাহলে চল এবার ডি-মরগানের উপপাদ্য সম্পর্কে বিস্তারিত জেনে নেয়া যাক।


ডি – মরগানের উপপাদ্য


ড্রপ ডাউনে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সত্য মিথ্যা যাচাই করো



ড্রপ ডাউনে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সত্য মিথ্যা যাচাই করো


ডি-মরগানের উপপাদ্যের প্রমাণ


সত্যক সারণি বা Truth table এর সাহায্যে খুব সহজেই উপপাদ্য দুটি প্রমাণ সম্ভব। প্রথমে আমরা দুটি চলক A ও B এর সম্ভাব্য মানের সত্যক সারণি টি দেখব। এক্ষেত্রে একটি বিষয় লক্ষ্যনীয়: n সংখ্যক চলকের জন্য মানের ক্ষেত্র বিন্যাস হবে \(2^{n}\) ; যেখানে 2 হল বুলিয়ান লজিক সংখ্যা। লজিক সংখ্যার একটি হল ‘সত্য’ যা বাইনার‍িতে 1 এবং অন্যটি হল ‘মিথ্যা’ যা বাইনারি তে 0। এখানে ২ টি চলক A ও B এর ক্ষেত্রে বিন্যাস হবে: \(2^{2}\) বা 4 অর্থাৎ –

১. যখন A মিথ্যা বা এর মান 0 তখন B মিথ্যা বা এর মান 0 হতে পারে।
২. যখন A মিথ্যা বা এর মান 0 তখন B সত্য বা এর মান 1 হতে পারে।
৩. যখন A সত্য বা এর মান 1 তখন B মিথ্যা বা এর মান 0 হতে পারে।
৪. যখন A সত্য বা এর মান 1 তখন B সত্য বা এর মান 1 হতে পারে।

A B
0 0
0 1
1 0
1 1

এবার সত্যক সারণিটি লক্ষ্য করি।

সত্যক সারণিটি কিভাবে তৈরি হয়েছে তা জানা যাক। সত্যক সারনিতে A ও B এর সম্ভাব্য মান গুলো ১ ও ২ নং কলামে দেখা যাচ্ছে। তারপর ১ নং কলামের A এর প্রত্যেকটি মান থেকে বুলিয়ান
বীজগণিতের Not অপারেশন অনুযায়ী \( \overline{A}\) এর মান বের করে ৩নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে। একই ভাবে ২ নং কলামের B এর প্রত্যেকটি মান থেকে বুলিয়ান বীজগণিতের Not অপারেশন
অনুযায়ী \( \overline{B}\) এর মান বের করে ৪নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে। এরপর বুলিয়ান বীজগণিতের OR অপারেশন অনুযায়ী ১নং কলামের A ও ২ নং কলামের B যোগ করে A+B এর মান বের করে ৫ নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে। তারপর ৫ নং কলামের A+B এর প্রত্যেকটি মান বুলিয়ান বীজগণিতের Not অপারেশন অনুযায়ী \(\overline{A+B}\) এর মান বের করে ৬ নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে। তারপর বুলিয়ান বীজগণিতের OR অপারেশন অনুযায়ী ৩ নং কলামের \( \overline{A}\) ও ৪ নং কলামের \( \overline{B}\) যোগ করে \(\overline{A+B}\) এর মান বের করে ৭ নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে।
এরপর বুলিয়ান বীজগণিতের AND অপারেশন অনুযায়ী ১নং কলামের A ও ২ নং কলামের B গুন করে A . B এর মান বের করে ৮ নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে। তারপর ৮ নং কলামের A.B এর প্রত্যেকটি মান বুলিয়ান বীজগণিতের Not অপারেশন অনুযায়ী \(\overline{A.B}\) এর মান বের করে ৯ নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে। তারপর বুলিয়ান বীজগণিতের AND অপারেশন অনুযায়ী ৩ নং কলামের \(\overline{A}\) ও ৪ নং কলামের \(\overline{B}\) গুন করে \(\overline{A.B}\) এর মান বের করে ১০ নং কলামে সন্নিবেশিত করা হয়েছে।


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

ডি-মরগানের দুইটি উপপাদ্য তিনটি চলক যেমন A, B ও C এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করা খুব সহজ। প্রথমে A, B ও C এর সম্ভাব্য মানের সত্যক সারণি টি তৈরি করে ফেলি। এর ক্ষেত্র বিন্যাস হবে \(2^{3}\) বা 8।

তিনটি চলক A, B ও C এর জন্য ডি-মরগানের ১ম উপপাদ্যটি ছিল:
\( \overline{A+B+C} = \overline{A}. \overline{B}. \overline{C}\)
এবার সারণি-৪ টি লক্ষ্য করা যাক। ১, ২ ও ৩ নং কলামের A, B ও C এর মানগুলোর জন্য ৮ নং কলামের \( \overline{A+B+C}\) এর মান; ১, ২ ও ৩ নং কলামের A, B ও C এর ঐ একই মানের জন্য ১২ নং কলামের \(\overline{A}. \overline{B}. \overline{C}\) এর মানের সমান। সত্যক সারণিটি আরো পরিষ্কার ভাবে দেখলে বিষয় টি স্পষ্ট হবে।

তিনটি চলক A, B ও C এর জন্য ডি-মরগানের ২য় উপপাদ্যটি ছিল:
\( \overline{A .B.C} = \overline{A} + \overline{B}+ \overline{C}\)

এবার সারণি-৪ টি লক্ষ্য করা যাক। ১, ২ ও ৩ নং কলামের A, B ও C এর মানগুলোর জন্য ১১ নং কলামের \( \overline{A .B.C}\) এর মান; ১, ২ ও ৩ নং কলামের A, B ও C এর ঐ একই মানের জন্য ৯ নং কলামের \(\overline{A} + \overline{B}+ \overline{C}\) এর মানের সমান। সত্যক সারণিটি আরো পরিষ্কার ভাবে দেখলে বিষয় টি স্পষ্ট হবে।

এতক্ষণ ধরে যেসব আমরা শিখলাম এখন চলো যাচাই করে ফেলি আমরা সেগুলো পরিষ্কার ভাবে বুঝেছি কিনা।


সত্য মিথ্যা যাচাই করো





আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা ডি-মরগানের উপপাদ্য সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।